浙江省杭州市2016年高考数学二模试卷（文科）含答案解析

浙江省杭州市 2016 年高考数学二模试卷（文科） （解析版） 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1设集合 A=x|2x 0， B=y|y=2x，则 AB=（ ） A 1， 2 B 0， 2 C 1， +） D 0， +） 2若某几何体的三视图（单位： 图所示，且俯视图为正三角形，则该几何体的体积等于（ ） A 3 6 9 设等差数列 前 n 项和为 “0 且 0”是 “数列 调递增 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4若直线 x=m（ m 1）与函数 f（ x） =g（ x） =图象及 x 轴分别交于 A， B，C 三点，若 =2 ，则（ ） A b= a= b= a=函数 f（ x） =3 x R）的最大值等于（ ） A 5 B C D 2 6 ， C=90， ， ， D 是 中点， E， F 分别是边 的动点，且 ，则 的最小值等于（ ） A B C D 7设双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的顶点为 P 为双曲线上一点，直线双曲线 C 的一条渐近线于 M 点，直线 斜率分别为 ，则双曲线 C 离心率为（ ） A 2 B C D 4 8设函数 f（ x）与 g（ x）的定义域为 R，且 f（ x）单调递增， F（ x） =f（ x） +g（ x） ， G（ x） =f（ x） g（ x）若对任意 R（ 不等式 f（ f（ 2 g（ g（ 2 恒成立则（ ） A F（ x）， G（ x）都是增函数 B F（ x）， G（ x）都是减函数 C F（ x）是增函数， G（ x）是减函数 D F（ x）是减函数， G（ x）是增函数 二、填空题（共 7 小题，每小题 6 分，满分 42 分） 9计算： 2 ， 2 = 10设函数 f（ x） =22x+ ）（ x R），则最小正周期 T= ；单调递增区间是 11在正方形 ， E 是 中点，则异面直线 成角的余弦值等于 ，若正方体边长为 1，则四面体 B 体积为 12若实数 x， y 满足 ，则 x 的取值范围是 ， |x|+|y|的取值范围是 13抛物线 p 0）的焦点为 F，点 A， B 在抛物线上，且 20，过弦 作准线 l 的垂线，垂足为 的最大值为 14设实数 a， b 满足 0 a， b 8，且 6+ b a 的最大值为 15定义 a， b= ，则不等式 x+ ， 4 8x， 的解集是 三、解答题（共 5 小题，满分 68 分） 16在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 m R） （ I）当 m=3 时，求 最小值； （ ）当 A= 时，求 m 的取值范围 17在底面是正三角形的三棱柱 ， ， 平面 E， F 分别为中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）若 ，求二面角 C A 的大小 18设公差不为 0 的等差数列 首项 ，前 n 项和为 ， ， 成等比数列 （ 1）求数列 通项公式及 （ 2）设 ， ，且 别为数列 前 n 项和，比较 大小 19设函数 f（ x） =|a| 1（ a R） （ I）若函数 y=f（ x）在 R 上恰有四个不同的零点，求 a 的取值范围； （ ）若函数 y=f（ x）在 1， 2上的最小值为 g（ a），求 g（ a）的表达式 20设抛物线 ： p 0）上的点 M（ 4）到焦点 F 的距离 | （ 1）求抛物线 的方程； （ 2）过点 F 的直线 l 与抛物线 T 相交于 A， B 两点，线段 垂直平分线 l与抛物线 相交于 C， D 两点，若 =0，求直线 l 的方程 2016 年浙江省杭州市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1设集合 A=x|2x 0， B=y|y=2x，则 AB=（ ） A 1， 2 B 0， 2 C 1， +） D 0， +） 【分析】 分别求出集合 A、 B 的范围，取交集即可 【解答】 解： 集合 A=x|2x 0=0， 2， B=y|y=2x=y|y 1， 则 AB=0， 2 【点评】 本题考查了解不等式问题，考查集合的运算，是一道基础题 2若某几何体的三视图（单位： 图所示，且俯视图为正三角形，则该几何体的体积等于（ ） A 3 6 9 分析】 由三视图可知：该几何体是由有关三棱柱截去一个三棱锥剩下的几何体 