广东省韶关市2015-2016年高二下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2015年广东省韶关市高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题 2 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 M= 1， 1， N=x|x 0 或 x ，则下列结论正确的是（ ） A N M B NM= C M N D M N=R 2化简 值为（ ） A B 1 C D 3如图所示的算法流程图中，输出 S 的值为（ ） A 32 B 42 C 52 D 63 4设 ， 是两个不同的平面， l， m 是两条不同的直线，且 l， m，（ ） A若 l ，则 B若 ，则 l m C若 l ，则 D若 ，则 l m 5某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如表： 广告费用 x（万元） 4 2 3 5 销售额 y（万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 = x+ 中的 为 此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为（ ） A 元 B 元 C 元 D 元 6已知 | |= ， =（ 1， 2），且 ，则 的坐标为（ ） A（ 2， 1）或（ 2， 1） B（ 6， 3） C（ 1， 2） D（ 2， 1）或（ 2， 1） 7某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ） 第 2 页（共 19 页） A 12 B 45 C 57 D 81 8在公比为整数的等比数列 ，如果 a1+8， a2+2，那么该数列的前 8 项之和为（ ） A 513 B 512 C 510 D 9若 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 1 的最大值为（ ） A 3 B 1 C 1 D 2 10已知 a、 b、 c 是 三个内角 A、 B、 C 对应的边，若 a=2， b=2 ， ，则角 A 的大小为（ ） A B C D 或 11 M 是抛物线 p 0）上一点， F 为 抛物线的焦点，以 始边， 终边的角 0，若 |4，则 p=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 12设点 P 在曲线 y=，点 Q 在曲线 y= ，则 |最小值为（ ） A （ 1 B （ 1 C （ 1+ D （ 1+ 二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13复数 z 满足 z（ 1 i） = 1 i，则 |z|= 14等差数列 ， ， ，则 前 7 项和 15已知函数 f（ x） =，且 f（ 1） =3，则 f（ 1） = 16已知圆 x 1） 2+（ y 3） 2=1，圆 x 6） 2+（ y 1） 2=1， M， N 分别是圆x y 2=0上的动点，则 | |的最大值为 三解答题（本大题共 6 题，满分 70 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17已知函数 f（ x） =2+ ）， x R （ ）求 f（ x）的最小正周期与单调增区间； 第 3 页（共 19 页） （ ）求函数 y=f（ 4x+2）， x 0， 的最大值、最小值 18为选拔选手参加 “中国汉字听写大会 ”，某中学举行了一次 “汉字听写大赛 ”活动为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为 100 分）作为样本（样本容量为 n）进行统计按照 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在 50， 60），90， 100的数据） （ 1）求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、 y 的值； （ 2）在选取的样本中，从竞赛成绩在 80 分以上（含 80 分）的学生中随机抽取 2 名学生参加 “中国汉字听写大会 ”，求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在 90， 100内的概率 19如图，在四面体 P ， 平面 ， ， ，且 D， E， F 分别为 中点 （ 1）求证： （ 2）在棱 是否存在一点 G，使得 平面 明你的结论 20已知椭圆 C： （ a b 0）的离心率为 ，左焦点为 F（ 1， 0），过点 D（ 0， 2）且斜率为 k 的直线 l 交椭圆于 A， B 两点 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）求 k 的取值范围； （ 3）在 y 轴上，是否存在定点 E，使 恒为定值？若存在，求出 E 点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由 21已知函数 f（ x） =2 1 2m） x， m R （ ）若函数 f（ x）的图象在 x=1 处的切线过点（ 2， 1），求实数 m 的值； （ ）当 m 时，讨论函数 f（ x）的零点个数 第 4 页（共 19 页） 请考生在第（ 22）、（ 23）、（ 24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号 .