金华市东阳市2016年高考数学模拟试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年浙江省金华市东阳市高考数学模拟试卷（理科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集 U=R，集合 A=x|x 0， B=x|2x 3 0，则（ B=（ ） A x| 3 x 0 B x| 1 x 0 C x|0 0 1 D x|0 x 3 2在 ， “”是 “A ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知 面积为 3 ，若动点 P 满足 =2 +（ 1 ） （ R），则点 P 的轨迹与直线 围成封闭区域的面积是（ ） A 3 B 4 C 6 D 12 4如图， ， =l， A ， B ， A、 B 到 l 的距离分别是 a 和 b 、 所成的角分别是 和 ， 、 内的射影分别是 m 和 n若 a b，则（ ） A ， m n B ， m n C ， m n D ， m n 5已知 x 0， y 0，且 4x+ +y+ =17，则函数 F（ x， y） =4x+y 的最大值与最小值的差为（ ） A 14 B 15 C 16 D 17 6已知 别是双曲线 的左、右焦点，过 双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点 M，若 锐角，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A B（ ， +） C（ 1， 2） D（ 2， +） 7已知函数 f（ x） = ，则函数 y=f（ 2x2+x） a（ a 2）的零点个数不可能（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 8已知二次函数 f（ x） =|b| 2|a|），定义 x） =f（ t） | 1 t x 1，x） =f（ t） | 1 t x 1，其中 a， b表示 a， b 中的较大者， a， b表示 a， b 中的较小者，则下列命题正确的是（ ） 第 2 页（共 21 页） A若 1） =1），则 f（ 1） f（ 1） B若 1） =1），则 f（ 1） f（ 1） C若 f（ 1） =f（ 1），则 1） 1） D若 1） = 1），则 1） 1） 二、填空题：本大题有 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 9如果函数 f（ x） =a 的图象过点（ ， 1）且 f（ t） =2那么 a= ； f（t） = 10某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥体积是 ，四个面的面积中最大的是 11已知数列 足 ， an+， = ， n N*，则 ， 12已知点 P（ x， y），其中 x， y 满足 ，则 的取值范围 ，z= 的最大值是 13若圆 x2+2（ R 0）与曲线 |x| |y|=1 的全体公共点恰好是一个正多边形的顶点，则 R= 14已知 P 为抛物线 C： x 上的一点， F 为抛物线 C 的焦点，其准线与 x 轴交于点 N，直线 抛物线交于另一点 Q，且 |3|则点 P 坐标为 15已知 a 0， b 0， c 0，则 的最大值是 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 74 分 明过程或演算步骤 . 16已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）的部分图象如图所示 （ ）求函数 y=f（ x）的解析式； 第 3 页（共 21 页） （ ）在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 f（ x）在 x 4， 12上的最大值为 c，且 C= 求 面积的最大值 17如图，四边形 ， 正三角形， B=2， ， 于O 点将 边 起，使 D 点至 P 点，已知 平面 成的角为 ，且P 点在平面 的射影落在 （ ）求证： 平面 （ ）若已知二面角 A D 的余弦值为 ，求 的大小 18 n 项和为 2Sn= 2n+1+1， n N*，且 ， 等差数列 （ 1）求 值； （ 2）求 项公式； （ 3）证明 + + 19已知椭圆 +（ a 1）， （ 1）若 A（ 0， 1）到焦点的距离为 ，求椭圆的离心率 （ 2） A（ 0， 1）为直角顶点，边 椭圆交于两点 B、 C若 积的最大值为 ，求 a 的值 20已知函数 f（ x） =x|x b| （ ）当 b= 1 时，若不等式 f（ x） 2x 1 恒成立求实数 a 的最小值； （ ）若 a 0，且对任意 b 1， 2，总存在实数 m，使得方程 |f（ x） m|= 在 3，3上有 6 个互不相同的解，求实数 