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是由有关三棱柱截去一个三棱锥剩下的几何体 该几何体的体积 V= 4 = 故选： C 【点评】 本题考查了三视图的有关知识、三棱柱与三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 3设等差数列 前 n 项和为 “0 且 0”是 “数列 调递增 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 设等差数列 公差为 d， d 0可得： Sn=d= ，数列 调递增，可得 d 0， 1，因此 d+20由 0且 0，可得 a2=a1+d 0即可判断出结论 【解答】 解：设等差数列 公差为 d， d 0 Sn=d = = ， 数列 调递增， d 0， 1， 可得 d+20 由 0 且 0，可得 a2=a1+d 0 “0 且 0”是 “数列 调递增 ”的 既不充分又不必要条件 故选： D 【点评】 本题考查了函数的性质、不等式的性质、等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 4若直线 x=m（ m 1）与函数 f（ x） =g（ x） =图象及 x 轴分别交于 A， B，C 三点，若 =2 ，则（ ） A b= a= b= a=分析】 根据函数图象，由 =2 ，可知， ，则，则 x=m 时， f（ m） =3g（ m），代入函数求值，求得 a、 b 的关系 【解答】 解：由函数图象可知由 =2 ，则 ， 则 A 的坐标为（ m， 3g（ m）， 将 A 点坐标代入得： ， 由函数的性质可知 b= 故答案选： C 【点评】 本题考查对数函数的性质及其应用，对函数图象的理解，属于基础题 5函数 f（ x） =3 x R）的最大值等于（ ） A 5 B C D 2 【分析】 借助二倍角公式和辅助角公式，化简 f（ x）为一个三角 函数式，由此得到最大值 【解答】 解： f（ x） =3 x R）， = = （ +2， = x+） +2， 其中 ， ， 函数 f（ x）的最大值为 ， 故选： B 【点评】 本题考查函数式的化简，借助二倍角公式和辅助角公式 6 ， C=90， ， ， D 是 中点， E， F 分别是边 的动点，且 ，则 的最小 值等于（ ） A B C D 【分析】 建立平面直角坐标系，设 E（ x， 0），求出 的坐标，则 可表示为 用函数的性质得出最小值 【解答】 解：以三角形的直角边为坐 标轴建立平面直角坐标系，如图： 则 A（ 0， 4）， B（ 3， 0）， C（ 0， 0）， D（ ， 2）设 E（ x， 0），则 F（ 0， ） x 1 =（ x ， 2）， =（ ， ） = +4 2 = 2 令 f（ x） = 2 ，则 f（ x） = + 令 f（ x） =0 得 x= 当 0 x 时， f（ x） 0，当 x 1 时， f（ x） 0 当 x= 时， f（ x）取得最小值 f（ ） = 故选： B 【点评】 本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是解题关键，属于中档题 7设双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的顶点为 P 为双曲线上一点，直线双曲线 C 的一条渐近线于 M 点，直线 斜率分别为 ，则双曲线 C 离心率为（ ） A 2 B C D 4 【分析】 设 P（ m， n），即有 =1，即为 = ，由两直线垂直的条件：斜率之积为 1，以及直线的斜率公式，化简整理，结合离心率公式计算即可得到所求值 【解答】 解：设 P（ m， n），即有 =1， 即为 = ， 由 a， 0）， a， 0）， 可得 斜率为 = ， 可得 斜率为 = 两式相乘可得， = ， 即有 = ，即为 b= a， c= = a， 即有 e= = 故选： B 【点评】 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点满足双曲线的方程，以及直线的斜 率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题 8设函数 f（ x）与 g（ x）的定义域为 R，且 f（ x）单调递增， F（ x） =f（ x） +g（ x）， G（ x） =f（ x） g（ x）若对任意 R（ 不等式 f（ f（ 2 g（ g（ 2 恒成立则（ ） A F（ x）， G（ x）都是增函数 B F（ x）， G（ x）都是减函数 C F（ x）是增函数， G（ x）是减函数 