雅安市2015-2016学年高二下期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年四川省雅安市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题 :本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1在复平面内，复数 对应的点的坐标为（ ） A（ 3， 1） B（ 1， 3） C（ 1， 3） D（ 3， 1） 2已知向量 =（ 3， 5， 0）， =（ 1， 2， 1） ，则 | 2 |等于（ ） A 6 B C 2 D 3 3设 A=2， 3， B=（ ， a），若 A B，则 a 的取值范围是（ ） A a 3 B a 2 C a 3 D a 2 4设随机变量 N（ 0， 1），若 P（ 1） =p，则 P（ 1 0） =（ ） A +p B 1 p C 1 2p D p 5曲线 y=中 e=自然对数的底数）在点（ 0， 1）处的切线的斜率为（ ） A 2 B 3 C D 6在（ 1+x） 6（ 2+y） 4 的展开式中，含 的系数为（ ） A 210 B 120 C 80 D 60 7有 3 位同学参加测试，假设每位同学能通过测试的概率都是 ，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为（ ） A B C D 8设随机变量 X 的概率分布列为 X 1 2 3 4 P m 则 P（ |X 3|=1） =（ ） A B C D 9如图，长方体 C=2， ， M 为 中点， P 为底面四边形 的动点，且满足 C，则点 P 的轨迹的长度为（ ） A B 3 C D 第 2 页（共 16 页） 10现有 2 门不同的考试要安排在 5 天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案有（ ）种 A 6 种 B 16 种 C 12 种 D 20 种 11已知函数 f（ x） = x2+f（ x）是函数 f（ x）的导函数，则 f（ x）的图象大致是（ ） A B CD 12已知定义在（ 0， +）上的单调函数 f（ x），对 x （ 0， +），都有 ff（ x） 3，则方程 f（ x） f（ x） =2 的解所在的区间是（ ） A（ 0， ） B（ 1， 2） C（ ， 1） D（ 2， 3） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置 13一盒子中装有 4 只产品，其中 3 只一等品， 1 只二等品，从中取产品两次，每次任取 1只，做不放回抽样设事件 A 为 “第一次取到的是一等品 ”，事件 B 为 “第二次取到的是一等品 ”，则 P（ B|A） = 14已知 f（ x） =a 0），若对任意两个不等的正实数 有 2 恒成立，则 a 的取值范围是 15袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个（ n=1， 2， 3，4）现从袋中任取一球， 表示所取球的标号若 =2， E（ ） =1，则 D（ ）的值为 16计算 +以采用 以下方法：构造等式： + 1+x） n，两边对 x 求导，得 +1=n（ 1+x） n 1，在上式中令 x=1，得 +n2n 1类比上述计算方法，计算22+ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知书架中甲层有英语书 2 本和数学书 3 本，乙层有英语书 1 本和数 学书 4 本现从甲、乙两层中各取两本书 （ 1）求取出的 4 本书都是数学书的概率 （ 2）求取出的 4 本书中恰好有 1 本是英语书的概率 18已知函数 f（ x） =x+1） + 第 3 页（共 16 页） （ 1）当函数 f（ x）在点（ 0， f（ 0）处的切线与直线 4y x+1=0 垂直时，求实数 m 的值； （ 2）若 x 0 时， f（ x） 1 恒成立，求实数 m 的取值范围 19如图，在直三棱柱 ， C=2 0， D 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 C 的余弦值 20甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出 3 人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得 1 分，答错不答都得 0 分，已知甲队 3 人每人答对的概率分别为 ， ，乙队每人答对的概率都是 设每人回答正确与否相互之间没有影响，用 表示甲队总得分 （ ）求随机变量 的分布列及其数学期望 E（ ）； （ ）求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下，甲队比乙队得分高的概率 21已知函数 f（ x） =1 a R） （ ）讨论函数 f（ x）在定义域内的极值点的个数； （ ）若函数 f（ x）在 x=1 处取得极值，对 x （ 0， +）， f（ x） 2 恒成立，求实数 b 的取值范围； （ ）当 0 x y x e 时，试比较 的大小 22在对人们休闲方式的一次调查中，仅就看电视与运动这两种休闲方式比较喜欢哪一种进行了调查 调查结果：接受调查总人数 110 人，其中男、女各 55 人；受调查者中，女性有30 人比较喜欢看电视，男性有 35 人比较喜欢运动 （ ）请根据题目所提供的调查结果填写下列 2 2 列联表； 看电视 运动 合计 女 男 合计 （ ）已知 P（ =否在犯错误的概率不超过 前提下认为 “性别与休闲方式有关系 ”？ （注： ，（其中 n=a+b+c+d 为样本容量） 第 4 页（共 16 页） 2015年四川省雅安市高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题 :本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1在复平面内，复数 对应的点的坐标为（ ） A（ 3， 1） B（ 1， 3） C（ 1， 3） D（ 3， 1） 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 根据复数的基本运算和复数的几何意义进行化简即 可 【解答】 解： = = =1 3i， 对应的坐标为（ 1， 3）， 故选： B 2已知向量 =（ 3， 5， 0）， =（ 1， 2， 1），则 | 2 |等于（ ） A 6 B C 2 D 3 【考点】 空间向量运算的坐标表示 【分析】 利用空间中点的坐标运算法则先求出 ，由此能求出 | 2 |的值 【解答】 解： 向量 =（ 3， 5， 0）， =（ 1， 2， 1）， =（ 3， 5， 0）（ 2， 4， 2） =（ 1， 1， 2）， | 2 |= = 故选： B 3设 A=2， 3， B=（ ， a），若 A B，则 a 的取值范围是（ ） A a 3 B a 2 C a 3 D a 2 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【分析】 根据 A、 B 的包含关系，求出 a 的范围即可 【解答】 解： A=2， 3， B=（ ， a）， A B a 3， 故选： C 4设随机变量 N（ 0， 1），若 P（ 1） =p，则 P（ 1 0） =（ ） A +p B 1 p C 1 2p D p 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 第 5 页（共 16 页） 【分析】 根据随机变量 N（ 0， 1），正态曲线关于 x=0 对称，得到对称区间对应的概率相等，根据大于 1 的概率得到小于 1 的概率，根据对称轴一侧的区间的概率是 ，得到结果 【解答】 解： 随机变量 N（ 0， 1）， 正态曲线关于 x=0 对称， P（ 1） =p， P（ 1） =p， P（ 1 0） = p， 故选 D 5曲线 y=中 e=自然对数的底数）在点（ 0， 1）处的切线 的斜率为（ ） A 2 B 3 C D 【考点】 导数的几何意义；导数的运算 【分析】 先求导，根据导数的几何意义，斜率 k=k=y|x=0，解得即可 【解答】 解： y= k=y|x=0=， 故选： A 6在（ 1+x） 6（ 2+y） 4 的展开式中，含 的系数为（ ） A 210 B 120 C 80 D 60 【考点】 二项式定理的应用 【分 析】 利用二项展开式的通项公式求得（ 1+x） 6（ 2+y） 4 的展开式中，含 项，可得含 的系数 【解答】 解：在（ 1+x） 6（ 2+y） 4 的展开式中，含 项为 220 故含 的系数为 120， 故选： B 7有 3 位同学参加测试，假设每位同学能通过测试的概率都是 ，且各人能否通过测试是相互 独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为（ ） A B C D 【考点】 相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式 【分析】 先求出所有的同学都没有通过的概率，再用 1 减去此概率，即得所求 【解答】 解：所有的同学都没有通过的概率为 = ， 故至少有一位同学能通过测试的概率为 1 = 故选： D 8设随机变量 X 的概率分布列为 第 6 页（共 16 页） X 1 2 3 4 P m 则 P（ |X 3|=1） =（ ） A B C D 【考点】 离散型随机变量及其分布列 