福建省厦门市2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1 =（ ） A B C D 2已知向量 =（ 1， 2），向量 =（ x， 2），且 （ ），则实数 x 等于（ ） A 4 B 4 C 0 D 9 3已知圆 x2+，圆 x2+x 6y+4=0，则圆 圆 位置关系是（ ） A外离 B相切 C相交 D内含 4函数 y= ）在一个周期内的图象大致是（ ） A B C D 5已知 O 为坐标原点，点 A 的坐标为（ 3， 4），将线段 点 O 逆时针旋转 至 点 B 的纵坐标为（ ） A 4 B 3 C 3 D 4 6为了得到函数 y=2图象，可以将函数 y=1+象上所有的点（ ） A横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 B横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 C纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变 D纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变 7已知直线 l 平面 ，直线 m平面 ，下列命题中正确的是（ ） A l m B l m C l m D l m 8在 ， | |=1， | |=3， 0，则 | |=（ ） A 1 B C 3 D 9如图，长方体 ABCD中， 3， ， ， E、 F 分别是线段 异面直线 成的角是（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 第 2 页（共 16 页） 10直线 l： 3x+4y+4=0 与圆 C：（ x 2） 2+ 交于 A， B 两点，则 ） A B C D 11如图，等腰直角三角形 ， 0， D 为 中点， 分 E 交于点 P，若 = + ，则 等于（ ） A B 1 C D 12如图，一个无盖圆台形容器的上、下底面半径分别为 1 和 2，高为 ， 圆台的两条母线（四边形 经过轴的截面）一只蚂蚁从 A 处沿容器侧面（含边沿线）爬到 C 处，最短路程等于（ ） A 2 B +2 C +2 D +2 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知 ，则 值为 14已知斜率为 2 的直线 l 过点 P（ 1， 3），将直线 l 沿 x 轴向右平移 m 个单位得到直线 l，若点 A（ 2， 1）在直线 l上，则实数 m= 15已知 | |=1， | + |= ， | |=2，则 在 方向上的投影等 于 16如图，在三棱锥 A ， 底面 C=该三棱锥外接球的表面积等于 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17已知 O（ 0， 0）， A（ 2， 1）， B（ 1， 2） （ 1）求 面积； （ 2）若点 C 满足直线 点 C 的坐标 18长方体截去一个三棱锥后的直观图和部分三视图如图所示 （ 1）画出这个几何体的俯视图，并求截面 面积； （ 2）若 M 为 中点，求直线 平面 成角的正切值 第 3 页（共 16 页） 19已知函数 f（ x） =A 0 （ 1）若 A=1，求 f（ x）的单调递增区间； （ 2）函数 f（ x）在 x=取得最大值 ，求 值 20在四棱锥 P ， 平面 面 平行四边形， ， ， M、 N 分别为棱 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）若二面角 P B 等于 30，求四棱锥 P 体积 21如图，已知函数 f（ x） =x+ ）（ m 0）的图象在 y 轴右侧的最高点从左到右依次为 ，与 x 轴正半轴的交点从左到右依次为 （ 1）若 m=1，求 ； （ 2）在 ， 1，（ i=1， 2， 3， ）中，有且只有三个锐角三角形，求实数 m 的取值范围 22已知动点 M 与两点 ， 0）， 2r， 0）的距离之比为 ， r 0 （ 1）求动点 M 的轨迹 的方程； （ 2）已 知菱形 一个内角为 60，顶点 A， B 在直线 l： y=2x+3 上，顶点 C， D 在 上，当直线 l 与 无公共点时，求菱形 面积 S 的取值范围 第 4 页（共 16 页） 2015年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1 =（ ） A B C D 