山西省运城市2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2015年山西省运城市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题 1复数 为纯虚数，则实数 a=（ ） A 2 B C 2 D 2 “不等式 x+m 0 在 R 上恒成立 ”的一个必要不充分条件是（ ） A m B 0 m 1 C m 0 D m 1 3下列四个函 数中，在（ 0， +）上为增函数的是（ ） A f（ x） =3 x B f（ x） = C f（ x） =3f（ x） = |x| 4阅读如图程序框图，其中 N若输出的结果中，只有三个自然数，则输入的自然数所有可能的值为（ ） A 2， 3， 4 B 2 C 2， 3 D 3， 4 5设函数 f（ x） = ，则满足 f（ x） 2 的 x 的取 值范围是（ ） A 1， 2 B 0， 2 C 1， +） D 0， +） 6某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 2，则正（主）视图的面积等于（ ） 第 2 页（共 20 页） A 2 B C D 3 7（ x+ ）（ 2x ） 5 的展 开式中各项系数的和为 2，则该展开式中含 为（ ） A 0 B 80 80 160已知两点 A（ 1， 0）， B（ 1， ）， O 为坐标原点，点 C 在第二象限，且 20，设 = 2 ，（ R），则 等于（ ） A 1 B 2 C 1 D 2 9已知函数 f（ x） = 0）在（ ， ）上单调递减，则 的取值范围是（ ） A ， B ， C（ 0， D（ 0， 2 10已知三棱锥 S 所有顶点都在球 O 的球面上， 平面 ， ， 0，则球 O 的表面积为 （ ） A 4 B 12 C 16 D 64 11已知 别是双曲线 =1 的左、右焦点，过 直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于 A、 B 两点若 等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A 2 B C D 12已知函数 f（ x） =3x，过点 A（ 1， m）（ m 2）可作曲线 y=f（ x）的三条切线，则 m 的取值范围（ ） A（ 3， 2） B（ 2， 3） C（ 2， 1） D（ 1， 1） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13若抛物线 x 上一点 M 到焦点 F 的距离为 5，则点 M 的横坐标为 14袋中有形状、大小都相同的 5 只球，其中 1 只白球， 2 只红球， 2 只 黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 15 x， y 满足约束条件 ，若 z=y 得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为 第 3 页（共 20 页） 16若 则 的值是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） . 17已知等差数列 前 n 项和为 差 d=2， 20 （ 1）求 （ 2）若 ，求数列 前 n 项和为 18在 ，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，若 B= ，且 1）求 值 （ 2）若 a=5，求 面积 19某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y ）求 y 关于 t 的线性回归方程； （ ）利用（ ）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2017 年农村居民家庭人均纯收入 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = ， = 20如图所示，四边形 边长为 1 的正方形， 平面 平面 D=， E 为 中点 （ 1）求异面直线 成角的余弦值 （ 2）在线段 是否存在点 F，使得 平面 成角为 30，若存在，求线段 不存在，请说明理由 21已知椭圆 C 的左、右焦点分别为 圆的离心率为 ，且椭圆经过点 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）线段 椭圆过点 弦，且 ，求 切圆面积最大时实数 的值 第 4 页（共 20 页） 22已知函数 f（ x） =（ 2 a） x 2a 2， g（ x） =x （ 1）若函数 f（ x）在区间（ 0， ）无零点，求实数 a 的最小值 （ 2）若对任意给定的 （ 0， e，方程 f（ x） =g（ （ 