2016年天津市和平区高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年天津市和平区高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1已知集合 A=x| 1 x 2， B=x|1 x 4，则 A B 可表示为（ ） A 1， 4） B（ 1， 4） C 1， 1） D（ 1， 2） 2从 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7 这七个数字中任取两个数字相加，其和为偶数的概率等于（ ） A B C D 3阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的 S 值是（ ） A B C D 4 “= ”是 “”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5已知双曲线 =1 的一个焦点在抛物线 x 的准线上，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 2 6如图，圆 O 的直径 弦 于点 E，且 E 为 中点，若 ， 0，则线段 长为（ ） A 1 B C D 7若方程 1 k） x 2（ k+1） =0 的一个根在区间（ 2， 3）内，则实数 k 的取值范围是（ ） A（ 3， 4） B（ 2， 3） C（ 1， 3） D（ 1， 2） 第 2 页（共 18 页） 8已知函数 f（ x） = ，若函数 y=f（ x） a 恰有 3 个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A（ 0， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9 i 是虚数单位，计算 的结果为 10一个几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的体积为 11 f（ x） =3 在区间 1， 1上的最大 值是 12设 a b 0，则 的最小值是 13如图，在矩形 ， ， ，点 E 为 中点，点 F 在边 ，若 = ，则（ ） 的值是 14函数 f（ x） = 0）在 0， 上单调递增，且在这个区间上的最大值是 ，则 等于 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 ， ， （ ）求 A+B 的值； （ ）若 ，求 a， b， c 的值 第 3 页（共 18 页） 16营养师要为儿童预定午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳税化合物， 6个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C；一个单位的晚餐含有 8 个单位的碳水化合物， 6 个单位的蛋白质和 10 个单位 的维生素 C，另外，这两餐需要的营养中至少含有 64 个单位的碳水化合物， 42 个单位的蛋白质和 54 个维生素 C （ ）根据已知数据填写如表： 营养成分 碳水化合物 /单位 蛋白质 /单位 维生素 C/单位 午餐 晚餐 （ ）已知一个单位的午餐，晚餐的费用分别是 4 元和 5 元，若预定 x 个单位的午餐和 花费 z 元，请列出满足上述营养要求的不等式组及目标函数； （ ）在（ ）的条件下，并且花费最少，应分别预定多少个单位的午餐和晚餐？ 17如图，斜三棱柱 底面是直角三角形， 0，点 底面 C 的中点，且 A= （ ）求证：平面 平面 （ ）求证： （ ）求二面角 B 余弦值 18若数列 足 ， n 1 （ ）求 通项公式； （ ）若数列 足 ， n+3，且 ，求数列 通项公及前 n 19已知函数 f（ x） =x4+x2+b（ x R），其中 a， b R （ ）当 时，讨论函数 f（ x）的单调性； （ ）若函数 f（ x）仅在 x=0 处有极值，求 a 的取值范围； （ ）若对于任意的 a 2， 2，不等式 f（ x） 1 在 1， 1上恒成立，求 b 的取值范围 20设椭圆 C： + =1（ a b 0）的右焦点为 F，过 F 点的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 ， |2| （ ）求椭圆 C 的离心率； （ ）若 | ，求椭圆 C 的方程； 第 4 页（共 18 页） （ ）在（ ）的条件下， D 为椭圆 C 上一点，当 积取得最大值时，求 D 点的坐标 第 5 页（共 18 页） 2016 年天津市和平区高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1已知集合 A=x| 1 x 2， B=x|1 x 4，则 A B 可表示为（ ） A 1， 4） B（ 1， 4） C 1， 1） D（ 1， 2） 【考点】 并集及其运算 【分析】 由 A 与 B，求出两集合的并集即可 【解答】 解： A= 1， 2）， B=（ 1， 4）， A