山东省烟台市2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年山东省烟台市高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1 300角终边所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2若 a= b= c=则 a， b， c 的大小关系为（ ） A a b c B b a c C b c a D c b a 3若两个圆心角相同的扇形的面积之比为 1： 4，则这两个扇形的周长之比为（ ） A 1： B 1： 2 C 1： 4 D 1： 2 4关于平面向量，给出下列四个命题： 单位向量的模都相等； 对任意的两个非零向量 ， ，式子 | + | | |+| |一定成立； 两个有共同的起点且相等的向量，其终点必定相同； 若 = ，则 = 其中正确的命题的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 5将函数 y=4x+ ）的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平移 个单位，得到的函数的一个对称中心是（ ） A（ ， 0） B（ ， 0） C（ ， 0） D（ ， 0） 6已知向量 =（ 1， 2）， =（ 3， 2），若 k + 和 3 互相垂直，则实数 k 的值为（ ） A 17 B 18 C 19 D 20 7已知 += ，则（ 1+ 1+值是（ ） A 1 B 1 C 2 D 4 8已知 ， 是两个不共线的平面向量，向量 = + ， = （ ， R），若 ，则有（ ） A +=2 B =1 C = 1 D =1 9若 0 ， ， +） = ， ） = ，则 + ）=（ ） A B C D 10已知函教 f（ x） =x+）（ A 0， 0）的图象与直线 y=b（ 0 b A）的三个相邻交点的横坐标分别是 2， 4， 8，则 f（ x）的单调递增区间是（ ） A 66， k Z B 6k 3， 6k， k Z C 6k， 6k+3， k Z D 63， 6 k Z 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分 .、共 25 分 . 11若 m，则 第 2 页（共 16 页） 12设 ，则 的值为 13若平面向量 ， 满足（ + ） （ 2 ） = 12，且 | |=2， | |=4，则 在 方向上的投影为 14在直角坐标系中， P 点的坐标为（ ， ）， Q 是第三象限内一点， |1 且 ，则 Q 点的横坐标为 15在 ，点 D 和 E 分别在边 ，且 于点 P，若 =m ， =n （ m， n R），则 m+n= 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16化简求值： （ 1） 1+ ； （ 2） 17已知 ， 为两平面向量，且 | |=| |=1， ， =60 （ 1）若 = ， =2 6 ， =3 + ，求证： A， B， D 三点共线； （ 2）若 = +2 2， = 1 ，且 ，求实数 的值 18已知 ， （ 0， ） （ 1）求 （ 2）求 的值 19已知函数 f（ x） =x+） +B（ A 0， ）的一系列对应值如表： x y 1 1 3 1 1 1 3 （ 1）根据表格提供的数据求函数 f（ x）的一个解析式； （ 2）对于区间 a， b，规定 |b a|为区间长度，根据（ 1）的结果，若函数 y=f（ f（ ）（ k 0）在任意区间长度为 的区间上都能同时取到最大 值和最小值，求正整数k 的最小值 第 3 页（共 16 页） 20在 ， 5， 0， O 为三角形的外心，以线段 邻边作平行四边形，第四个顶点为 D，再以 邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H （ 1）设向量 = ， = ， = ，试用 ， ， 表示 ； （ 2）用向量法证明： （ 3）若 外接圆半径为 ，求 长度 21已 知向量 =（ 2 =（ 若函数 f（ x） = 的图象关于直线 x=对称，其中 ， 为常数，且 （ ， 1） （ 2）求函数 f（ x）的最小正周期； （ 2）当 =1 时，若 x 0， ，求 f（ x）的最大值和最小值，并求相应的 x 值； （ 3）当 x 0， ，函数 f（ x）有两个零点，求实数 的取值范围 第 4 页（共 16 页） 2015年山东省烟台市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1 300角终边所在的象限为 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 象限角、轴线角 【分析】 由终边相同角的概念得： 300= 360+60，由此可得答案 【解答】 解： 300= 360+60， 角 300的终边与 60的终边相同，所在的象限为第一象限 故选： A 2若 a= b= c=则 a， b， c 的大小关系为（ ） A a b c B b a c C b c a D c b a 【考点】 任意角的三角函数的定义 【分析】 分 别作出三角函数线，比较可得 【解答】 解：作出三角函数线结合图象， a= b= c= 可得 b c a， 故选： C 3若两个圆心角相同的扇形的面积之比为 1： 4，则这两个扇形的周长之比为（ ） A 1： B 1： 2 C 1： 4 D 1： 2 【考点】 扇形面积公式 【分析】 首先根据扇形的面积公式求出半径之比，然后根据扇形的周长公式即可得出结果 【解答】 解：设扇形的圆心角的弧度数为 ，圆的半径为 r 和 R，则 = = ， r： R=1： 2， 第 5 页（共 16 页） 两个扇形周长的比为： =1： 2 故选： B 4关于平面向量，给出下列四个命题： 单位向量的模都相等； 对 任意的两个非零向量 ， ，式子 | + | | |+| |一定成立； 两个有共同的起点且相等的向量，其终点必定相同； 若 = ，则 = 其中正确的命题的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 向量的物理背景与概念；平面向量数量积的运算 【分析】 根据单位向量的定义即可判断出正误； 当 与 同向共线时， | + |=| |+| ，不成立 |； 根据相等的向量的意义即可判断出结论； 由 = ，可得 =0，于是 ，或 = 或 = ，即可判断出正误 【解答】 解： 单位向量的模都相等，正确； 对任意的两个非零向量 ， ，式子 | + | | |+| |不一定成立，例如 与 同向共线时，| + |=| |+| |； 两个有共同的起点且相等的向量，其终点必定相同，正确； 若 = ，则 =0， ，或 = 或 = ，因此不正确 其中正确的命题的个数为 2 故选： B 5将函数 y=4x+ ）的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平移 个单位，得到的函数的一个对称中心是（ ） A（ ， 0） B（ ， 0） C（ ， 0） D（ ， 0） 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用函数 y=x+）的图象变换规律，求得所得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论 【解答】 解：将函数 y=4x+ ）的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，可得函数y=2x+ ）的图象； 再向右平移 个单位，得到的函数 y=（ x ） + =图象， 令 2x=k Z，可得 x= ，故所得函数的图象的一个对称中心是（ ， 0）， 故选： A 第 6 页（共 16 页） 6已 知向量 =（ 1， 2）， =（ 3， 2），若 k + 和 3 互相垂直，则实数 k 的值为（ ） A 17 B 18 C 19 D 20 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量 k + 和 3 互相垂直，转化为（ k + ） （ 3 ） =0，解方程即可 【解答 】 解：若 k + 和 3 互相垂直， 则（ k + ） （ 3 ） =0， =（ 1， 2）， =（ 3， 2）， k + =（ k 3， 2k+2）， 3 =（ 10， 4）， 则 10（ k 3） 4（ 2k+2） =0， 即 2k=38，则 k=19， 故选： C 7已知 += ，则（ 1+ 1+值是（ ） A 1 B 1 C 2 D 4 【考点】 两角和与差的正切函数 【分析】 由 += ，得到 +） =1，利用两角和的正切函数公式化简 +） =1，即可得到所求式子的值 【解答】 解：由 += ，得到 +） =1， 所以 +） = =1，即 则（ 1+ 1+=1+ 故选 C 8已知 ， 是两个不共线的平面向量，向量 = + ， = （ ， R），若 ，则有（ ） A +=2 B =1 C = 1 D =1 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 利用向量共线的充要条 件列出方程组，求出即可 【解答】 解： ， =k ， = + ， = （ ， R）， + =k（ ）， ， = 1 故选： C 9若 0 ， ， +） = ， ） = ，则 + ）=（ ） 第 7 页（共 16 页） A B C D 【考点】 两角和与差的余弦函数 【分析】 由已知利用同角三角函数基本关系式可求 +）， ）的值，由+ =（ +）（ ），利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解 【解答】 解： 0 ， +） = ， + （ ， ）， +） = = ， ， ） = ， （ ， ）， ） = = ， + ） = +）（ ） =+） ） +） ） = （ ） + = 故选： D 10已知函教 f（ x） =x+）（ A 0， 0）的图象与直线 y=b（ 0 b A）的三个相邻交点的横坐标分别是 2， 4， 8，则 f（ x）的单调递增区间是（ ） A 66， k Z B 6k 3， 6k， k Z C 6k， 6k+3， k Z D 63， 6 k Z 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 先根据交点横坐标求出最小正周期，进而可得 w 的值，再由当 x=3 时函数取得最大值确定 的值，最 后根据正弦函数的性质可得到答案 【解答】 解： 函教 f（ x） =x+）（ A 0， 0）的图象与直线 y=b（ 0 b A）的三个相邻交点的横坐标分别是 2， 4， 8 T=6= w= ，且当 x=3 时函数取得最大值 3+= = f（ x） =x ） x 第 8 页（共 16 页） 6k x 6k+3 故选 C 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分 .、共 25 分 . 