【分析】 利用概率分布的定义得出： m =1，求出 m，得出分布列，判断 P（ |X 3|=1） =P（ 4） +P（ 2），求解即可 【解答】 解：根据概率分布的定义得出： m =1得 m= ， 随机变量 X 的概率分布列为 X 1 2 3 4 P P（ |X 3|=1） =P（ 4） +P（ 2） = 故选： B 9如图，长方体 C=2， ， M 为 中点， P 为底面四边形 的动点，且满足 C，则点 P 的轨迹的长度为（ ） A B 3 C D 【考点】 棱柱的结构特征 【分析】 取 中点 E，由题意，点 P 的轨迹为 长度，利用勾股定理求值 【解答】 解：取 中点 E， 中点 N， 如图，因为 底面的射影为 且 以 所以 的点到 M， C 的距离相等， P 在 ，所以 C， 所以点 P 的轨迹为 因为长方体 C=2， ， M 为 中点， 所以 ； 故选 D 第 7 页（共 16 页） 10现有 2 门不同的考试要安排在 5 天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案有（ ）种 A 6 种 B 16 种 C 12 种 D 20 种 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 若第 一门安排在开头或结尾，则第二门有 3 种安排方法若第一门安排在中间的 3天中，则第二门有 2 种安排方法，根据分步计数原理分别求出安排方案种数，相加即得所求 【解答】 解：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有 3 种安排方法，这时，共有 3=6种方法 若第一门安排在中间的 3 天中，则第二门有 2 种安排方法，这时，共有 3 2=6 种方法 综上可得，所有的不同的考试安排方案种数有 6+6=12 种， 故选 C 11已知函数 f（ x） = x2+f（ x）是 函数 f（ x）的导函数，则 f（ x）的图象大致是（ ） A B CD 【考点】 函数的图象 【分析】 由于 f（ x） = x2+ f（ x） = x 奇函数 的定义得函数 f（ x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除 x= 代入 f（ ） = 1 0，排除 C，只有 A 适合 【解答】 解：由于 f（ x） = x2+ f（ x） = x f（ x） = f（ x），故 f（ x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除 第 8 页（共 16 页） 又当 x= 时， f（ ） = 1 0，排除 C，只有 A 适合， 故选： A 12已知定义在（ 0， +）上的单调函数 f（ x），对 x （ 0， +），都有 ff（ x） 3，则方程 f（ x） f（ x） =2 的解所在的区间是（ ） A（ 0， ） B（ 1， 2） C（ ， 1） D（ 2， 3） 【考点】 导数的运算 【分析】 设 t=f（ x） f（ x） =t，又由 f（ t） =3，即 t=3，解可得 t 的值，可得 f（ x）的解析式，由二 分法分析可得 h（ x）的零点所在的区间为（ 1， 2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案 【解答】 解：根据题意，对任意的 x （ 0， +），都有 ff（ x） 3， 又由 f（ x）是定义在（ 0， +）上的单调函数， 则 f（ x） 定值， 设 t=f（ x） f（ x） =t， 又由 f（ t） =3，即 t=3， 解可得， t=2； 则 f（ x） =， f（ x） = ， 将 f（ x） =， f（ x） = 代入 f（ x） f（ x） =2， 可得 =2， 即 =0， 令 h（ x） =， 分析易得 h（ 1） = 0， h（ 2） =1 0， 则 h（ x） =的零点在（ 1， 2）之间， 则方程 =0，即 f（ x） f（ x） =2 的根在（ 1， 2）上， 故选： B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置 13一盒子中装有 4 只产品，其中 3 只一等品， 1 只二等品，从中取产品两次，每次任取 1只，做不放回抽样设事件 A 为 “第一次取到的是一等品 ”，事件 B 为 “第二次取到的是一等品 ”，则 P（ B|A） = 【考点】 条件概率与独立事件 【分析】 利用 P（ B|A） = ，即可得出结论 第 9 页（共 16 页） 【解答】 解：由题意， P（ B|A） = = = 故答案为： 14已知 f（ x） =a 0），若对任意两个不等的正实数 有 2 恒成立，则 a 的取值范围是 1， +） 