【考点】 运用诱导公式化简求值 【分析】 根据诱导公式可知 + ），进而求得答案 【解答】 解： + ） = 故选 D 2已知向量 =（ 1， 2），向量 =（ x， 2），且 （ ），则实数 x 等于（ ） A 4 B 4 C 0 D 9 【考点】 平面向量数量积的运算 【分 析】 把 转化为 用坐标运算公式 =解答】 解： ， ， 1+2 2（ 1 x 2 2） 0， x=9 故选 D 3已知圆 x2+， 圆 x2+x 6y+4=0，则圆 圆 位置关系是（ ） A外离 B相切 C相交 D内含 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定 【分析】 把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距，大于半径之差，而小于半径之和，可得两个圆关系 【解答】 解：圆 x2+，表示以 0， 0）为圆心，半径等于 1 的圆 圆 x2+x 6y+4=0，即 （ x+2） 2+（ y 3） 2=9，表示以 2， 3）为圆心，半径等于 3 的圆 两圆的圆心距 d= = ， 3 1 3+1，故两个圆相交 故选： C 4函数 y= ）在一个周期内的图象大致是（ ） 第 5 页（共 16 页） A B C D 【考点】 正切函数的图象 【分析】 根据函数 y= ）在包含原点的一个周期内是增函数，故排除 C、 D；令 ，求得 x 的范围，从而得出结论 【解答】 解：根据函数 y= ）在包含原点的一个周期内是增函数，故排除 C、 D； 令 ，求得 x ，结合所给的选项， 故选： A 5已知 O 为坐标原点，点 A 的坐标为（ 3， 4），将线段 点 O 逆时针旋转 至 点 B 的纵坐标为（ ） A 4 B 3 C 3 D 4 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【分析】 设 B（ m， n），（ m， n 0），由 |运用两直线垂直的条件：斜率之积为 1，及两 点的距离公式计算即可得到所求 【解答】 解：设 B（ m， n），（ m， n 0）， 由 | 可得 = 1， = ， 解得 m=4， n=3 即 B 的纵坐标为 3 故选： C 6为了得到函数 y=2图象，可以将函数 y=1+象上所有的点（ ） A横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 B横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 C纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变 D纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变 【考点】 函数 y=x+）的图象变换；二倍角的余弦 【分析】 利用二倍角公式，函数 y=x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】 解：由于函数 y=2 =， 第 6 页（共 16 页） 要得到得函数 y=2图象， 可以将函数 y=1+象上所有的点横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变， 故选： B 7已知直线 l 平面 ，直线 m平面 ，下列命题中正确的是（ ） A l m B l m C l m D l m 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 直线 l 平面 ，直线 m平面 ，当 有 l m，当 有 l m 或 l 与 m 异面或相交，当 l m 有 ，当 l m 有 或 ，得到结论 【解答】 解：直线 l 平面 ，直线 m平面 ， 当 有 l ，进而可得 l m，故 A 不正确 当 有 l m 或 l 与 m 异面或相交，故 B 不正确 当 l m 有直线 m 平面 ，因为直线 m平面 ， ，故 C 正确， 当 l m 有 或 ，故 D 不正确， 故选： C 8在 ， | |=1， | |=3， 0，则 | |=（ ） A 1 B C 3 D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 可知， ，根据条件对上式两边平方进行数量积的运算即可得出 ，从而得出 的值 【解答】 解： = = =7； 故选： B 9如图，长方体 ABCD中， 3， ， ， E、 F 分别是线段 异面直线 