选修 4何证明选讲 22如图， 平分线与 外接圆分别相交于 D 和 E，延长 过 D，E， C 三点的圆于点 F （ 1）求证： F； （ 2）若 ， ，求 F 的值 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，曲线 参数方程为 （ t 是参数），以原点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 =8 ） （ 1）求曲线 直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； （ 2）若曲线 曲线 于 A， B 两点，求 |最大值和最小值 选修 4等 式选讲 24已知不等式 2|x 3|+|x 4| 2a （ ）若 a=1，求不等式的解集； （ ）若已知不等式的解集不是空集，求 a 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2015年广东省韶关市高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题 2 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 M= 1， 1， N=x|x 0 或 x ，则下列结论正确的是（ ） A N M B NM= C M N D M N=R 【考点】 交集及其运算 【分析】 利用集合的包含关系，即可得出结论 【解答】 解：集合 M= 1， 1， N=x|x 0 或 x ，所以 M N， 故选： C 2化简 值为（ ） A B 1 C D 【考点】 二倍角的 余弦 【分析】 利用二倍角的余弦公式求得结果 【解答】 解： ， 故选： D 3如图所示的算法流程图中，输出 S 的值为（ ） 第 6 页（共 19 页） A 32 B 42 C 52 D 63 【考点】 程序框图 【分析】 根据程序框图的流程，写出前几次循环得到的结果，直到满足判断框中的条件，结束循环，输出结果 【解答】 解：运行算法，可得： 第一次 S=3， i=4， i 10； 第二 次 S=3+4， i=5， i 10； 第三次 S=3+4+5， i=6， i 10； 第四次 S=3+4+5+6， i=7， i 10； 第五次 S=3+4+5+6+7， i=8， i 10； 第六次 S=3+4+5+6+7+8， i=9， i 10； 第七次 S=3+4+5+6+7+8+9， i=10， i=10； 第八次 S=3+4+5+6+7+8+9+10， i=11， i 10； 满足判断框中的条件，结束循环，此时输出 S=52， 故选： C 4设 ， 是两个不同的平面， l， m 是两条不同的直线，且 l， m，（ ） A若 l ，则 B若 ，则 l m C若 l ，则 D若 ，则 l m 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 A 根据线面垂直的判定定理得出 A 正确； B 根据面面垂直的性质判断 B 错误； C 根据面面平行的判断定理得出 C 错误； D 根据面面平行的性质判断 D 错误 【解答】 解：对于 A， l ，且 l，根据线面垂直的判定定理，得 ， A 正确； 对于 B，当 ， l， m 时， l 与 m 可能平行，也可能垂直， B 错误； 对于 C，当 l ，且 l时， 与 可能平行，也可能相交， C 错误； 第 7 页（共 19 页） 对 于 D，当 ，且 l， m 时， l 与 m 可能平行，也可能异面， D 错误 故选： A 5某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如表： 广告费用 x（万元） 4 2 3 5 销售额 y（万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 = x+ 中的 为 此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为（ ） A 元 B 元 C 元 D 元 【考点】 线性回归方程 【分析】 根据表中所给的数据，广告费用 x 与销售额 y（万元）的平均数，得到样本中心点，代入样本中心点求出 的值，写出线性回归方程将 x=6 代入回归直线方程，得 y，可以预报广告费用为 6 万元时销售额 【解答】 解：由表中数据得： = = =42， 又回归方程 = x+ 中的 为 故 =42 = 将 x=6 代入回归直线方程，得 y=6+元） 此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 元） 故选： C 6已知 | |= ， =（ 1， 2），且 ，则 的坐标为（ ） A（ 2， 1）或（ 2， 1） B（ 6， 3） C（ 1， 2） D（ 2， 1）或（ 2， 1） 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 设出 =（ x， y），根据题意列出方程组，求出 x、 y 的值即可 【解答】 解：设 =（ x， y）， | |= = ， 又 ， =x+2y=0； 由 组成方程组， 解得 或 ， 故 或 ， 故选： D 第 8 页（共 19 页） 7某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ） A 12 B 45 C 57 D 81 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由题设知，组合体上部是一个母线长为 5，底面圆半径是 3 的圆锥，下部是一个高为 5，底面半径是 3 的圆柱，分别根据两几何体的体积公式计算出它们的体积再相加即可得到正确选项 【解答】 解：由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为 5，底面圆半径是 3 的圆锥，下部是一个高为 5，底面 半径是 3 的圆柱 故它的体积是 5 32+ 32 =57 故选 C 8在公比为整数的等比数列 ，如果 a1+8， a2+2，那么该数列的前 8 项之和为（ ） A 513 B 512 C 510 D 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 由 a1+8， a2+2 可先用首项 公比 q 表示可得， 1+=18， 1+q）=12，联立方程可求 q，然后代入等比数列的前 n 和公式可求答案 【解答】 