2016年金华市十校联考高考数学模拟试卷（理科）含答案解析

浙江省金华市 2016 年十校联考高考数学模拟试卷（理科） （解析版） 一、选择题 1某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ） A B C D 2 2命题 “ x 1， 3， a 0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A a 9 B a 9 C a 10 D a 10 3若正数 x， y 满足 4x+9y= x+y 的最小值为（ ） A 16 B 20 C 25 D 36 4已知 A、 B、 C 是平面上不共线的三点， O 是 重心，点 P 满足 = （ + +2 ），则 为（ ） A B C 2 D 5定义： a， b= ，若实数 x， y 满足： |x| 3， |y| 3， 4x y x，则3x y|， x+2y的取值范围是（ ） A ， 7 B 0， 12 C 3， D 0， 7 6已知实数对（ x， y），设映射 f：（ x， y） （ ， ），并定义 |（ x， y） |= ，若 |ff（ f（ x， y） |=8，则 |（ x， y） |的值为（ ） A 4 B 8 C 16 D 32 7函数 f（ x） = 若 a， b， c， d 各不相同，且 f（ a） =f（ b） =f（ c）=f（ d），则 取值范围是（ ） A（ 24， 25） B 16， 25） C（ 1， 25） D（ 0， 25 8设 ， A=90， ， ， D 是线段 端点 A、 C）上一点，将 折至平面 A平面 A平面 A在平面 射影 H 到平面 距离最大时， 长度为（ ） A B C D 二、填空题 9（ 6 分 ）（ 2016 金华模拟）已知集合 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， S=1， 2， 5， T=2， 3，6，则 S（ = ，集合 S 共有 个子集 10（ 6 分）（ 2016 金华模拟）已知数列 足 ，并且 =（ n N*），则 ， 11（ 6 分）（ 2016 金华模拟）已知 0， ， （ 1）若 ，则 ； （ 2）若 ，则 的取值范围是 12（ 4 分）（ 2016 金华模拟）设对一切实数 x，函数 f（ x）都满足： x） =2f（ 2 x）+1，则 f（ 4） = 13（ 4 分）（ 2016 金华模拟）平面 平面 中 矩形， 梯形， D=2，则异面直线 C 所成角大小为 14（ 4 分）（ 2016 金华 模拟）已知 别是双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左右焦点，过 直线与双曲线 C 的右支交于点 P，若线段 中点 Q 恰好在双曲线C 的一条渐近线，且 =0，则双曲线的离心率为 15（ 6 分）（ 2016 金华模拟）自平面上 一点 O 引两条射线 P 在 运动， B 上运动且保持 | |为定值 2 （ P， Q 不与 O 重合）已知 20， （ 1） 中点 M 的轨迹是 的一部分（不需写具体方程）； （ 2） N 是线段 任点，若 |1，则 的取 值范围是 三、解答题 16（ 14 分）（ 2016 金华模拟）在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 ， 面积为 4 （ ）求 的值； （ ）若 2 a 的值 17（ 15 分）（ 2016 金华模拟）如图，在三棱椎 P ， B=C=4， C=2 （ ）求证：平面 平面 （ ）若动点 M 在底面三角形 （包括边界）运动，使二面角 M C 的余弦值为 ，求此时 余弦值 18（ 15 分）（ 2016 金华模拟）已知数列 足 ， 1（ n N*），令bn=1 （ ）求数列 通 项公式； （ ）令 ，求证： c1+n+ 19（ 15 分）（ 2016 金华模拟）已知 椭圆 C 的左右焦点，点 A， B 为其左右顶点，P 为椭圆 C 上（异于 A、 B）的一动点，当 P 点坐标为（ 1， ）时， 面积为 ，分别过点 A、 B、 P 作椭圆 C 的切线 l，直线 l 与 别交于点 R， T （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）（ i）求证：以 直径的圆过定点，并求出定点 M 的坐标； （ 面积最小值 20（ 15 分）（ 2016 金华模拟）设函数 f（ x） =x2+ax+b， a， b R （ ）若 2a+b=4，证明： |f（ x） |在区间 0， 4上的最大值 M（ a） 12； （ ）存在实数 a，使得当 x 