成的角是（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 【考点】 异面直线及其所成的角 第 7 页（共 16 页） 【分析】 以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 成的角 【解答】 解：以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则 E（ 0， 0， ）， F（ 2， ， 0）， C（ 4， 5， 0）， D（ 0， 5， 3）， =（ 2， ， ）， =（ 4， 0， 3）， = = = ， 异面直线 成的角 45 故选： C 10直线 l： 3x+4y+4=0 与圆 C：（ x 2） 2+ 交于 A， B 两点，则 ） A B C D 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定 【分析】 求出圆心、半径，圆心到直线的距离，利用三角函数进行求解 【解答】 解：圆 C：（ x 2） 2+ 的圆心坐标为（ 2， 0）， 半径为 3， 圆心到直线的距离为 =2， ， 1= 1= ， 故选： A 11如图，等腰直角三角形 ， 0， D 为 中点， 分 E 交于点 P，若 = + ，则 等于（ ） 第 8 页（共 16 页） A B 1 C D 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 可以 在直线为 x， y 轴，建立平面直角坐标系，并设 ，从而可根据条件求出 A， B， C 三点的坐标，并可求出 ，可写出直线 方程，从而求出点 P 的坐标，进而得出向量 的坐标，带入 即可建立 关于 ， 的方程，解出 即可 【解答】 解：以 在直线为 x， y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设 ，则： A（ 0， 1）， B（ 1， 0）， C（ 1， 0）； 根据正切的二倍角公式：设 =x，则 ，且 x 0； 解得 x= ； 直线 方程为 ； 令 x=0， y= ，即 ； ， ； ； ； 解得 故选 D 12 如图，一个无盖圆台形容器的上、下底面半径分别为 1 和 2，高为 ， 圆台的两条母线（四边形 经过轴的截面）一只蚂蚁从 A 处沿容器侧面（含边沿线）爬到 C 处，最短路程等于（ ） 第 9 页（共 16 页） A 2 B +2 C +2 D +2 【考点】 多面体和旋转体表面上的最短距离问题 【分析】 由题意求出圆台所在圆锥的母线长，利用弧长公式求出圆心角，把最短路程转化为三角形的边长求解 【解答】 解：沿母线 开并展开如图， 圆台形容器的上、下底面半径分别为 1 和 2，高为 ， ， 设展开图的圆心角为 ，则 21=2， =， 0， =2 经过的最短路程为 2 故选： A 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知 ，则 值为 【考点】 二倍角的 正弦；同角三角函数间的基本关系 【分析】 将已知的等式左右两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，整理后即可求出 值 【解答】 解：将 左右两边平方得： （ 2= ， 整理得： +， 则 1= 故答案为： 14已知斜率为 2 的直线 l 过点 P（ 1， 3），将直线 l 沿 x 轴向右平移 m 个单位得到直线 l，若点 A（ 2， 1）在直线 l上，则实数 m= 2 【考点】 直线的一般式方程 第 10 页（共 16 页） 【分析】 由已知直线 l 的斜率且过点 P，根据直线方程的点斜式求出其解析式，然后根据平移的性质：左加右减，上加下减，得到直线 l，再根据点 A 在直线 l上，代入直线 l方程计算 即可得答案 【解答】 解：由直线 l 斜率为 2 且过点 P（ 1， 3）， 得 y 3=2（ x 1）， 即 y=2x+1，将直线 l 沿 x 轴向右平移 m 个单位得到直线 l， 则直线 l即 y=2（ x m） +1， 又点 A（ 2， 1）在直线 l上， 2 （ 2 m） +1=1，解得 m=2 故答案为： 2 15已知 | |=1， | + |= ， | |=2，则 在 方向上的投影等于 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据条件对 的两边平方即可求出 的值，这样根据一个向量在另一个向量方向上的投影的 计算公式便可得出所要求的投影的值 