0， e上总存在两个不等的实根，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2015年山西省运城市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1复数 为纯虚数，则实数 a=（ ） A 2 B C 2 D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出 【解答】 解： 复数 = = 为纯虚数， 2a 1=0， 2+a 0， 解得 a= 故选： D 2 “不等式 x+m 0 在 R 上恒成立 ”的一个必要不充分条件是（ ） A m B 0 m 1 C m 0 D m 1 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据 “不等式 x+m 0 在 R 上恒成立 ”，令 f（ x） =x+m，开口向上，根据判别式 0，求出 m 的范围，根据充分必要条件的定义，进行求解； 【解答】 解： “不等式 x+m 0 在 R 上恒成立 ”， =（ 1） 2 4m 0，解得 m ， A、 A 是充要条件，故 A 错误； B、因为 m 推不出 0 m 1，故 B 错误； C、 m m 0，反之不能推出，故 C 正确； D、 m 1m ，所以 m 1 是 “不等式 x+m 0 在 R 上恒成立 ”的充分不必要条件，故 D 错误； 故选 C； 3下列四个函数中，在（ 0， +）上为增函数的是（ ） A f（ x） =3 x B f（ x） = C f（ x） =3f（ x） = |x| 【考点】 函数单调性的判断与证明 第 6 页（共 20 页） 【分析】 根据一次函数、二次函数及增函数的定义便可判断每个选项函数在（ 0， +）上的单调性，从而找出正确选项 【解答】 解： A f（ x） =3 x 在（ 0， +）上为减函数， 该选项错误； B x （ 0， +）， x 增大时， 减小， 增大，即 f（ x）增大； 在（ 0， +）上为增函数， 该选项 正确； C f（ x） =3x 的对称轴为 x= ， x 在（ 0， ）上单调递减； 该函数在（ 0， +）上不是增函数， 该选项错误； D x 0 时， f（ x） = |x|= x； f（ x）在（ 0， +）上为减函数， 该选项错误 故选： B 4阅读如图程序框图，其中 N若输出的结果中，只有三个自然数，则输入的自然数所有可能的值为（ ） A 2， 3， 4 B 2 C 2， 3 D 3， 4 【考点】 程序框图 【分析】 根据程序框图，理解程序框图的功能进行判断即可 【解答】 解：若 m= N，则 m=10， 5， 4， 2， 第 7 页（共 20 页） 若 ，则 n 从 2 开始，此时 =10， =5， =4， =2，输， 4 个整数，满足条件， 若 ，则 n 从 3 开始，此时 =5， =4， =2，输出 3 个整数，满足条件， 若 ，则 n 从 4 开始，此时 =5， =4， =2，输出 3 个 整数，满足条件， 若 ，则 n 从 5 开始，此时 =4， =2，输出 2 个整数，不满足条件， 故输入的自然数 所有可能的值为 2， 3， 故选： C 5设函数 f（ x） = ，则满足 f（ x） 2 的 x 的取值范围是（ ） A 1， 2 B 0， 2 C 1， +） D 0， +） 【考点】 对数函数的单调性与特殊点 【分析】 分类讨论： 当 x 1 时； 当 x 1 时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可 【解答】 解：当 x 1 时， 21 x 2 的可变形为 1 x 1， x 0， 0 x 1 当 x 1 时， 1 2 的可变形为 x ， x 1， 故答案为 0， +） 故选 D 6某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 2，则正（主）视图的面积等于（ ） A 2 B C D 3 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知几何体为一四棱锥，且四棱锥的高为 x，底面是直角梯形且自己梯形的两底边分别为 1， 2，高为 2，根据几何体的体积是 2 求出 x，再根据正视图为直角三角形求出其面积 第 8 页（共 20 页） 【解答】 解：由三视图知几何体为一四棱锥，且四棱锥的高为 x，底面是直角梯形且自己梯形的两底边分别为 1， 2，高为 2， 几何体的体积 V= 2 x=2x=x=2 正（主）视图的面积 S= 2 2=2 故选 A 7（ x+ ）（ 2x ） 5 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中含 为（ ） A 0 B 80 80 160考点】 二项式系数的性质 【分析】 由于二项式展开式中各项的系数的和为 2，故可以令 x=1， 建立 a 的方程，解出 后写出（ 2x ） 5 的展开式的通项，进一步求得展开式中含 【解答】 解：令 x=1，则有 