D F（ x）是减函数， G（ x）是增函数 【分析】 根据题意，不妨设 f（ x）单调递增，可得出 f（ f（ g（ g（ 且 f（ f（ g（ +g（ 根据单调性的定义证明即可 【解答】 解：对任意 R（ 不等式 f（ f（ 2 g（ g（ 2恒成立， 不妨设 f（ x）单调递增， f（ f（ g（ g（ 且 f（ f（ g（ +g（ F（ =f（ +g（ F（ =f（ +g（ F（ F（ =f（ +g（ f（ g（ =f（ f（ （ g（ g（ 0， F（ x）为增函数；同理可证 G（ x）为增函数， 故选 A 【点评】 考查了对绝对值不等式的理解和利用定义证明函数的单调性 二、填空题（共 7 小题，每小题 6 分，满分 42 分） 9计算： 2 2 ， 2 = 【分析】 利用对数的运算性质、对数恒 等式即可得出 【解答】 解： 2 = =2， 2 = = 故答案分别为： 2； 【点评】 本题考查了对数的 运算性质、对数恒等式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 10设函数 f（ x） =22x+ ）（ x R），则最小正周期 T= ；单调递增区间是 ， ， k Z 【分析】 由条件利用正弦函数的周期性和单调性，可得结论 【解答】 解： 函数 f（ x） =22x+ ）（ x R），则最小正周期 T= =， 令 2 2x+ 2，求得 x ， 故函数的增区间为 ， ， k Z， 故答案为： ； ， ， k Z 【点评】 本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，属于基础题 11在正方形 ， E 是 中点，则异面直线 成角的余弦值等于 ，若正方体边长为 1，则四面体 B 体积为 【分析】 取 点 F，连接 异面直线 求出三边长，利用余弦定理或等腰三角形知识求出 面体 B 体积等于三棱锥 体积 【解答】 解：取 点 F，连接 1F， 异面直线 成的角 设正方体棱长为 1，则 ， 1F= = = V =V = = = 故答案为： ， 【点评】 本题考查了正方体的结构特征，空间角的计算，棱锥的体积计算，属于中档题 12若实数 x， y 满足 ，则 x 的取值范围是 0， 1 ， |x|+|y|的取值范围是 0， 2 【分析】 由约束条件作出可行域，得到 x 的范围，分类去绝对值得到 z=|x|+|y|，求得不同情况下的最值，取并集得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 由图可知， 0 x 1； 当 x 0， y 0 时， z=|x|+|y|=x+y 过（ 1， ）时有最大值为 ，过 O（ 0， 0）时有最小值0； 当 x 0， y 0 时， z=|x|+|y|=x y 过（ 1， 1）时有最大值为 2，过 O（ 0， 0）时有最小值 0 |x|+|y|的取值范围是 0， 2 故答案为： 0， 1， 0， 2 【点评】 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 13抛物线 p 0）的焦点为 F，点 A， B 在抛物线上，且 20，过弦 作准线 l 的垂线，垂足为 的最大值为 【分析】 设 |a， |b，连接 抛物线定义得 2|a+b，由余弦定理可得 |=（ a+b） 2 而根据基本不等式，求得 |取值范围，从而得到本题答案 【解答】 解：设 |a， |b，连接 抛物线定义，得 | |在梯形 ， 2|a+b 由余弦定理得， |=a2+2a2+b2+方得， |=（ a+b） 2 又 （ ） 2， （ a+b） 2 （ a+b） 2 （ a+b） 2= （ a+b） 2 得到 | （ a+b） 所以 = ， 即 的最大值为 故答案为： 【点评】 本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求 的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题 14设实数 a， b 满足 0 a， b 8，且 6+ b a 的最大值为 4 【分析】 由题意可知 6+焦点在 y 轴上的双曲线，设目标函数 b a=t，则当目标函数经过点 A（ 0， 4）， t 的值最大，问题得以解决 【解答】 解： 6+ 即为 =1， 顶点坐标为（ 0， 4）， 设目标函数 b a=t， 则当目标函数经过点 A（ 0， 4）， t 的值最大， 即 t=b a=4， 故 b a 的最大值为 4， 故答案为： 4 【点评】 本题考查了双曲线的定义，以及目标函数的最值问题，属于基础题 15定义 