a 的取值范围 第 4 页（共 21 页） 2016 年浙江省金华市东阳市高考数学模拟试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集 U=R，集合 A=x|x 0， B=x|2x 3 0，则（ B=（ ） A x| 3 x 0 B x| 1 x 0 C x|0 0 1 D x|0 x 3 【考点】 交、并、补集 的混合运算 【分析】 求出集合 A 的补集把集合 B 化简，然后取交集 【解答】 解： 全集 U=R，集合 A=x|x 0， B=x|2x 3 0=x| 1 x 3， （ B=x|x 0x| 1 x 3=x| 1 x 0 故选 B 2在 ， “”是 “A ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 先看由 否得到 ： A 时，根据 y=上的单调性即可得到 ，而 A 时显然满足 A ；然后看 能否得到 这个可通过 y=（ 0， ）上的图象判断出得不到 并可举反例比如 A= 综合这两个方面便可得到 “”是 “A ”的充分不必要条件 【解答】 解： ，若 A （ 0， ， =所以 到 A ； 若 A ，显然得到 ； 即 得到 A ； 而 ，得不到 比如， A= ， ； “是 “A ”的充分不必要条件 故选 A 3已知 面积为 3 ，若动点 P 满足 =2 +（ 1 ） （ R），则点 P 的轨迹与直线 围成封闭区域的面积是（ ） A 3 B 4 C 6 D 12 【考点】 轨迹方程 第 5 页（共 21 页） 【分析】 根据向量加法的几何意义得出 P 点轨迹，利用 面积为 3 ，从而求出围成封闭区域的面积 【解答】 解：延长 D，使得 结 =2 +（ 1 ） = +（ 1 ） C， D， P 三点共线 P 点轨迹为直线 面积为 3 ， S S 故选： C 4如图， ， =l， A ， B ， A、 B 到 l 的距离分别是 a 和 b 、 所成的角分别是 和 ， 、 内的射影分别是 m 和 n若 a b，则（ ） A ， m n B ， m n C ， m n D ， m n 【考点】 平面与平面垂直的性质；三垂线定理 【分析】 在图象中作出射影，在直角三角形中利用勾股定理与三角函数的定义建立相关等式，运算即可 【解答】 解：由题意可得 ， 即有 ， 故选 D 第 6 页（共 21 页） 5已知 x 0， y 0，且 4x+ +y+ =17，则函数 F（ x， y） =4x+y 的最大值与最小值的差为（ ） A 14 B 15 C 16 D 17 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用 【分析】 设 4x+y=t，代入条件可得 4，（ 0 t 17），将 4x， y 可看作二次方程 =0 的两根，由 0， 运用二次不等式的解法即可得到所求最值，进而得到它们的差 【解答】 解：设 4x+y=t， 4x+ +y+ =17，即为（ 4x+y） + =17， 即有 t+ =17， 可得 ，即 4，（ 0 t 17）， 即有 4x， y 可看作二次方程 =0 的两根， 由 0，可得 0， 化为 17t+16 0， 解得 1 t 16， 当 x= ， y= 时，函数 F（ x， y）取得最小值 1； 当 x=2， y=8 时，函数 F（ x， y）取得最大值 16 可得函数 F（ x， y） =4x+y 的最大值与最小值的差为 15 故选： B 6已知 别是双曲线 的左、右焦点，过 双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点 M，若 锐角，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A B（ ， +） C（ 1， 2） D（ 2， +） 【考点】 双曲 线的简单性质 【分析】 可得 M， 坐标，进而可得 ， 的坐标，由 0，结合 不等式，结合离心率的定义可得范围 【解答】 解：联立 ，解得 ， 第 7 页（共 21 页） M（ ， ）， c， 0）， c， 0）， =（ ， ）， =（ ， ）， 由题意可得 0，即 0， 化简可得 3 3 故可得 4c 2a，可得 e= 2 故选 D 7已知函数 f（ x） = ，则函数 y=f（ 2x2+x） a（ a 2）的零点个数不可能（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 由已知中函数的解析式，我们画出函数 y=f（ 2x2+x）的图象，结合图象观察 y=f（ 2x2+x）与 y=a 的交点情况，即可得函数 y=f（ 2x2+x） a（ a 2）的零点个数所有的情况，进而得到答案 【解答】 解： 函数 y=f（ 2x2+x） a（ a 2）的零点个数即函数 y=f（ 2x2+x）和 y=a 的交点个数， 先画出函数 y=f（ 2x2+x）的图象，如图所示 （ 1）当 2 