吉林省长春市2016年高考数学四模试卷（文科）含答案解析

吉林省长春市 2016 年高考数学四模试卷（文科） （解析版） 一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1已知集合 A= 4， 2， 1， 5， B=x|y= ，则 AB 中元素的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 2已知复数 z 满足 z= ，则 |z|=（ ） A 2 B C 3 D 5 3设 a， b R，则 “ “2a b 1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知直线 m， n 与平面 ， ，下列命题中错误的是（ ） A若 m ， n ，则 m n B若 m ， n ，则 m n C若 m ， n ， ，则 m n D若 m n， n，则 m 5执行如图所示的程序框图，若输出 k 的值为 8，则判断框内可填入的条件是（ ）A s B s C s D s 6祖暅原理： “幂势既同，则积不容异 ” “幂 ”是截面积， “势 ”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，体积相等已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足 “幂势同 ”，则该不规则几何体的体积为（ ） A 4 B 8 C 8 D 8 2 7函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的部分图象如图所示，则 f（ ）=（ ） A B 1 C D 2 8已知等比数列 调递减，满足 ， a2+0，则数列 公比 q=（ ） A B C D 3 9函数 y=x+大致图象为（ ） A B CD 10如图，从高为 h 的气球（ A）上测量铁桥（ 长，如果测得桥头 B 的俯角是 ，桥头 C 的俯角是 ，则该桥的长可表示为（ ） A h B h C h D h 11棱长为 1 的正四面体 ， E 为棱 一点（不含 A， B 两点），点 E 到平面平面 距离分别为 a， b，则 的最小值为（ ） A 2 B C D 12 M 为双曲线 C： =1（ a 0， b 0）右支上一点， A、 F 分别为双曲线的左顶点和右焦点，且 等边三角形，则双曲线 C 的离心率为（ ） A 1 B 2 C 4 D 6 二、填空题（本大题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上） . 13已知 | |=| |=2， （ ） = 2，则 与 的夹角为 14等差数列 前 n 项和为 知 ， 5，则使 最小值的 n 等于 15已知圆 C 的圆心在直线 2x+y 1=0 上，且经过原点和点（ 1， 5），则圆 C 的方程为 16下列说法中正确的有： 座位号为 14 的观众留下来座谈 ”是系统抽样； 推理过程 “因为指数函数 y=增函数，而 y=2x 是指数函数，所以 y=2x 是增函数 ”中，小前提是错误的； 对命题 “正三角形与其内切圆切于三边中点 ”可类比猜想：正四面体与其内切球切于各面中心； 在判断两个变量 y 与 x 是否相关时，选择了 3 个不同的模型，它们的相关指数 别为：模型 1 为 型 2 为 型 3 为 中拟合效果最好的是模型 1 三、解答题（本大题包括 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） . 17已知函数 f（ x） =x+ ） + （ 1）利用 “五点法 ”列表，并画出 f（ x）在 ， 上的图象； （ 2） a， b， c 分别是锐角 角 A， B， C 的对边若 a= ， f（ A） = ，求 18某便携式灯具厂的检验室，要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性检查人员从中随机抽取 5 件，通过对其加以不同的电压（单位：伏特）测得相应电流（单位：安培），数据见如表 产品编号 电压（ x） 10 15 20 25 30 电流（ y） 1）试估计如对该批次某件产品加以 110 伏电压，产生的电流是多少？ （ 2）依据其行业标准 ，该类产品电阻在 18， 22内为合格品，电阻的计算方法是电压除以电流现从上述 5 件产品中随机抽 2 件，求这两件产品中至少有一件是合格品的概率 （附：回归方程： ， b= ， a= ， 参考数据： =2250） 19在四棱锥 P ， 平面 2C=2 ， 0， M 为 点 （ 1）证明： 平面 （ 2）若三棱锥 M 体积为 ，求 M 到平面 距离 20已知椭圆 C： =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 点 直线 ， B 两点， |最小值为 3，且 周长为 8 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）当直线 l 不垂直于 x 轴时，点 A 关于 x 轴的对称点为 A，证明直线 AB 恒过定点，并求此定点坐标 21已知函数 f（ x） =x+a R） （ 1）若曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处与直线 y=3x 2 相切，求 a 的值； （ 2）若 f（ x） a 恒成立，求 a 的取值范围 四 2、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4何证明选讲 22如图， 圆 O 的直径，弦 延长线相交于点 M， 直 延长线于点 N （ 1）求 证： 角平分线； （ 2）求证： 选修 4标系与参数方程 23，曲线 C 的方程为 =2 以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为 1 的直线 l 经过点 P （ 1）写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）若直线 l 和曲线 C 相交于两点 A， B，求 |+| 的值 选修 4等式选讲 24 =|x+1|+|x 2|，不等式 f（ x） t 对 x R 恒成立 （ 1）求 t 的取值范围； （ 2）记 t 的最大值为 T，若正实数 a， b 满足 a2+，求证： 2016 年吉林省长春市高考数学四模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1已知集合 A= 4， 2， 1， 5， B=x|y= ，则 AB 中元素的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【分析】 求出 B 中 x 的范围，找出 A 与 B 的交集，即可作出判断 【解答】 解：由题意可知 B=x|x 2， 因为集合 A= 4， 2， 1， 5， 所以 AB= 1， 2， 5 则集合 AB 中元素的个数为 3 个 故选 C 【点评】 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2已知复数 z 满足 z= ，则 |z|=（ ） A 2 B C 3 D 5 【分析】 由已知的等式求出复数 z，然后直接利用复数模的公式求模 【解答】 解：复数 z= = =2+i，则 |z|= = 故选： B 【点评】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数 模的求法，是基础的计算题 3设 a， b R，则 “ “2a b 1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 “价于 “a b 0”， “2a b 1”等价于 “a b”，即可判断出结论 【解答】 解： “价于 “a b 0”， “2a b 1”等价于 “a b”， “ “2a b 1”的充分不必要条件 故选： A 【点评】 本题考查了函数的单调性、简易逻 辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 4已知直线 m， n 与平面 ， ，下列命题中错误的是（ ） A若 m ， n ，则 m n B若 m ， n ，则 m n C若 m ， n ， ，则 m n D若 m n， n，则 m 【分析】 根据空间线面位置关系的性质和判定进行逐项分析或证明 【解答】 解：对于 A，由于垂直于同一个平面的两条直线平行，故 A 正确； 对于 B， n ， 平面 内存在直线 b n， m ， b， m b， 又 b n， m n故 B 正确 对于 C，在直线 m 上取 点 P，过 P 作 n 的平行线 n，则 n 假设 m=A， n=B， =l，过 A 作 l 于 O，连结 =l， ， l， ， ，又 n ， n，同理 m， 四边形 平行四边形， 又 m ， ， 四边形 矩形， m n，又 n n， m n故 C 正确 对于 D，当 m时，显然结论不成立故 D 错误 故选： D 【点评】 本题考查了空间线面位置关系 的判定与性质，属于中档题 5执行如图所示的程序框图，若输出 k 的值为 8，则判断框内可填入的条件是（ ）A s B s C s D s 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 k， S 的值，当 S 时，退出循环，输出 k 的值为 8，故判断框图可填入的条件是 S 【解答】 解：模拟执行程序框图， k 的值依次为 0， 2， 4， 6， 8， 因此 S= + + = （此时 k=6）， 因此可填： S 故选： C 【点评】 本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的 S 