11若 m，则 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 利用诱导公式求出余弦函数值，然后求解正弦函数的值，利用同角的三角函数的基本关系式求解即可 【解答】 解： m，可得 m， = 故答案为： 12设 ，则 的值为 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【分析】 原式分子利用二倍角的正弦函数公式化简，分子分母除以 用同角三角函数间的基本关系化简，将 【解答】 解： ， 原式 = = = = ， 故答案为： 13若平面向量 ， 满足（ + ） （ 2 ） = 12，且 | |=2， | |=4，则 在 方向上的投影为 2 【考点】 向量的模 【分析】 根据向量数量积的公式先求出 = 4，利用向量投影的定义进行求解即可 【解答】 解： （ + ） （ 2 ） = 12，且 | |=2， | |=4， 2 2 2+ = 12， 即 8 16+ = 12， 则 = 4， 则 在 方向上的投影为 = = 2， 故答案为： 2 第 9 页（共 16 页） 14在直角坐标系中， P 点的坐标为（ ， ）， Q 是第三象限内一点， |1 且 ，则 Q 点的横坐标为 【考点】 任意角的三角函数的定义 【分析】 设 ，根据三角函数的坐标法定义，得到 的三角函数值，然后利用三角函数公式求 Q 的横坐标 【解答】 解：设 ，则 ， ， Q 点的横坐标为 ） = ； 故答案为： 15在 ，点 D 和 E 分别在边 ，且 于点 P，若 =m ， =n （ m， n R），则 m+n= 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 可根据条件用向量 表示出向量 ： ，而三点 B， P， 样便可得出 ，从而求出 m 的值， 而同理可求出 n 的值，从而得出 m+ 【解答】 解：根据条件： = = = = B， P， E 三点共线； ； ； 第 10 页（共 16 页） 同 理求得 n= ； 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16化简求值： （ 1） 1+ ； （ 2） 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 （ 1）根据 、两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式、诱导公式化简即可； （ 2）根据分式的性质，二倍角的余弦、正弦公式、诱导公式化简即可 【解答】 解：（ 1）原式 = = = = = =1； （ 2）原式 = = = = = = 17已知 ， 为两平面向量，且 | |=| |=1， ， =60 （ 1）若 = ， =2 6 ， =3 + ，求证： A， B， D 三点共线； （ 2）若 = +2 2， = 1 ，且 ，求实数 的值 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 （ 1）根据三点共线的条件判断 ，即可 第 11 页（共 16 页） （ 2）根据向量垂直的等价条件转化为 =0，解方程即可 【解答】 解： | |=| |=1， ， =60 =| | |1 1 = （ 1） = + =2 6 +3 + =5 5 =5（ ） =5 ， 则 ， 即 A， B， D 三点共线； （ 2）若 = +2 2， = 1 ，且 ， 则 =0，即（ +2 2） （ 1 ） =0， 即 2 2 22+（ 22 1） 1 =0 则 2+（ 22 1） =0， 即 22 2 1=0， 则 = = = 18已知 ， （ 0， ） （ 1）求 （ 2）求 的值 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，先求的得 而求得要求式子的值 【解答】 解：（ 1） ， （ 0， ）， 1+2，即 0， 0， 0 = = ， ， ， = （ 2） = = = = 第 12 页（共 16 页） 19已知函数 f（ x） =x+） +B（ A 0， ）的一系列对应值如表： x y 1 1 3 1 1 1 3 （ 1）根据表格提供的数据求函数 f（ x）的一个解析式； （ 2）对于区间 a， b，规定 |b a|为区间长度，根据（ 1）的结果，若函数 y=f（ f（ ）（ k 0）在任意区间长度为 的区间上都能同时取到最大值和最小值，求正整数k 的最小值 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象 【分析】 （ 1）由表格可得 A+B=3， A+B= 1，求得 A 和 B 的值，再根据周期性求得 =1，根据五点法作图求得 ，可得函数的解析式 （ 2）先求出函数 y=f（ f（ ）的解析式，再根据它的周期小于或等于 ， 求得正整数 k 的最小值 【解答】 解：（ 1）对于函数 f（ x） =x+） +B（ A 0， ）， 由表格可得 A+B=3， A+B= 1， 求得 A=2， B=1 再根据 = ，求得 =1 再根据五点法作图可得 1 += ，可得 = ， f（ x） =2x ） +1 （ 2）函数 y=f（ f（ ） =2） 2 =2） 2） =2 ） =2 ）（ k 0） 在任意区间长度为 的区间上都能同时取到最大值和最小值， ，即 k 20， 故正整数 k 的最小值为 63 20在 ， 5， 0， O 为三角形的外心，以线段 邻边作平行四边形，第四个顶点为 D，再以 邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H （ 1）设向量 = ， = ， = ，试用 ， ， 表示 ； （ 2）用向量法证明： （ 3）若 外接圆半径为 ，求 长度 第 13 页（共 16 页） 【考点】 平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义 【分析】 （ 1）运用向量加法的平行四边形法则，即可得到所求； （ 2）运用向量的减法和向量垂直的条件：数量积为 0，即可得证； （ 3）运用正弦定理分别求得三角形 三边，再由余弦定理可得 由向量的平方即为模的平 方，结合向量数量积的定义，计算即可得到所求值 【解答】 解：（ 1）由向量加法的平行四边形法则，可得 = + ， 由题意可得 = + ， 即有 = + + = + + ； 证明：（ 2） = = + ， = ， 则 =（ + ） （ ） = 2 2=0， 可得 （ 3）在三角形 ，由正弦定理可得 = = =2 ， 解得 =1+ ， =2， = ， 在 ， C= ， ， 即有 0， 在 ， C= ， ， 由余弦定理可得 = ， 可得 20， 在