0， b时， 1 f（ x） 10 恒成立，求实数 b 的最大值 2016 年浙江省金华市十校联考高考数 学模拟试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ） A B C D 2 【分析】 判断三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可 【解答】 解：三视图复原的几何体是下部是半球，半径为： 1， 上部是圆锥，底面半径为 1，高为： 2， 几何体的体积为： = 故选： B 【点评】 本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查计算能力 2命题 “ x 1， 3， a 0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A a 9 B a 9 C a 10 D a 10 【分析】 先求命题 “ x 1， 3， a 0”为真命题的一个充要条件即可 【解答】 解：命题 “ x 1， 3， a 0”“ x 1， 3， a”9 a a 10 是命题 “ x 1， 3， a 0”为真命题的一个充分不必要条件 故选： C 【点评】 本题考查充分必要条件的概念，属于基础题 3若正数 x， y 满足 4x+9y= x+y 的最小值为（ ） A 16 B 20 C 25 D 36 【分析】 变形已知式子可得 + =1，整体代入可得 x+y=（ x+y）（ + ） =13+ + ，由基本不等式可得 【解答】 解： 正数 x， y 满足 4x+9y= =1，即 + =1， x+y=（ x+y）（ + ） =13+ + 13+2 =25， 当且仅当 = 即 2x=3y 时取等号， 结合 + =1 可解得 x=15 且 y=10， 故选： C 【点评】 本题考查基本不等式求最值，变形并整体代入化已知式子为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题 4已知 A、 B、 C 是平面上不共线的三点， O 是 重心，点 P 满足 = （ + +2 ），则 为（ ） A B C 2 D 【分析】 作出图形：延长 边 中点于 D，根据 O 是 重心，以及向量加法的平行四边形法则、向量数乘的几何意义和向量的数乘运算便可以得出 ，从而便可得到 ，而 ，这样即可求出 的值 【解答】 解：如图，延长 点 D， O 是 重心，则： = = = ； ； ， ； 故选 A 【点评】 考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，三角形重心的性质，以及向量的数乘运算，三角形的面积公式 5定义： a， b= ，若实数 x， y 满足： |x| 3， |y| 3， 4x y x，则3x y|， x+2y的取值范围是（ ） A ， 7 B 0， 12 C 3， D 0， 7 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用作差法求出 z 的表达式，然后根据平移，根据数形结合即可得到结论 【解答】 解：作出不等式组 对应的平面区域如图阴影部分 由 y 3x 的几何意义为在 y 轴上的纵截距， 平移直线 y=3x，可得经过点（ 0， 0）时，取得最大值 0； 经过点（ 3， 3）时，取得最小值 12 3x y|， x+2y=x y， x+2y， 由 y ，可得 3x y x+2y， 即有 z=x y， x+2y=3x y 显然平移直线 y=3x，可得经过点（ 0， 0）时， z 取得最小值 0； 经过点（ 3， 3）时， z 取得最大值 12 即所求取值范围 是 0， 12 故选： B 【点评】 本题主要考查线性规划的应用，根据 z 的几何意义确定对应的直线方程是截距是本题的关键，属于中档题 6已知实数对（ x， y），设映射 f：（ x， y） （ ， ），并定义 |（ x， y） |= ，若 |ff（ f（ x， y） |=8，则 |（ x， y） |的值为（ ） A 4 B 8 C 16 D 32 【分析】 根据新定义得出 |ff（ f（ x， y） |=8， |（ ， ） |=8，计算即可 【解答】 解： 映射 f：（ x， y） （ ， ）， ff（ f（ x， y） =f（ f（ ， ） =f（ ， ） =（ ， ）， 定义 |（ x， y） |= ，若 |ff（ f（ x， y） |=8， |（ ， ） |=8， =8， |（ x， y） |的值为 16 ， 故选： C 【点评】 本题考察了映射的概念，关键是理解题目条件的含义，展开计算即可，属于中档题目 7函数 f（ x） = 若 