解：设等比数列的首项为 比为 q a1+8， a2+2 两式相除可得， 25q+2=0 由公比 q 为整数可得， q=2， 代入等比数列的和公式可得， 故选： C 第 9 页（共 19 页） 9若 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 1 的最大值为（ ） A 3 B 1 C 1 D 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=2x+y 1 得 y= 2x+z+1， 平移直线 y= 2x+z+1， 由图象可知当直线 y= 2x+z+1 经过点 C 时，直线 y= 2x+z+1 的截距最大， 此时 z 最大 由 ，解得 ，即 C（ 1， 1）， 代入目标函数 z=2x+y 1 得 z=2 1+1 1=2 即目标函数 z=2x+y 1 的最大值为 2 故选： D 10已知 a、 b、 c 是 三个内角 A、 B、 C 对应的边，若 a=2， b=2 ， ，则角 A 的大小为（ ） A B C D 或 【考点】 正弦定理 【分析】 利用和差化积可得 B，再利用正弦定理即可得出 【解答】 解： ， 从而 ， 0 B ， ， 在 ，由正弦定理得 ，解得 ， 又 a b， A B，故 第 10 页（共 19 页） 故选： B 11 M 是抛物线 p 0）上一点， F 为抛物线的焦点，以 始边， 终边的角 0，若 |4，则 p=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 利用 0， |4，求出 M 的坐标代入 p 0）得 p，即可得出结论 【解答】 解：不妨设 M 在第一象限，过点 M 作 x 轴，垂足为 N， 计算可得 ， 所以， M 的坐标为 ，代入 p 0）得 p=2 故选： B 12设点 P 在曲线 y=，点 Q 在曲线 y= ，则 |最小值为（ ） A （ 1 B （ 1 C （ 1+ D （ 1+ 【考点】 反函数；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 由 y= 互为反函数，图象关于直线 y=x 对称；利用导数求出 y=切线方程，计算原点到切线的距离，即可得 出 |最小值 【解答】 解： y= 互为反函数，它们图象关于直线 y=x 对称； 又 y=2直线的斜率 ，得 ， ， 所以切线方程为 ， 则原点到切线的距离为 ， |最小值为 故选： D 第 11 页（共 19 页） 二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13复数 z 满足 z（ 1 i） = 1 i，则 |z|= 1 【考点】 复数求模 【分析】 根据复数的化简，求出复数的模即可 【解答】 解： ， 则 ， 故答案为： 1 14等差数列 ， ， ，则 前 7 项和 35 【考 点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 根据等差数列中项的性质与前 n 项和公式，即可求出结果 【解答】 解：等差数列 ，前 7 项和为： 故答案为： 35 15已知函数 f（ x） =，且 f（ 1） =3，则 f（ 1） = 7 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 由 f（ 1） =3，可得 b= 2，代入 f（ 1） = b+5 可求 【解答】 解：因为 f（ 1） =3， 所以 f（ 1） =b+5=3，即 b= 2 所以 f（ 1） = b+5=（ 2） +5=7 故答案为： 7 16已知圆 x 1） 2+（ y 3） 2=1，圆 x 6） 2+（ y 1） 2=1， M， N 分别是圆的动点， P 为直线 x y 2=0 上的动点，则 | |的最大值为 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 分别求出圆 圆心和半径，由于 | | （ |1）（ | 1） =2+| |求出 6， 1）关于直线 l： x y 2=0 的对称点为 3， 4），则 2+| |2+| | |2 +2，由此可得 | |最大值 【解答】 解：圆 x 1） 2+（ y 3） 2=1 的圆心为 1， 3），半径等于 1， x 6） 2+（ y 1） 2=1 的圆心 6， 1），半径等于 1， 则 | | （ |1）（ | 1） =2+| | 设 6， 1）关 于直线 l： x y 2=0 的对称点为 h， k）， 则由 ，解得 ，可得 3， 4） 则 2+| |2+| | |2 +2， 即当点 P 是直线 直线 l 的交点时， | |得最大值为 故答案为： 第 12 页（共 19 页） 三解答题（本大题共 6 题，满分 70 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17已知函数 f（ x） =2+ ）， x R （ ）求 f（ x）的最小正周期与单调增区间； （ ）求函数 y=f（ 4x+2）， x 0， 的最大值、最小值 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 （ ）由条件利用正弦函数的周期性和单 调性，求得 f（ x）的最小正周期与单调增区间 （ ）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数 y=f（ 4x+2）， x 0， 时的最大值、最小值 【解答】 解：（ ） ， T=4 函数 y=单调增区间为 ， 故由 ， 求得 ， （ ） 化简函数 y=f（ 4x+2），可得 ， ， ， 故当 时，函数 y=f（ 4x+2）的最大值为 1； 当 时，函数 y=f（ 4x+2）的最小值为 2 18为 选拔选手参加 “中国汉字听写大会 ”，某中学举行了一次 “汉字听写大赛 ”活动为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为 100 分）作为样本（样本容量为 n）进行统计按照 