1+a=2，得 a=1，故二项式为（ x+ ）（ 2x ） 5， （ 2x ） 5 的展开式的通项为 = ， 则展开式（ x+ ）（ 2x ） 5 中含 为 故选： A 8已知两点 A（ 1， 0）， B（ 1， ）， O 为坐标原点，点 C 在第二象限，且 20，设 = 2 ，（ R），则 等于（ ） A 1 B 2 C 1 D 2 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 根据已知条件可以求出 C 点坐标 C（ ），再根据 20，便有 = ，所以解得 =1 【解答】 解： ； 即 ，又 20所以： ，解得 =1 故选 C 9已知函数 f（ x） = 0）在（ ， ）上单调递减，则 的取值范围是（ ） A ， B ， C（ 0， D（ 0， 2 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 求出 f（ x）的单调减区间 A，令（ ， ） A，解出 的范围 第 9 页（共 20 页） 【解答】 解： f（ x） = x+ ），令 ，解得 x ， k Z 函数 f（ x） = 0）在（ ， ）上单调递减， ，解得 +2k， k Z 当 k=0 时， 故选 A 10已知三棱锥 S 所有顶点都在球 O 的球面上， 平面 ， ， 0，则球 O 的表面积为 （ ） A 4 B 12 C 16 D 64 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 由三棱锥 S 所有顶点都 在球 O 的球面上， 平面 ， ， 0，知 ， 0故 球 O 所得的圆 O的半径 r=1，由此能求出球 O 的半径，从而能求出球 O 的表面积 【解答】 解：如图，三棱锥 S 所有顶点都在球 O 的球面上， 平面 ， ， ， 0， = ， 0 球 O 所得的圆 O的半径 r= =1， 球 O 的半径 R= =2， 球 O 的表面积 S=46 故选 C 11已知 别是双曲线 =1 的左、右焦点，过 直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于 A、 B 两点若 等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A 2 B C D 第 10 页（共 20 页） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线的定义算出 ， |2a， |4a，由 等边三角形得 20，利用余弦定理算出 c= a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线 【解答】 解：根据双曲线的定义，可得 | |2a， 等边三角形，即 |=| | |=2a，即 | |2a 又 | |2a， |2a=4a， ， |2a， |4a， 20 |=|+| 2|即 462 2a 4a （ ） =28之得 c= a， 由此可得双曲线 C 的离心率 e= = 故选： B 12已知函数 f（ x） =3x，过点 A（ 1， m）（ m 2）可作曲线 y=f（ x）的三条切线，则 m 的取值范围（ ） A（ 3， 2） B（ 2， 3） C（ 2， 1） D（ 1， 1） 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【分析】 先将过点 A（ 1， m）（ m 2）可作曲线 y=f（ x）的三条切线转化为：方程 23x2+m+3=0（ *）有三个不同实数根，记 g（ x） =23x2+m+3， g（ x） =66x=6x（ x 1），下面利用导数研究函数 g（ x）的零点，从而求得 m 的范围 【解答】 解：由题意得： f（ x） =33，设切点为（ 则切线的斜率 k=33= = ， 即 23m+3，由条件知该方程有三个实根， 方程 23x2+m+3=0（ *）有三个不同实数根， 记 g（ x） =23x2+m+3， g（ x） =66x=6x（ x 1） 令 g（ x） =0， x=0 或 1， 则 x， g（ x）， g（ x）的变化情况如下表 x （ ，0） 0 （ 0， 1） 1 （ 1， +） g（ x） + 0 0 + 第 11 页（共 20 页） g（ x） 递增 极大 递减 极小 递增 当 x=0， g（ x）有极大值 m+3； x=1， g（ x）有极小值 m+2， 由题意有，当且仅当 即 时， 函数 g（ x）有三个不同零点， 此时过点 A 可作曲线 y=f（ x）的三条不同切线故 m 的范围是（ 3， 2） 故选 A 二、填空题（本 大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13若抛物线 x 上一点 M 到焦点 F 的距离为 5，则点 M 的横坐标为 4 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，求解即可 