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 可求导数 ，而根据题意便可得出 f（ x） 2 对于任意 x 0 都成立，这样便可得出 2x+a 0 对任意 x （ 0， +）恒成立，从而有二次函数 y=2x+a 的最小值 ，从而可求出 a 的取值范围 【解答】 解： ； 根据 恒成立得： 恒成立； 整理成， 2x+a 0 在（ 0， +）上恒成立； ； a 1； a 的取值范围是 1， +） 故答案为： 1， +） 15袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个（ n=1， 2， 3，4）现从袋中任取一球， 表示所取球的标号若 =2， E（ ） =1，则 D（ ）的值为 11 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 【分析】 根据题意得出分布列，求解 E（ ） =0 +4 = ，利用 E（ ） =） 2， D（ ） =4D（ ），求解即可 【解答】 解：根据题意得出随机变量 的分布列： 0 1 2 3 4 P E（ ） =0 +4 = ， =2， E（ ） =1， 1=a 2， 第 10 页（共 16 页） 即 a=2， =2 2， E（ ） =1， D（ ） = （ ） 2+ （ ） 2+ （ 2 ） 2+ （ 3 ） 2+ （ 4 ）2= ， D（ ） =4D（ ） =4 =11 故答案为： 11 16计算 +以采用以下方法：构造等式： + 1+x） n，两边对 x 求导，得 +1=n（ 1+x） n 1，在上式中令 x=1，得 +n2n 1类比上述计算方法，计算 22+n（ n+1） 2n 2 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 构造等式： +n（ 1+x） n 1，两边对 x 求导，两边同乘以 x，再两边求导后赋值即可 【解答】 解：构造等式： +n（ 1+x） n 1， 两边对 x 求导，得 +1=n（ 1+x） n 1， 两边同乘以 x，得 +1+x） n 1， 再两边求导，得 22+n（ 1+x） n 1+（ n 1） x（ 1+x） n 2 令 x=1，得 22+n（ n+1） 2n 2， 故答案为： n（ n+1） 2n 2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知书架中甲层有英语书 2 本和数学书 3 本，乙层有英语书 1 本和数学书 4 本现从甲、乙两层中各取两本书 （ 1）求取出的 4 本书都是数学书的概率 （ 2）求取出的 4 本书中恰好有 1 本是英语书的概率 【考点】 相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；排列、组合及简单计数问题 【分析】 （ 1）设 “从甲层取出的 2 本书均为数学书 ”的事件为 A， “从乙层取出的 2 本书均为数学书 ”的事件为 B，则所求的事件的概率等于 P（ A） P（ B） = ，运算求得结果 （ 2）利用互斥事件的概率加法公式，所求的事件的概率等于 + ，运算求得结果 【解答】 解：（ 1）设 “从甲层取出的 2 本书均为数学书 ”的事件为 A， “从乙层取出的 2 本书均为数学书 ”的事件为 B， 由于 A、 B 相互独立，记 “取出的 4 本书都是数学书的概率 ” 第 11 页（共 16 页） 则 （ =P（ A） P（ B） = = （ 2）设 “从甲层取出的 2 本书均为数学书，从乙层取出的 2 本书中， 1 本是英语， 1 本是数学 ”的事件为 C， “从甲层取出的 2 本书中， 1 本是英语， 1 本是数学，从乙层取出的 2 本书中均为数学 ”的事件为 D，由于 C， D 互斥，记 “取出的 4 本书中恰好有 1 本是英语书的概率 ”为 2=P（ C+D） =P（ C） +P（ D） = + = 18已知函数 f（ x） =x+1） + （ 1）当函数 f（ x）在点（ 0， f（ 0）处的切线与直线 4y x+1=0 垂直时，求实数 m 的值； （ 2）若 x 0 时， f（ x） 1 恒成立，求实数 m 的取值范围 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）求出导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为 1，即可得到所求 m 的值； （ 2）不等式 x+1） + 1 在 x 0 时恒成立，即 m x+1（ x+1） x+1）在 x 0时恒成立令 g（ x） =x+1（ x+1） x+1）（ x 0），求出导数，求得单调区间，即可得到最大值，令 m 不小于最大值即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） = ， 