a， b， c， d 各不相同，且 f（ a） =f（ b） =f（ c）=f（ d），则 取值范围是（ ） A（ 24， 25） B 16， 25） C（ 1， 25） D（ 0， 25 【分析】 先画出函数 f（ x）的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及指数函数的对称性，利用数形结合，即可求出其范围 【解答】 解：函数 f（ x）的图象如下图所示： 若 a、 b、 c、 d 互不相同，且 f（ a） =f（ b） =f（ c） =f（ d）， 不妨令 a b c d， 则 0 a 1， 1 b 4， 则 ， 则 ， 同时 c （ 4， 5）， d （ 5， 6）， c， d 关于 x=5 对称， =5， 则 c+d=10，则 10=c+d， 同时 cd=c（ 10 c） = 0c=（ c 5） 2+25， c （ 4， 5）， （ 24， 25）， 即 （ 24， 25）， 故选： A 【点评】 本题考查的知识点是分段函数的应用， 由题意正确画出图象和熟练掌握对数函数的图象是解题的关键利用对数函数的运算性质以及指数函数的对称性转化为一元二次函数是解决本题的关键 8设 ， A=90， ， ， D 是线段 端点 A、 C）上一点，将 折至平面 A平面 A平面 A在平面 射影 H 到平面 距离最大时， 长度为（ ） A B C D 【分析】 如图所示，连接 AA设 AD=x， 点 H 到平面 A距离为 h由于 = ，可得 S h ，又 AH= = ， AA= ， = ，代入化简利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解：如图所示，连接 AA 设 AD=x， 点 H 到平面 A距离为 h = ， S h ， 又 AH= =S ， AA= ， = ， h= = = = ，当且仅当 x= 时取等号 当 A在平面 射影 H 到平面 距离最大时， 长度为 故选： A 【点评】 本题考查了空间线面位置关系、三棱锥体积计算公式、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二、填空题 9（ 6 分）（ 2016 金华模拟）已知集合 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， S=1， 2， 5， T=2， 3，6，则 S（ = 1， 5 ，集合 S 共有 8 个子集 【分析】 利用补集的定义求出 T 的补集；利用交集的定义求出两个集合的交集 【解答】 解：集合 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， S=1， 2， 5， T=2， 3， 6， 1， 4， 5， S（ =1， 5， S=1， 2， 5的子集的个数为 23=8， 故答案为： 1， 5， 8 【点评】 本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义求集合的交、并、补运算 10（ 6 分）（ 2016 金华模拟）已知数列 足 ，并且 =（ n N*），则 3 ， 192 【分析】 利用 = 逐层转换，从而求得 【解答】 解： a5=2=3， =322（ ） =32（ +1） =32（ ） =32（ ） =32（ ） =32 6=192； 故答案为： 3， 192 【点评】 本题考查了递推公式的应用，属于中档题 11（ 6 分）（ 2016 金华模拟）已知 0， ， （ 1）若 ，则 ； （ 2）若 ，则 的取值范围是 （ ， ） 【分析】 （ 1） ， 0， ， = ， ， （ 2）观察函数图象，写出 的取值 范围 【解答】 解： ， 0， ， = ， ， （ 2） 0， ，由函数图象可知： ， ， ， 综上可知： 的取值范围是（ ， ） 【点评】 本题考查特殊角的函数值及正弦函数余弦函数图象，属于基础题 12（ 4 分）（ 2016 金华模拟）设对一切实数 x，函数 f（ x）都满足： x） =2f（ 2 x）+1，则 f（ 4） = 0 【分析】 由题意知 4f（ 4） =2f（ 2） +1， 2f（ 2） =2f（ 4） +1，从而解方程即可 【解答】 解： x） =2f（ 2 x） +1， 4f（ 4） =2f（ 2） +1， 2f（ 2） =2f（ 4） +1， 4f（ 4） = 2f（ 4） 1+1， 解得， f（ 4） =0； 故答案为： 0 【点评】 本题考查了函数的基本性质应用及方程思想的应用 13（ 4 分）（ 2016 金华模拟）平面 平面 中 矩形， 梯形， D=2，则异面直线 成角大小为 30 