【解答】 解：抛物线 x 的准线方程为 x= 1， 抛物线 x 上点到焦点的距离等于 5， 根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离， 可得所求点的横坐标为 4 故答案为： 4 14 袋中有形状、大小都相同的 5 只球，其中 1 只白球， 2 只红球， 2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 这 2 只球颜色不同的对立事件是两只球颜色不同，由此能求出这 2 只球颜色不同的概率 【解答】 解：袋中有形状、大小都相同的 5 只球，其中 1 只白球， 2 只红球， 2 只黄球， 从中一次随机摸出 2 只球，基本事件总数 n= =10， 这 2 只球颜 色不同的对立事件是两只球颜色不同， 这 2 只球颜色不同的概率： p=1 = 故答案为： 15 x， y 满足约束条件 ，若 z=y 得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为 2 或 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 由题意作出其平面区域，将 z=y 为 y=ax+z， z 相当于直 线 y=ax+z 的纵截距，由几何意义可得 第 12 页（共 20 页） 【解答】 解：由题意作出其平面区域， 将 z=y 为 y=ax+z， z 相当于直线 y=ax+z 的纵截距， 由题意可得， y=ax+z 与 y=2x+2 或与 y=2 x 平行， 故 a=2 或 1； 故答案为： 2 或 1 16若 则 的值是 2 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 由条件利用诱导公式，同角三角函数的基本关系化简所给的式子， 求得要求式子的值 【解答】 解： 则 = = = =2， 故答案为： 2 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） . 17已知等差数列 前 n 项和为 差 d=2， 20 （ 1）求 （ 2）若 ，求数列 前 n 项和为 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式 【分析】 （ 1）通过公差 d=2 可知 0 2=120，进而可知数列 以 3 为首项、 2 为公差的等差数列，计算即得结论； 第 13 页（共 20 页） （ 2）通过（ 1）可知 n+1，通过分母有理化、裂项可知 （ ），并项相加即得结论 【解答】 解：（ 1）依题意， 0 2=120， 解得： ， 数列 以 3 为首项、 2 为公差的等差数列， +2（ n 1） =2n+1； （ 2）由（ 1）可知 n+1， = = = （ ）， （ + + ） = （ ） 18在 ，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，若 B= ，且 1）求 值 （ 2）若 a=5，求 面积 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由余弦定理可得： ，可得 ，可得 A+B） = （ 2）由（ 1）可得： ，在 ，由正弦定理可得： ，可得 c= ，可得 【解答】 解：（ 1）在 ，由余弦定理可得： = ， = ， A+B） = = 第 14 页（共 20 页） （ 2）由（ 1）可得： = ， 在 ，由正弦定理可得： ，可得 c= =8， =10 19某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y ）求 y 关于 t 的线性回归方程； （ ）利用（ ）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地 区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2017 年农村居民家庭人均纯收入 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = ， = 【考点】 线性回归方程 【 分析】 （ ）根据题目中的数据，计算 、 与 和 （ ）（ ）的值， 利用公式求出 与 的值，写出线性回归方程； （ ）根据线性回归方程中 =0，得出结论是人均纯收入逐年增加以及平均每年增加的值， 将 2017 年的年份 t 的值代人线性回归方程，求出 的值，即可预测该地区 2017 年的农村家庭人均纯收入 【解答】 解：（ ）根据题目中的数据，得； = （ 1+2+3+4+5+6+7） =4， = （ = =9+4+1+0+1+4+9=28， 第 15 页（共 20 页） （ ）（ ） =（ 3） （ +（ 2） （ 1） +（ 1） （ +0 4； = = = = =4= y 关于 t 