值是解题的关键，属于基础题 6祖暅原理： “幂势既同，则积不容异 ” “幂 ”是截面积， “势 ”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，体积相等已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足 “幂势同 ”，则该不规则几何体的体积为（ ） A 4 B 8 C 8 D 8 2 【分析】 根据幂势同的定义，结合三视图的和直观图之间的关系进行求解即可 【解答】 解：由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等， 图示几何体是一个正方体去掉一个半圆柱， 正方体的条件为 2 2 2=8， 半圆柱的体积为 =， 从而其体积为 8 故选 C 【点评】 本题主要考查利用三视图求出几何体的体积，根据三视图确定几何体的直观图是解决本题的关键 7函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的部分图象如图所示，则 f（ ）=（ ） A B 1 C D 2 【分析】 由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，把点（ 0， 1）代入求得 A，可得 f（ x）的解析 式，从而求得则 f（ ）的值 【解答】 解：由函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的部分图象， 可得 = ， =3 再根据五点法作图可得 3 +=，求得 = 再把点（ 0， 1）代入，可得 1， A=2， f（ x） =23x+ ） 则 f（ ） =2+ ） =1， 故选： B 【点评】 本题主要考查由函数 y=x+）的部分图象求解析式，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，把点（ 0， 1）代入求得 A，求函数的值，属于基础题 8已知等比数列 调递减，满足 ， a2+0，则数列 公比 q=（ ） A B C D 3 【分析】 由等比数列的性质可得： ， a2+0，且 调递 减，解出即可得出 【解答】 解：由等比数列的性质可得： ， a2+0，且 调递减， 解得： ， ， 可求得 （ 舍掉） 故选： B 【点评】 本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 9函数 y=x+大致图象为（ ） A B CD 【分析】 通过定义域和单调性来，利用排除法判断 【解答】 解：由函数有意义可得 0， f（ x）的定义域为 x|x 0，排除 A； y=1+ ， 当 x 0 或 x 2 时， y 0，当 2 x 0 时， y 0 f（ x）在（ ， 2）上单调递增，在（ 2， 0）上单调递减，在（ 0， +）上单调递增，排除 B， D 故选 C 【点评】 本题考查了函数图象的判断，主要从函数的定义域，单调性来判断，属于中档题 10如图，从高为 h 的气球（ A）上测量铁桥（ 长，如果测得桥头 B 的俯角是 ，桥头 C 的俯角是 ，则该桥的长可表示为（ ） A h B h C h D h 【分析】 先求出 在 ，求出 【解答】 解：由 ，得 ， 在 ， AD=h， 又 ， 在 ， = h 故选： A 【点评】 本题考查了 解三角形的实际应用，关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题 11棱长为 1 的正四面体 ， E 为棱 一点（不含 A， B 两点），点 E 到平面平面 距离分别为 a， b，则 的最小值为（ ） A 2 B C D 【分析】 连结 用 E E 出 ，利用基本不等式求解表达式的最值 【解答】 解：连结 正四面体棱长为 1， O 为底面三角形 中心，正四角椎的高为： ， 由于 E E ，由 可得 ， 所以 故选： D 【点评】 本题考查空间几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力 12 M 为双曲线 C： =1（ a 0， b 0）右支上一点， A、 F 分别为双曲线的左顶点和右焦点，且 等边三角形，则双曲线 C 的离心率为（ ） A 1 B 2 C 4 D 6 【分析】 求出 M 的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，即可求出双曲线 C 的离心率 【解答】 解：由题意， A（ a， 0）， F（ c， 0）， M（ ， ）， 由双曲线的定义可得 = 34， 3e 4=0， e=4 故选： C 【点评】 本题考查双曲线 C 的离心率，考查双曲线的第二定义，正确运用双曲线的第二定义是关键 二、填空题（本大题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上） . 