【分析】 延长 于 Q， 异面直线 成的角，由此能求出异面直线 成角 【解答】 解：延长 于 Q 矩形， 异面直线 成的角 在梯形 ，由 ， 得 0 即异面直线 成角为 30 故答案为： 30 【点评】 本题考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 14（ 4 分）（ 2016 金华模拟）已知 别是双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左右焦点，过 直线与双曲线 C 的右支交于点 P，若线段 中点 Q 恰好在双曲线C 的一条渐近线，且 =0，则双曲线的离心率为 【分析】 由题意可得 c， 0），设 P（ m， n），代入双曲线的方程，运用中点坐标公式和向量垂直的条件：数量积为 0，由两直线垂直的条件：斜率之积为 0，解方程可得 P 的坐标，代入双曲线的方程，化简可得 b=2a，由离心率公式即可得到所求值 【解答】 解：由题意可得 c， 0），设 P（ m， n）， 可得 =1， 中点 Q 的坐标为（ ， ），且 Q 在渐近线 y= x 上， 由 =0，可得 即有 得 = ， 又 = ， 由 解得 m= ， n= ， 代入 可得， =1， 由 c2=a2+简可得 b=2a， c= = a， 可得 e= = 故答案为： 【点评】 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和向量垂直的条件，以及两直线垂直的条件：斜率之积为 1，考查化简整理的运算能力，属于中档题 15（ 6 分）（ 2016 金华模拟）自平面上一点 O 引两条射线 P 在 运动， B 上运动 且保持 | |为定值 2 （ P， Q 不与 O 重合）已知 20， （ 1） 中点 M 的轨迹是 椭圆 的一部分（不需写具体方程）； （ 2） N 是线段 任点，若 |1，则 的取值范围是 1 ， 1+ 【分析】 （ 1）以 x 轴，过 O 垂直于 直线为 y 轴，求出 P， Q， M 的坐标，利用余弦定理，可得结论； （ 2）利用平行四边形的对角线的平方和等于 1，结合 a2+b2+，求出 a， b，可得 P， Q，M 的坐标，利用向量的数量积公式可得结论 【解答】 解：（ 1）以 x 轴，过 O 垂直于 直线为 y 轴， |a， |b，则P（ ， b）， Q（ a， 0）， M（ ， b）， 设 M（ x， y），则 x= ， y= b， a=2x+ y， b= y 由余弦定理可得 a2+b2+， 3 ， 中点 M 的轨迹是椭圆的一部分； （ 2） | |为定值 2 ， |1， a2+， a2+b2+， ， a= ， b= ， P（ ， ）， Q（ ， 0）， M（ ， ）， =1 ， =1+ ， =1 的取值范围是 1 ， 1+ 故答案为：椭圆； 1 ， 1+ 【点评】 本题考查 轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度大 三、解答题 16（ 14 分）（ 2016 金华模拟）在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 ， 面积为 4 （ ）求 的值； （ ）若 2 a 的值 【分析】 （ I）由 ，可得 = ，化为 ， A （ 0， ），利用即可得出利用 S = 得 可得出 （ 2 2b=5c，又 0，解得 b， c再利用余弦定理即可得出 【解答】 解：（ I）在 ， ， = ， ，解得 ， A （ 0， ）， = S = ，可得 0 =0 =6 （ 2 2b=5c，又 0，解得 b=5， c=2 a2=b2+27， a= 【点评】 本题考查了余弦定理、倍角公式、三角函数的面积计算公式、同角三角函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 17（ 15 分）（ 2016 金华模拟）如图，在三棱椎 P ， B=C=4， C=2 （ ）求证：平面 平面 （ ）若动点 M 在底面三角形 （包括边界）运动，使二面角 M C 的余弦值为 ，求此时 余弦值 【分析】 （ ）取 点 O，连结 导出 此能证明 平面 （ ）以 O 为坐标原点， 别为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 余弦值 【解答】 证明：（ ）取 点 O，连结 P， 在三棱椎 P ， B=C=4， C=2 ， ， ， ， 直角三角形， 又 于点 O， 平面 解：（ ）以 O 为坐标原点， 别为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系， A（ 