B= 1， 4）， 故选： A 2从 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7 这七个数字中任取两个数字相加，其和为偶数的概率等于（ ） A B C D 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 从 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7 这 7 个数字中，任取 2 个数字相加，先求出基本事件总数，再求出其和为偶数包含的基本事件个数，由此能求出其和为偶数的概率 【解答】 解：从 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7 这 7 个数字中，任取 2 个数字相加， 基本事件总数 n=1， 其和为偶数包含的基本事件个数 m=43=9， 其和为偶数的概率 p= = = 故选： C 3阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的 S 值是（ ） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：第一次执行循环体后： S=1，不满足退出循环的条件， c=2， a=1， b=2， 第二次执行循环体后： S= ，不满足退出循环的条件， c=3， a=2， b=3， 第 6 页（共 18 页） 第三次执行循环体后： S= ，不 满足退出循环的条件， c=5， a=3， b=5， 第四次执行循环体后： S= ，不满足退出循环的条件， c=8， a=5， b=8， 第五次执行循环体后： S= ，满足退出循环的条件， 故输出的 S 值为： ， 故选： B 4 “= ”是 “”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C 充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据正切函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论 【解答】 解：若 ，则 =， k Z，必要性不成立， 若 = ，则 ，充分性成立， 故 “= ”是 “”充分不必要条件， 故选： A 5已知双曲线 =1 的一个焦点在抛物线 x 的准线上，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出抛物线的准线方程，可得双曲线的一个焦点，即为 c=2，运用双曲线的 a， b，c 的关系，可得 a=1， 由离心率公式计算即可得到所求值 【解答】 解：抛物线 x 的准线为 x= 2， 由题意可得双曲线的一个焦点为（ 2， 0）， 由双曲线 =1，可得 =4， 解得 a=1，（设 a 0）， 可得双曲线的离心率为 e= =2 故选： D 6如图，圆 O 的直径 弦 于点 E，且 E 为 中点，若 ， 0，则线段 长为 （ ） 第 7 页（共 18 页） A 1 B C D 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 由正弦定理可得 ， ，由余弦定理求出可求出线段 长 【解答】 解：连接 圆 O 的直径， 0， 0， 0 由正弦定理可得 ， ，由余弦定理可得 1=（ 42+（ 62 2 46， ， 故选： D 7若方程 1 k） x 2（ k+1） =0 的一个根在区间（ 2， 3）内，则实数 k 的取值范围是（ ） A（ 3， 4） B（ 2， 3） C（ 1， 3） D（ 1， 2） 【考点】 一元二次方程的根的分布与系数的关系 【分析】 若方程 1 k） x 2（ k+1） =0 有两相等的实根，则 x= 2，不在区间（ 2， 3）内， 令 f（ x） = 1 k） x 2（ k+1），若方程 1 k） x 2（ k+1） =0 有两不相等的实根，且一个根在区间（ 2， 3）内，则 f（ 2） f（ 3） 0，进而得到答案 第 8 页（共 18 页） 【解答】 解：若方程 1 k） x 2（ k+1） =0 有两相等的实根， 则 =（ 1 k） 2+8（ k+1） =0，解得： k= 3， 此时 x= 2，不在区间（ 2， 3）内， 令 f（ x） = 1 k） x 2（ k+1）， 若方程 1 k） x 2（ k+1） =0 有两不相等的实根，且一个根在区间（ 2， 3）内， 则 f（ 2） f（ 3） 0，即（ 4 4k）（ 10 5k） 0， 解得： k （ 1， 2）， 故选： D 8已知函数 f（ x） = ，若函数 y=f（ x） a 恰有 3 个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A（ 0， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 由题意可得函数 f（ x）的图象和直线 y=a 有 3 个交点，数形结合求得实数 a 的取值范围 【解答】 解：由题意可得函数 f（ x） = 的图象 和直线 