a， b= ，则不等式 x+ ， 4 8x， 的解集是 【分析】 由基本不等式可知 ， x+ ， 4=4，转化成求不等式的解集的问题 【解答】 解： 当 x 0 时，由基本不等式可知 ， x+ ， 4=4，则不等式转化成： x， ，即： 或 解得： 或 x 2 当 x 0， x+ ， 4=x+ = （ x） + 2， （ x） + 2， x+ ， 4 2， 8x 2， x ， ， x ， 综上不等式的解集为 故答案为： 【点评】 本题主要考察基本不等式的关系将已知的不等式进行转化，然后求解，属于基础题 三、解答题（共 5 小题，满分 68 分） 16在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 m R） （ I）当 m=3 时，求 最小值； （ ）当 A= 时，求 m 的取值范围 【分析】 （ I）由题意和正弦定理可得 3a=b+c，再由余弦定理可得 ，由基本不等式可得； （ ）由题意可得 m= 三角函数公式化简可得 m= B+ ），由 B （ 0， ）和三角函数的值域可得 【解答】 解：（ I） 在 当 m=3 时， 3 由正弦定理可得 3a=b+c， 再由余弦定理可得 = = = 当且仅当 b=c 时取等号， 故 最小值为 ； （ ）当 A= 时，可得 m= 故 m= B） = （ = B+ ）， B （ 0， ）， B+ （ ， ）， B+ ） （ 1， B+ ） （ ， 由 =1 2解得 m 的取值范围为（ ， ， 【点评】 本题考查三角函数恒等变换，涉及正余弦定理解三角形和基本不等式以及三角函数的值域，属中档题 17在底面是正三角形的三棱柱 ， ， 平面 E， F 分别为中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）若 ，求二面角 C A 的大小 【分析】 （ 1）取 中点 H，连结 导出四边形 平行四边形，由此能证明 平面 （ 2）设 点为 G，连结 导出 二面角 C A 的平面角，由此能求出二面角 C A 的大小 【解答】 证明：（ 1）取 中点 H，连结 则 F， 四边形 平行四边形， 面 面 平面 解：（ 2）设 点为 G，连结 ， 平面 1E= ， ， +， C=C， 平面 二面角 C A 的平面角， 且 C= ， ， 5 二面角 C A 的大小为 45 【点评】 本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 18设公差不为 0 的等差数列 首项 ，前 n 项和为 ， ， 成等比数列 （ 1）求数列 通项公式及 （ 2）设 ， ，且 别为数列 前 n 项和，比较 大小 【分析】 （ 1）由等比数列性质得 ，由等差数列通项公式得（ a1+d） 2=d），由此能求出数列 通项公式及 2）由裂项求和法得到 （ 1 ），由等比数列的性质得到 （ 1 ），从而得到 【解答】 解：（ 1）设等差数列的公差为 d， 公差不为 0 的等差数列 首项 ，前 n 项和为 ， ， 成等比数列， ， （ a1+d） 2=d）， 由 d 0，解得 d=1， an=n， （ 2） ， = ， ， ，且 别为数列 前 n 项和， （ 1 ） =2（ 1 ）， = ， = =2（ 1 ）， =2， 【点评】 本题考查数列的通项公式和前 n 项和的求法，考查数列有前 n 项和的大小的比较，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用 19设函数 f（ x） =|a| 1（ a R） （ I）若函数 y=f（ x）在 R 上恰有四个不同的零点，求 a 的取值范围； （ ）若函数 y=f（ x）在 1， 2上的最小值为 g（ a），求 g（ a）的表达式 【分析】 （ I）若函数 y=f（ x）在 R 上恰有四个不同的零点，讨论 a 的范围，结合一元二次函数的图象和性质即可求 a 的取值范围； （ ）根据一元二次函数的单调性和对称性的关系，进行求解即可 【解答】 解：（ I）若函数 y=f（ x）在 R 上恰有四个不同的零点， 则等价为 f（ x） =|a| 1=0，即 |a|= 有四个不同的解， 若 a 0，则方程 a= 至多有两个根，不满足条件 若 a 0，则 y=a 与 y= 两个图象有四个不同的交点， 当 y= 与 y= x2+a 相切时，得 a= 2 2 ，（负值舍掉）， 当 y= 过点（ ， 0）时，得 a=1， 2 2 a 1， 即 a 的取值范围是（ 2 2， 1） （ ） 当 a 1 时， f（ x） =a 1=（ x ） 2 a 1， 则 f（ x）在 1， 2上单调递增，则 f（ x） f（