a 3 时，函数 y=f（ 2x2+x）和 y=a 的图象有 4 个交点，则函数 y=f（ 2x2+x） a（ a 2）的零点个数是 4， （ 2）当 a=3 时，函数 y=f（ 2x2+x）和 y=a 的图象有 5 个交点，则函数 y=f（ 2x2+x） a（ a 2）的零点个数是 5， （ 3）当 a 3 时，函数 y=f（ 2x2+x）和 y=a 的图象的交点个数都不小于 4，则函数 y=f（ 2x2+x） a（ a 2）的零点个数不小于 4， 故选 A 第 8 页（共 21 页） 8已知二次函数 f（ x） =|b| 2|a|），定义 x） =f（ t） | 1 t x 1，x） =f（ t） | 1 t x 1，其中 a， b表示 a， b 中的较大者， a， b表示 a， b 中的较小者，则下列 命题正确的是（ ） A若 1） =1），则 f（ 1） f（ 1） B若 1） =1），则 f（ 1） f（ 1） C若 f（ 1） =f（ 1），则 1） 1） D若 1） = 1），则 1） 1） 【考点】 二次函数的性质 【分析】 由新定义可知 1） = 1） =f（ 1）， f（ x）在 1， 1上的最大值为 1），最小值为 1） 【解答】 解：（ 1）若 1） =1），则 f（ 1）为 f（ x）在 1， 1上的最大值， f（ 1） f（ 1）或 f（ 1） =f（ 1）故 A 错误； （ 2）若 1） =1），则 f（ 1）是 f（ x）在 1， 1上的最小值， f（ 1） f（ 1）或 f（ 1） =f（ 1），故 B 错误 （ 3）若 f（ 1） =f（ 1），则 f（ x）关于 y 轴对称， 当 a 0 时， 1） =f（ 0） f（ 1） = 1），故 C 错误 （ 4）若 1） = 1），则 f（ 1）为 f（ x）在 1， 1上的最小值， 而 1） =f（ 1）， 1）表示 f（ x）在 1， 1上的最大值， 1） 1）故 D 正确 故选： D 二、填空题：本大题有 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 9如果函数 f（ x） =a 的图象过点（ ， 1）且 f（ t） =2那么 a= 1 ； f（ t） = 0 【考点】 函数的值 第 9 页（共 21 页） 【分析】 由函数性质列出方程组，求出 a=1， ，由此能求出 f（ t） 【解答】 解： 函数 f（ x） =a 的图象过点（ ， 1）且 f（ t） =2， ，解得 a=1， ， f（ t） = t） +a= = 1+1=0 故答案为： 1， 0 10某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥体积是 1 ，四个面的面积中最大的是 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据三视图画出三棱锥 P 直观图，并做出辅助线，由三视图求出棱长、判断出线面位置关系，由椎体的体积公式求出该三棱锥体积；由勾股定理求出其它棱长，判断该三棱锥的四个面中 最大的面，由三角形的面积公式求出答案 【解答】 解：根据三视图画出三棱锥 P 直观图如图所示： 过 A 作 足为 D，连结 由三视图可知， 平面 且 D=1， A=2， 该三棱锥体积 V= = =1； ， = ， 同理可求 ， ， ， ， 该三棱锥的四个面中最大的面积， 面积 S= = = 故答案为： 1； 第 10 页（共 21 页） 11已知数列 足 ， an+， = ， n N*，则 ， 【考点】 数列递推式 【分析】 an+， = ， n N*，可得 又 = ，可得 ，猜想： ，利用数学归纳法证明即可 进而得出 【解答】 解： an+， = ， n N*， = = ， ， ， ，猜想： ， 下面利用数学归纳法证明： 当 n=1 时， 成立 假设当 n=k 1（ k N*）时成立， 即 = = ， 因此 n=k+1 时成立 综上可得： n N*， ， 第 11 页（共 21 页） 经过验证可知： 成立 = 故答案分别为： ； 12已知点 P（ x， y），其中 x， y 满足 ，则 的取值范围 1， 3 ， z=的最大值是 9 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，由 表示过平面区域的点（ x， y）与（ 0， 0）的直线的斜率，通过图象即可得出作出不等式组对应的平面区域要使 z= 最大，则 x 最小，y 最大即可，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域， 如图示： 由 表示过平面区域的点（ x， y）与（ 0， 0）的直线的斜率，由 ，得 ，即 A（ 1， 3）， 显然直线过 A（ 1， 3）时， =3， 直线过（ 2， 2）时， =1， 故答案为： 1， 3 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 