0， 2， 0）， B（ 2， 0， 0）， P（ 0， 0， 2 ）， 平面 法向量 =（ 1， 0， 0）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， M（ m， n， 0）， =（ 0， 2， 2 ）， =（ m， n+2， 0）， 则 ，取 z= 1，得 =（ ）， 二面角 M C 的余弦值为 ， | |= = = ， 整理，得（ n+2） 2=9 n+2=3m 或 n+2= 3m（舍）， = = = 【点评】 本题考查线面垂直的证明，考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 18（ 15 分）（ 2016 金华模拟）已知数列 足 ， 1（ n N*），令bn=1 （ ）求数列 通项公式； （ ）令 ，求证： c1+n+ 【分析】 （ I） 1（ n N*）， bn=1，即 an=代入化为： = 1，利用等差数列的通项公式即可得出 （ （ I）可得： an=1 = 代入 =1+ ，由于n 2 时， 2n+2 2n+1 1，可得 ，利用 “裂项求和 ”、数列的单调性即可得出 【解答】 （ I）解： 1（ n N*）， bn=1，即 an= （ +1）（ ） =2（ +1） 1，化为： = 1， 数列 是等差数列，首项为 2，公差为 1 = 2（ n 1） = 1 n， （ 明：由（ I）可得： an=1 = = = =1+ ， n 2 时， 2n+2 2n+1 1， ， c1+n+ + =n+ n+ 【点评】 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、 “裂项求和 ”方法、 “放缩法 ”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19（ 15 分）（ 2016 金华模拟）已知 椭圆 C 的左右焦点，点 A， B 为其左右顶点，P 为椭圆 C 上（异于 A、 B）的一动点，当 P 点坐标为（ 1， ）时， 面积为 ，分别过点 A、 B、 P 作椭圆 C 的切线 l，直线 l 与 别交于点 R， T （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）（ i）求证：以 直径的圆过定点，并求出定点 M 的坐标； （ 面积最小值 【分析】 （ ）由当 P 点坐标为（ 1， ）时， 面积为 ，求出 c=1， 2a=|4，由此能求出 椭圆 C 的方程 （ ）（ i）设直线 l 为： y=kx+m，与椭圆联立，得（ 3+412=0，由此利用根的判别式、椭圆对称性，向量数量积，结合已知条件能证明以 直径的圆过定点，并求出定点 M 的坐标 （ 图形的对称性，取 M 为右焦点 1， 0）， S 四边形 S （ m+k），由此能求出 面积的最小值为 3 【解答】 解：（ ） 椭圆 C 的左右焦点，点 A， B 为其左右顶点， P 为椭圆 C 上（异于 A、 B）的一动点，当 P 点坐标为（ 1， ）时， 面积为 ， = ，解得 c=1， 又 2a=|4， a=2， b= ， 故椭圆 C 的方程为 证明：（ ）（ i）由题意直线 l 的斜率存在，设直线 l 为： y=kx+m， 联立 ，得（ 3+412=0， =644（ 3+4 412） =0， 化简，得 +4 R（ 2， 2k+m）， T（ 2， 2k+m）， 由对称性，知定点 M 在 x 轴上， 设 M（ x， 0）， M 在 直线的圆上， =（ 2 x）（ 2 x） +（ 2k+m）（ 2k+m） =4+4， 解得 x= 1， 定点 M 即为左右 焦点 坐标为（ 1， 0） 解：（ 图形的对称性，不妨取 M 为右焦点 1， 0）， 点 P 在 x 轴上方， S 四边形 S （ m+k）， 令 m+k=t，则 m=t k，代入 +4 得 3 ， =4（ 49） 0， t 0， t ， S 3， 当 m=2， k= 时，取等号， 故 面积的最小值为 3 【点评】 本 题考查椭圆方程的求法，考查圆过定点的证明及定点坐标的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、椭圆对称性，向量数量积的合理运用 20（ 15 分）（ 2016 金华模拟）设函数 f（ x） =x2+ax+b， a， b R （ ）若 2a+b=4，证明： |f（ x） |在区间 0， 4上的最大值 M（ a） 12； （ ）存在实数 a，使得当 x 0， b时， 1 f（ x） 10 恒成立，求实数 b 的最大值 【分析】 （ ）把 2a+b=4 代入函数解析式，利用