y=a 有 3 个交点，如图所示： 故应有 a ， 故选： B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9 i 是虚数单位，计算 的结果为 2+2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 根据复数的运算法则，进行化简、计算即可 【解答】 解： i 是虚数单位， 第 9 页（共 18 页） = = =2+2i 故答案为： 2+2i 10一个几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的体积为 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 该几何体由上下两部分组成，上面是一个圆台，下面是一个圆柱利用体积计算公式即可得出 【解答】 解：该几何体由上下两部分组成，上面是一个圆台，下面是一个圆柱 该几何体的体积 = 22 2+ （ 22+2 1+12） 2= 故答案为： 11 f（ x） =3 在区间 1， 1上的最大值是 2 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 求出函数的导函数，令导函数为 0，求出根，判断根是否在定义域内，判断根左右两边的导函数符号，求出最值 【解答】 解： f（ x） =36x=3x（ x 2） 令 f（ x） =0 得 x=0 或 x=2（舍） 当 1 x 0 时， f（ x） 0；当 0 x 1 时， f（ x） 0 所以当 x=0 时，函数取得极大值即最大值 所以 f（ x）的最大值为 2 故答案为 2 12设 a b 0，则 的最小值是 2 【考点】 基本不等式 【分析】 两次利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解： a b 0，则 = 2 =2，当且仅当 a=2b 0 时取等号 第 10 页（共 18 页） 故答案为： 2 13 如图，在矩形 ， ， ，点 E 为 中点，点 F 在边 ，若 = ，则（ ） 的值是 1+ 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 以 A 为坐标原点， 在直线为 x 轴， 在直线为 y 轴，建立直角坐标系，可得 A（ 0， 0）， B（ ， 0）， D（ 0， 2）， E（ ， 1），设 F（ t， 2），运用向量的数量积的坐标表示，可得 t=1，再由向量的加减运算，计算即可得到所求值 【解答】 解：以 A 为坐标原点， 在直线为 x 轴， 在直线为 y 轴，建立直角坐标系， 可得 A（ 0， 0）， B（ ， 0）， D（ 0， 2）， E（ ， 1），设 F（ t， 2）， 由 = ，可得 t= ，解得 t=1， 即 F（ 1， 2）， =（ 1， 0）， =（ 0， 2）， =（ 1， 1）， 则（ ） =（ 1， 2） （ 1， 1） = 1+2=1+ 故答案为： 1+ 14函数 f（ x） = 0）在 0， 上单调递增，且在这个区间上的最大值是 ，则 等于 【考点】 正弦函数的图象；三角函数的化简求值 【分析】 利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得 的值 【解答】 解：函数 f（ x） = 0）在 0， 上单调递增， 8 ， 又 f（ x）在这个区间上的最大值是 ，则 = ， 2= ， = ， 故答案为： 第 11 页（共 18 页） 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 ， ， （ ）求 A+B 的值； （ ）若 ，求 a， b， c 的值 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ ）由已知及同角三角函数基本关系式可求 值，利用两角和的余弦函数公式可求 A+B） = ，结合范围 0 A+B ，即可解得 A+B 的值 （ ）由（ ）可得 ，由正弦定理得 a= b= c，结合 ，即可解得a， b， c 的值 【解答】 （本题满分为 13 分） 解：（ ） 依题意， A， B 为锐角，由 ， ， 可得 = ， = ， A+B） = = 0 A+B ， A+B= （ ）由（ ）可知 C= ，可得 ， 由正弦定理 ，可得 a= b= c， 即： b= a， c= a， ， a=1， b= ， c= 16营养师要为儿童预定午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳税化合物， 6个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C；一个单位的晚餐含有 8 个单位的碳水化合物， 6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C，另外，这两餐需要的营养中至少含有 64 个单位的碳水化合物， 42 个单位的蛋白 质和 54 个维生素 C （ ）根据已知数据填写如表： 营养成分 碳水化合物 /单位 蛋白质 /单位 维生素 C/单位 午餐 晚餐 （ ）已知一个单位的午餐，晚餐的费用分别是 4 元和 5 元，若预定 x 个单位的午餐和 花费 z 元，请列出满足上述营养要求的不等式组及目标函数； （ ）在（ ）的条件下，并且花费最少，应分别预定多少个单位的午餐和晚餐？ 