【解答】 解：根据条件， = =3； ； 在 方向上的投影为： = = = ； 在 方向上的投影等于 故答案为： 16如图，在三棱锥 A ， 底面 C=该三棱锥外接球的表面积等于 12 【考点】 球的体积和表面积；球内接多面体 【分析】 由题意将三棱锥补全为正方体，且正方体的对角线为该三棱锥外接球的直径，即2R=2 ，得到三棱锥 A 接球的半径大小，即可求出三棱锥外接球的表面积 第 11 页（共 16 页） 【解答】 解：由题意将三棱锥补全为正方体，且正方体的对角线为该三棱锥外接球的直径，即 2R=2 ， R= 三棱锥外接球的表面积为 42 故答案为： 12 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17已知 O（ 0， 0）， A（ 2， 1）， B（ 1， 2） （ 1）求 面积； （ 2）若点 C 满足直线 点 C 的坐标 【考点】 正弦定理；两点间距离公式的应用 【分析】 （ 1）由两点之间的距离公式求出 |由向量的坐标运算、数量积运算得到 =0，判断出 三角形的面积公式求出 面积； （ 2）点 C 的坐标 为（ x， y），由向量的坐标运算求出 、 、 ，根据条件、向量垂直和平行的坐标条件列出方程组，求出 x， y 的值，可得点 C 的坐标 【解答】 解：（ 1）由题意得， | ， =（ 2， 1）， =（ 1， 2）， =0， 面积 S= ； （ 2）设点 C 的坐标为（ x， y）， 则 =（ x 1， y 2）， =（ x 2， y+1），且 =（ 1， 3）， 直线 =0， ，则 ， 解得 ， 点 C 的坐标为（ 4， 3） 18长方体截去一个三棱锥后的直观图和部分三视图如图所示 （ 1）画出这个几何体的俯视图，并求截面 面积； （ 2）若 M 为 中点，求直线 平面 成角的正切值 【考点】 直线与平面 所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 （ 1）根据直观图，可得俯视图，根据三角形的三条边，即可求截面 面积； 第 12 页（共 16 页） （ 2）将几何体补充为长方体，则 直线 平面 成角，即可求直线 成角的正切值 【解答】 解：（ 1）俯视图如图所示，截面 F=2 ， ，面积为=6； （ 2）将几何体补充为长 方体，则 直线 平面 成角 ， ， 19已知函数 f（ x） =A 0 （ 1）若 A=1，求 f（ x）的单调递增区间； （ 2）函数 f（ x）在 x=取得最大值 ，求 值 【考点】 两角和与差的余弦函 数；正弦函数的图象 【分析】 （ 1）由题意利用两角和的正弦函数公式可得 f（ x） = x+ ），由 2x+ 2， k Z，即可解得 f（ x）的单调递增区间 （ 2）由两角和的正弦函数公式可得 f（ x） = x+），其中 ，由题意可求） =1，其中 ， = ，进而解得 A， 得 ， k Z，利用诱导公式即可解得 值 【解答】 解：（ 1） 由题意可得： f（ x） =x+ ）， 由 2 x+ 2， k Z，解得： 2 x 2， k Z， 可得单调递增区间为： 2， 2， k Z （ 2） f（ x） =x+），其中 ， 且函数 f（ x）在 x=取得最大值 ， ） =1，其中 ， = ， 第 13 页（共 16 页） 由 A 0，解得： A=2 ， = ， =2， k Z， ， k Z， 2 ） = 20在四棱锥 P ， 平面 面 平行四边形， ， ， M、 N 分别为棱 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）若二面角 P B 等于 30，求四棱锥 P 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 点 E，连结 证 平行四边形，由 可判定 平面 （ 2）证明 定 二面角 P B 的平面角，求出 可求四棱锥 P 体积 【解答】 （ 1）证明：取 点 E，连结 N 为 点， 又 M 为 点，底面 平行四边形， C，即 平行四边形， 面 面 平面 （ 2）解： ， ， ， 平面 二面角 P B 的平面角，即 0， 1， 四棱锥 P 体积 = = 第 14 页（共 16 页） 21如图，已知函数 f（ x） =x+ ）（ m 0）的图象在 y 轴右侧的最高点从左到右依 次为 ，与 x 轴正半轴的交点从左到右依次为 （ 1）若 m=1，求 ； （ 2）在 ， 1，（ i=1， 2， 3， ）中，有且只有三个锐角三角形，求实数 m 的取值范围 【考点】 正弦函数的图象 【分析