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在 50， 60），90， 100的数据） （ 1）求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、 y 的值； （ 2）在选取的样本中，从竞赛成绩在 80 分以上（含 80 分）的学生中随机抽 取 2 名学生参加 “中国汉字听写大会 ”，求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在 90， 100内的概率 第 13 页（共 19 页） 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ 1）由样本容量和频数频率的关系易得答案； （ 2）由题意可知，分数在 80， 90）内的学生有 3 人，分数在 90， 100内的学生有 2 人，抽取的 2 名学生的所有情况有 10 种，其中 2 名同学的分数至少有一名得分在 90， 100内的情况有 7 种，即可求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在 90， 100内的概率 【解答】 解：（ 1）由题意可知， 样本容量 n= =25， y= = x= （ 2）由题意可知，分数在 80， 90）内的学生有 3 人，分数在 90， 100内的学生有 2 人，抽取的 2 名学生的所有情况有 10 种，其中 2 名同学的分数至少有一名得分在 90， 100内的情况有 7 种， 所抽取的 2 名学生中至少有一人得 分在 90， 100内的概率为 19如图，在四面体 P ， 平面 ， ， ，且 D， E， F 分别为 中点 （ 1）求证： （ 2）在棱 是否存在一点 G，使得 平面 明你的结论 【考点】 直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ 1）由勾股定理得 线面垂直得 而 平面 此能证明 （ 2）取 点 G 时， 平面 D、 E 分别是棱 中点，得 而 平面 面 证明 平面 【解答】 （ 1）证明：在 ， ， ， ， 第 14 页（共 19 页） 又 平面 面 B=A， 平面 而 面 （ 2）解：取 点 G 时， 平面 证明如下： D、 E 分 别是棱 中点， 又 面 面 平面 在棱 取中点 G，连结 F 是 点， 面 平面 20已知椭圆 C： （ a b 0）的离心率为 ，左焦点为 F（ 1， 0），过点 D（ 0， 2）且斜率为 k 的直线 l 交椭圆于 A， B 两点 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）求 k 的取值范围； （ 3）在 y 轴上，是否存在定点 E，使 恒为定值？若存在，求出 E 点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由 【考点】 椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ 1）直接求出 a， b； （ 2）利用一元二次方程有两个不等的实数解的条件； （ 3）利用设而不求的方法，设出要求的常数，并利用多项式的恒等条件（相同次项的系数相等） 第 15 页（共 19 页） 【解答】所以 k 的取值范围是： （ 3）设 A（ B（ x1+ 又 ）（ ） =k（ x1+4 = ， y1+ ） +（ ） =k（ x1+4 = 设存在点 E（ 0， m），则 ， 所以 = = 要使得 =t（ t 为常数）， 只要 =t， 从而（ 22 2t） k2+4m+10 t=0 第 16 页（共 19 页） 即 由（ 1）得 t=1， 代入（ 2）解得 m= ，从而 t= ， 故存在定点 ，使 恒为定值 21已知函数 f（ x） =2 1 2m） x， m R （ ）若函数 f（ x）的图象在 x=1 处的切线过点（ 2， 1），求实数 m 的值； （ ）当 m 时，讨论函数 f（ x）的零点个数 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求得 f（ x）的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程，代入 A 的坐标，解方程可得 m 的值； （ ）求出 f（ x） = 1 2m） = ， x 0，讨论：当 m 0 时，当 ，求得单调区间和极值，讨论极值符号，即可得到所求零点个数 【解答】 解：（ ） f（ x）定义域为（ 0， +） 导数 f（ x） = 1 2m）， 可得切线的斜率为 f（ 1） =m+1，且 ， 所求切线方程 ， 将点（ 2， 1）代入切线方程，可得 m=1+m， 得 ； （ ）由（ ）可知 f（ x） = 1 2m） = ， x 0， 当 m 0 时， 1 0 恒成立， 所以 x 2 时， f（ x） 0， f（ x）在（ 2， +）是增函数； 当 0 x 2 时， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， 2）是减函数， f（ x）极小值 f（ 2） =2m 2； 当 f（ 2） 0，即 m 1 ， f（ x）有两个零点； 当 f（ 2） =0，即 m=1 ， f（ x）有一个零点； 当 f（ 2） 0， 0 m 1 ， f（ x）无零点； 当 m 0， f（ x） =0，得 ， 第 17 页（共 19 页） 当 ， f（ x）分别在 ，（ 0， 2）是增函数， f（ x）在 是减函数， f（ x）极小值 f（ 2） =2m 2 0， f（ x）至多一个零点 又 y=2增函数， 是开口向上的抛物线， 所以 f（ x）必有正值，即 f（ x）在 有唯一零点； 综上， m 1 ， f（ x）有两个零点； m=1 时， f（ x）有一个零点； 0 m 1 f（ x）没 有零点 请考生在第（ 22）、（ 23）、（ 24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号 .选修 4何证明选讲 22如图， 平分线与 外接圆分