函数 f（ x）在点（ 0， f（ 0）处的切线的斜率 k=f（ 0） =1 m， 函数 f（ x）在点（ 0， f（ 0）处的切线与直线 4y x+1=0 垂直， 1 m= 4， m=5； （ 2）依题意不等式 x+1） + 1 在 x 0 时恒成立， 即 m x+1（ x+1） x+1）在 x 0 时恒成立 令 g（ x） =x+1（ x+1） x+1） （ x 0）， 则 g（ x） =1 x+1） +1= x+1）， x 0 时， g（ x） 0， 函数 g（ x）在 0， +）时为减函数， g（ x） g（ 0） =1， m 1 即实数 m 的取值范围是 1， +） 19如图，在直三棱柱 ， C=2 0， D 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 C 的余弦值 第 12 页（共 16 页） 【考点】 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的 判定；二面角的平面角及求法 【分析】 （ 1）连接 点 O，连接 直三棱柱，得四边形 矩形，由此利用三角形中位线能够证明 平面 （ 2）由 直三棱柱，且 0，知 两垂直由此能求出二面角 C 的余弦值 【解答】 （ 1）证明：连接 点 O，连接 由 直三棱柱， 得四边形 矩形， O 为 中点，又 D 为 点， 所以 位线， 所以 因为 面 面 以 平面 （ 2）解：由 直三棱柱， 且 0， 故 两垂直 以 x 轴，以 y 轴，以 z 轴，建立空间直角坐标系， C=2 0， D 是 中点， 可设 ， C=2， C=1， A（ 2， 0， 0）， D（ 0， 1， 0）， C（ 0， 2， 0）， 0， 2， 1）， =（ 2， 2， 1）， ， 设平面 法向量为 ， 则 ， ， ， =（ 1， 2， 2）， 平面 法向量 ， 所以二面角 C 的余弦值为 | |=| |= 第 13 页（共 16 页） 20甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出 3 人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得 1 分，答错不答都得 0 分，已知甲队 3 人每人答对的概率分别为 ， ，乙队每人答对的概率都是 设每人回答正确与否相互之间没有影响，用 表示甲队总得分 （ ）求随机变量 的分布列及其数学期望 E（ ）； （ ）求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下，甲队比乙队得分高的概率 【考点】 条件概率与独立事件；离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （ ）由题设知 的可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出 P（ =0）， P（ =1）， P（ =2），P（ =3），由此能求出随机变量 的分布列和数学期望 E（ ） （ ）设 “甲队和乙队得分之和为 4”为事件 A， “甲队比乙队得分高 ”为事件 B，分别求出 P（ A）， P（ 再由 P（ B/A） = ，能求出结果 【解答】 解：（ ）由题设知 的可能取值为 0， 1， 2， 3， P（ =0） =（ 1 ）（ 1 ）（ 1 ） = ， P（ =1） = （ 1 ）（ 1 ） +（ 1 ） （ 1 ） +（ 1 ）（ 1 ） = ， P（ =2） = + + = ， P（ =3） = = ， 随机变量 的分布列为： 0 1 2 3 P 数学期望 E（ ） =0 +1 +2 +3 = （ ）设 “甲队和乙队得分之和为 4”为事件 A， “甲队比乙队得分高 ”为事件 B， 则 P（ A） = + += ， 第 14 页（共 16 页） P（ = = ， P（ B|A） = = = 21已知函数 f（ x） =1 a R） （ ）讨论函数 f（ x）在定义域内的极值点的个数； （ ）若函数 f（ x）在 x=1 处取得极值，对 x （ 0， +）， f（ x） 2 恒成立，求实数 b 的取值范围； （ ）当 0 x y x e 时，试比较 的大小 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ ）函数 f（ x）的定义域为（ 0， +） f（ x） =a 通过考察 f（ x）的正负值区间判断单调区间，得出极值点情况 （ ） a=1， f（ x） 2 恒成立，即（ 1 b） x 1，将 b 分离得出， b ，令 g（ x） = ，只需 b 小于等于 g（ x）的最小值即可利用导数求最小值 （ ）由（ ） g（ x） = 在（ 0， 为减函数， g（ x