【考点】 简单线性规划 第 12 页（共 18 页） 【分析】 （ ）画出表格填写即可；（ ）根据题意列出满足营养要求的不等式组及目标函数即可； （ ）利用线性规划的思想方法解决 某些实际问题属于直线方程的一个应用本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解 【解答】 解：（ ） 营养成分 碳水化合物 /单位 蛋白质 /单位 维生素 /单位 午餐 12 6 6 晚餐 8 6 10 （ ）由题意知约束条件为： ， 目标函数为： z=4x+5y， （ ）画出可行域如图： ， 由 ，解得 A（ 4， 3）， 变换目标函数： 把 z=4x+5y 变形为 y= x+ ， 其中 是这条直线在 y 轴上的截距， 当目标函数过点 A，即直线 6x+6y=42 与 6x+10y=54 的交点（ 4， 3）时， z 取得最小值， x+5y=31， 即要满足营养要求，并且花费最少，应当为儿童分别预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐 17如图，斜三 棱柱 底面是直角三角形， 0，点 底面 C 的中点，且 A= （ ）求证：平面 平面 第 13 页（共 18 页） （ ）求证： （ ）求二面角 B 余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ ）推导出 平面 而 平面 此能证明平面 平面 （ ）连结 导出 而 平面 此能证明 （ ）作 H，连结 二面角 B 平面角，由此能求出二面角 B 余弦值 【解答】 证明：（ ） 底面 的射影为 D， 平面 面 0， C=D， 平面 面 平面 平面 （ ）连结 在平行四边形 ， 平行四边形 菱形， 平面 面 C=C， 平面 面 解：（ ）作 H，连结 ， 平面 二面角 B 平面角， 设 ，则 ， ， ， 由 ， = = 二面角 B 余弦值为 第 14 页（共 18 页） 18若数列 足 ， n 1 （ ）求 通项公式； （ ）若数列 足 ， n+3，且 ，求数列 通项公及前 n 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）采用累加法求得 ，求得 通项公式， （ 2）采用累加法求 得数列 通项公式，整理写出数列 通项公式， n+2） 2n 1，数列 由等差数列和等比数列乘积的形式，采用乘以公比错位相减法，求得 【解答】 解：（ ） ， ， ， ， ， 以上各式相加，得： ， ， ， （ ） n+3， ， ， ， 1=2n+1， 以上各式相加得： +7+9+2n+1， =n 3， 第 15 页（共 18 页） ， ， = ， n+2） 2n 1， 20+4 21+5 22+（ n+2） 2n 1， 2 21+4 22+5 23+（ n+1） 2n 1+（ n+2） 2n， 两式相减，得： 20+（ 21+22+2n 1）（ n+2） 2n， =3+（ 2n 2）（ n+2） 2n=（ n+1） 2n+1， n+1） 2n 1 19已知函数 f（ x） =x4+x2+b（ x R），其中 a， b R （ ）当 时，讨论函数 f（ x）的单调性； （ ）若函数 f（ x）仅在 x=0 处有极值，求 a 的取值范围； （ ）若对于任意的 a 2， 2，不等式 f（ x） 1 在 1， 1上恒成立，求 b 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）将 a 的值代入后对函数 f（ x）进行求导，当导函数大于 0 时求原函数的单调增区间，当导函数小于 0 时求原函数的单调递减区间 （ 2）根据函数 f（ x）仅在 x=0 处有极值说明 f（ x） =0 仅有 x=0 一个根得到答案 （ 3）根据函数 f（ x）的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于 1 恒成立求出 b 的范围 【解答】 解：（ ） f（ x） =4x=x（ 4） 当 时， f（ x） =x（ 410x+4） =2x（ 2x 1）（ x 2） 令 f（ x） =0，解得 ， ， 当 x 变化时， f（ x）， f（ x）的变化情况如下表： x （ ，0） 0 （ 0， ） （ ， 2） 2 （ 2，+） f（ x） 0 + 0 0 + f（ x） 极小值 极大值 极小值 所以 f（ x）在 ，（ 2， +）内是增函数，在（ ， 0）， 内是减函数 （ ） f（ x） =x（ 4），显然 x=0 不是方程 4=0 的根 为使 f（ x）仅在 x=0 处有极值，必须 4 0 成立，即有 =964 0 解些不等式，得 这时， f（ 0） =b 是唯一极值 因此满足条件的 a 的取值范围是 （ ）由条件 a 2，