的线性回归方程是 = （ ）根据（ ）中的线性回归方程， =0， 得出 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 元， 将 2017 年的年份 t=11 代人线性回归方程，得 =11+ 预测该地区 2017 年农村居民家庭人均纯收入为 元 20如图所示，四边形 边长为 1 的正方形， 平面 平面 D=， E 为 中点 （ 1）求异面直线 成角的余弦值 （ 2）在线段 是否存在点 F，使得 平面 成角为 30，若存在，求线段 不存在，请说明理由 【考点】 直线与平面所成的角；异面直线及 其所成的角 【分析】 （ 1）以 D 为坐标原点， 在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 成角的余弦值 （ 2）假设在线段 存在点 F，使 平面 成角为 30，设 = =（ 0， ，），（ 0 1），利用向量法推导出 与 0 1 矛盾，从而在线段 不存在点 F，使得 平面 成角为 30 【解答】 解：（ 1）如图，以 D 为坐标原点， 在直线分别为 x 轴， y 轴， 立空间直角坐标系， 则 D（ 0， 0， 0）， A（ 1， 0， 0）， M（ 0， 0， 1）， C（ 0， 1， 0）， B（ 1， 1， 0）， N（ 1， 1， 1）， E（ ， 1， 0）， ， =（ 1， 0， 1）， 第 16 页（共 20 页） =（ ， 0， 1）， =（ 1， 0， 1）， | |= = = ， 异面直线 成角的余弦值为 （ 2） 不存在 F，使 平面 成角为 30， 假设在线段 存在点 F，使 平面 成角为 30， 设 = =（ 0， ， ），（ 0 1）， 又 =（ ）， = =（ ）， 设平面 一个法向量 =（ x， y， z）， =（ 1， 0， 1）， =（ 0， 1， 1）， 则 ，取 z=1，得 =（ 1， 1， 1）， 点 F 使得 平面 成角为 30， | |= = ， 解得 与 0 1 矛盾， 在线段 不存在点 F，使得 平面 成角为 30 21已知椭圆 C 的左、右焦点分别为 圆的离心率为 ，且椭圆经过点 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）线段 椭圆过点 弦，且 ，求 切圆面积最大时实数 的值 【考点】 椭圆的应用 【分析】 （ 1）设椭圆的标准方程，利用椭圆的离心率为 ，且椭圆经过点 ，结合a2=b2+出 ， ，从而可求椭圆 C 的标准方程； 第 17 页（共 20 页） （ 2）分类讨论，确定当直线 x 轴垂直时 最大，进而可求 切圆面积最大时实数 的值 【解答】 解：（ 1）设椭圆的标准方程为 （ a b 0），则 椭圆的离心率为 ，且椭圆经过点 ， ， ， 又 a2=b2+ ， ， （ 2）显然直线 与 x 轴重合 当直线 x 轴垂直时， |3， |2， ； 当直线 与 x 轴垂直时，设直线 x=， k 0 代入椭圆 C 的标准方程， 整理，得（ 3+49=0， 令 t=3+4 ， 由上，得 当直线 x 轴垂直时 最大，且最大面积为 3 设 切圆半径 r，则 S=4r 3， 即 ，此时直线 x 轴垂直， 切圆面积最大 22已知函数 f（ x） =（ 2 a） x 2a 2， g（ x） =x （ 1）若函数 f（ x）在区间（ 0， ）无零点，求实数 a 的最小值 第 18 页（共 20 页） （ 2）若对任意给定的 （ 0， e，方程 f（ x） =g（ （ 0， e上总存在两个不等的实根，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理 【分析】 （ 1） f（ x） 0 时不可能恒成立，所以要使函数在（ 0， ）上无零点，只需要对 x （ 0， ）时 f（ x） 0 恒成立，列出不等式解出 a 大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到 a 的最小值； （ 2）求出 g（ x），根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出 g（ x）的值域，而当a=2 时不合题意；当 a 2 时，求出 f（ x） =0 时 x 的值，根据 x （ 0， e列出关于 a 的不等式得到 ，并根据此时的 x 的值讨论导函数的正负得到函数 f（ x）的单调区间，根据单调区间得到 和 ， 令 中不等式的坐标为一个函数，求出此函数的导函数，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到此函数的最大值，即可解出 恒成立和解出 得到 ，联立 和 即可解出满足题意 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1）因为 f（ x） 0 在区间（ 0， ）上恒成立不可能， 故要使函数 f（ x）在（ 0， ）上无零点， 只要对