13已知 | |=| |=2， （ ） = 2，则 与 的夹角为 【分析】 利用向量的数量积，化简求解，代入向量的夹角公式，求解即可 【解答】 解：由 （ ） = 2，得 = 2， =2，所以， 与 的夹角为 故答案为： 【点评】 本题考查平面向量的数量积的应用，考查计算能力 14等差数列 前 n 项和为 知 ， 5，则使 最小 值的 n 等于 5 【分析】 利用等差数列的性质判断数列的项与数列的单调性，然后求解即可 【解答】 解：由题意 ， 5，可知 ，故数列 递增数列，所以 0， 0，所以使 最小值的 n=5 故答案为： 5 【点评】 本题考查等差数列的性质的应用，考查计算能力 15已知圆 C 的圆心在直线 2x+y 1=0 上，且经过原点和点（ 1， 5），则圆 C 的方程为 （ x 2） 2+（ y+3） 2=13 【分析】 设圆心 C（ b， 1 2b） ，利用圆的半径相等列出方程，求得 b 的值，可得圆心坐标和半径，即可得到圆的方程 【解答】 解：由题意设圆的圆心 C（ b， 1 2b），再根据圆过原点和点（ 1， 5）， 可得 C 到原点的距离等于 C 到点（ 1， 5）的距离， 即 1 2b） 2=（ b+1） 2+（ 1 2b+5） 2， 解得 b=2 可得圆心 C（ 2， 3），半径 = ， 则圆 C 的方程为：（ x 2） 2+（ y+3） 2=13 故答案为：（ x 2） 2+（ y+3） 2=13 【点评】 本题考查圆的标准方程的求法 ，准确利用已知条件列出方程是解题的关键，是基础题 16下列说法中正确的有： 座位号为 14 的观众留下来座谈 ”是系统抽样； 推理过程 “因为指数函数 y=增函数，而 y=2x 是指数函数，所以 y=2x 是增函数 ”中，小前提是错误的； 对命题 “正三角形与其内切圆切于三边中点 ”可类比猜想：正四面体与其内切球切于各面中心； 在判断两个变量 y 与 x 是否相关时，选择了 3 个不同的模型，它们的相关指数 别为：模型 1 为 型 2 为 型 3 为 中拟合效果最好的是模型 1 【分析】 根 据抽样的定义进行判断， 根据合情推理的定义进行判断， 根据类比推理的定义进行判断， 根据关指数的定义进行判断 【解答】 解：由题意可知， 是系统抽样，正确； 推理过程是大前提错误，而不是小前提，错误； 满足合情推理，因此 正确； 根据相关指数的定义可知，相关指数越接近于 1，模型的拟合效果越好，因此 正确 故答案为： 【点评】 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大 三、解答题（本大题包括 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） . 17已知函数 f（ x） =x+ ） + （ 1）利用 “五点法 ”列表，并画出 f（ x）在 ， 上的图象； （ 2） a， b， c 分别是锐角 角 A， B， C 的对边若 a= ， f（ A） = ，求 【分析】 （ 1）化简 函数 f（ x），利用 “五点法 ”列表、画出 f（ x）在 上的图象即可； （ 2）利用正弦定理，结合三角函数的恒等变换与角的取值范围，即可求出三角形面积 S 的取值范围 【解答】 解：（ 1） 函数 f（ x） =x+ ） + x+ ）， 利用 “五点法 ”列表如下， x+ 0 2 x y 0 1 0 1 0 画出 f（ x）在 上的图象，如图所示； （ 6 分） （ 2）在 ， a= ，可知 A= ， 由正弦定理可知 = = =2， 即 b=2c=2 S= B）， 则 S= = 2B ） + ，其中 ， 2B 2B ） 1 0 2B ） + 因此 S 的取值范围是 =x+）图象的应用问题，也考查了三角恒等变换和正弦定理的应用问题，是综合性题目 18某便携式灯具厂的检验室，要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性检查人员从中随机抽取 5 件，通过对其加以不同的电压（单位：伏特）测得相应电流（单位：安培），数据见如表 产品编号 电压（ x） 10 15 20 25 30 电 流（ y） 1）试估计如对该批次某件产品加以 110 伏电压，产生的电流是多少？ （ 2）依据其行业标准，该类产品电阻在 18， 22内为合格品，电阻的计算方法是电压除以电流现从上述 5 件产品中随机抽 2 件，求这两件产品中至少有一件是合格品的概率 （附：回归方程： ， b= ， a= ， 参考数据： =2250） 【分析】 （ 1）把数据代入相应的公式，即可求出回归方程； （ 2）经计算，产品编号为 的是不合格品，其余为合格品，从中随机抽 2 件共有如下10 种情况，其中至少有一件是合格品有 9 种情况，根据概率公式计算即可 【解答】 解：（ 1） b= = a=20= 所以回归直线 ， 故当电压加为 110 伏时，估计电流为 培 ， （ 2）由 R= 可得，电阻分为为 18， = ， = 18， = ，=20 经计算，产品编号为 的是不合格品，其余为合格品， 从中随机抽 2 件共有如下 10 种情况： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 其中至少有一件是合格品有 9 种情况， 故所求事件的概率为 【点评】 本题考查了回归方程和古典概率的问题，关键是会运用公式，属于基础题 19在四棱锥 P ， 平面 2C=2 ， 0， M 为 点 （ 1）证明： 平面 （ 2）若三棱锥 M 体积为 ，求 M 到平面 距离 【分析】 （ 1）取 中点为 N，连结 用 过证明 出 可证明 平面 （ 2）利用三棱锥 M 体积为 ，转化求解 点 M 到平面 距离为h，通过体积，求解 M 到平面 距离 【解答】 （本小题满分 12 分） 解：取 中点为 N，连结 1） M 是 中点， D， 四边形 平行四边形， 面 平面以 平面 6 分） （ 2） M 是 中点， 所以 平面 ， ， S 设点 M 到平面 距离为 h， 则 ， ， 故 M 到平面 距离为 （ 12 分） 【点评】 本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查计算能力 20已知椭圆 C： =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 点 直线 ， B 两点， |最小值为 3，且 周长为 8 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）当直线 l 不垂直于 x 轴时，点 A 关于 x 轴的对称点为 A，证明直线 AB 恒过定点，并求此定点坐标 【分析】 （ 1）判断 x 轴时， |小，推出 ，利用 周长为 4a，求解a， b，得到椭圆的方程 （ 2）设 程为 y=k（ x+1）， A（ B（ A（ 联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求出 AB 的斜率，求解直线方程，利用直线系求解直线结果的定点 【解答】 解：（ 1）因为 过焦点 弦，所以当 x 轴时， |小，且最小值为 ， 由题意可知 ，再由椭圆定义知， 周长为 4a，所以 ， 所以椭圆的方程为 ， （ 2）设 程为 y=k（ x+1）， A（ B（ A（ 则 ，化简得（ 3+412=0 所以 ， 则 ， AB 的方程为 化简有 ， 将 代入可得 ， 所以直线 AB 恒过定点（ 4， 0） 【点评】 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，直线系方程的应用，考查转化思想以及计算能力 21已知函数 f（ x） =x+a R） （ 1）若曲线 y=f（ x） 在点（ 1， f（ 1）处与直线 y=3x 2 相切，求 a 的值； （ 2）若 f（ x） a 恒成立，求 a 的取值范围 【分析】 （ 1）求得 f（ x）的导数，求得切线的斜率，由已知切线方程，可得 a 的方程，解得 a=2； （ 2）求出 f（ x）的导数，对 a 讨论，分 a 0， a=0， a 0，求出单调区间，可得最值，由不等式恒成立的解法，即可得到所求范围 【解答】 解：（ 1） f（ x） =x+导数为 f（ x） =1+ ， 可得 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线的斜率为 f（ 1） =1+a=3， 解得 a=2； （ 2） f（ x） =1+ ， x 0， 当 a 0 时， f（ x）在（ 0， +）上单调递增，且值域为 R； 当 a=0 时， f（ x）在（ 0， +）上单调递增； 当 a 0 时， f（ x）在（ 0， a）上单调递减，（ a， +）上单调递增 则当 a 0 时， f（ x） a 不可能恒成立； 当 a=0 时， f（ x） =x 0，成立； 当 a 0 时， f（ x）在 x= a 处取得最小值 f（ a），则只需 f（ a） a， 即 a+ a） a，所以 a） 2， 解得 a 以 a 0 综上所述： a 的范围是 0 【点评】 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法和不等式恒成立思想的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题 四 2、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4何证明选讲 22如图， 圆 O 的直径，弦 延长线相交于点 M， 直 延长线于点 N （ 1）求证： 角平分线； （ 2）求证： 【分析】 （ 1）由 圆 O 的直径，得 0，又 直 延长线于点 N，得 0，可得 M、 N、 A、 D 四点共圆，然后利用等量关系求得 可得 角分线； （ 2）由 M、 N、 A、 D 四点共圆，得 B、 C、