则 x 1， y 2， 要使 z= 最大，则 x 最小， y 最大即可， 由图象知当 z= 经过点 A 时， z 取得最大值， 则 z 的最大值是 z= =9， 故答案为： 1， 3； 9 第 12 页（共 21 页） 13若圆 x2+2（ R 0）与曲线 |x| |y|=1 的全体公共点恰好是一个正多边形的顶点，则 R= 【考点】 圆的标准方程 【分析】 由题意画出图形，可得正多边形为正八边形，然后由已知通过解三角形求得 答案 【解答】 解：由 |x| |y|=1，得 |x| |y|= 1， 即 ， 作出图象如图，正多边形为正八边形， 在 ， 5， ， 2B 即 2=2， ，则 R= 故答案为： 14已知 P 为抛物线 C： x 上的一点， F 为抛物线 C 的焦点，其准线与 x 轴交于点 N，直线 抛物线交于另一点 Q，且 |3|则点 P 坐标为 （ 3， ） 第 13 页（共 21 页） 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 作出抛物线对应的图象，根据抛物线的定义建立条件关系，利用三点共线即可得到结论 【解答】 解： x， 焦点坐标 F（ 1， 0），准线方程 x= 1 过 P， Q 分别作准线的射影分别为 A， B， 则由抛物线的定义可知： | | |3| |3| 即 |3| P， Q 的纵坐标满足 设 P（ ）， y 0， 则 Q（ ）， 则 N（ 1， 0）， N， Q， P 三点共线， ， 解得 2， y= ， 此时 ， 即点 P 坐标为（ 3， ）， 故答案为：（ 3， ） 15已知 a 0， b 0， c 0，则 的最大值是 【考点】 一般形式的柯西不等式 【分析 】 a2+ +（ +（ 调整，利用基本不等式，即可得出结论 【解答】 解：设 a2+ +（ +（ =（ +（ a2+（ 14 页（共 21 页） （ a2+ 当且仅当 a= ， b=2c= 时，等号成立 的最大值是 故答案为： 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 74 分 明过程或演算步骤 . 16已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）的部分图象如图所示 （ ）求函数 y=f（ x）的解析式； （ ）在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 f（ x）在 x 4， 12上的最大 值为 c，且 C= 求 面积的最大值 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象 【分析】 （ ）由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数 y=f（ x）的解析式 （ ）在 ，由条件求出 c，再利用余弦定理求得 最大值为 1，可得 面积为 ab 最大值 【解答】 解：（ ）根据函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）的图象可得A= ， = =6+2， = 再根据五点法作图可得 2 +=0， = ， f（ x） = x+ ） （ ）在 ， f（ x） = x+ ）在 x 4， 12上的最大值为 c=1（此时，x=4） 由 C= ，利用余弦定理可得 =a2+2ab2ab=且仅当 a=b 时，取等号， 故 最大值为 1 第 15 页（共 21 页） 则 面积为 ab ，故 面积的最大值为 17如图，四边形 ， 正三角形， B=2， ， 于O 点将 边 起，使 D 点至 P 点，已知 平面 成的角为 ，且P 点在平面 的射影落在 （ ）求证： 平面 （ ）若已知二面角 A D 的余弦值为 ，求 的大小 【考点】 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）利用线面垂直的判定定理，可证 平面 （ ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角 A D 的余弦值为 ，可求 的大小 【解答】 （ ）证明：由题意， O 为 中点，则 又 O=O，所以 平面 （ ）解：以 x 轴， y 轴，过 O 垂直于平面 上的直线为 z 轴建立如图所示空间直角坐标系， 则 A（ 0， 1， 0）， B（ ）， P（， ），则 ，平面 法向量为 设平面 法向量为 则由 得， ，令 x=1，则 = = = =3，即 ， 第 16 页（共 21 页） 又 ， 18 n 项和为 2Sn= 2n+1+1， n N*，且 ， 等差数列 （ 1）求 值； （ 2）求 项公式； （ 3）证明 + + 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）由 2Sn= 2n+1+1， n N*，分别取 n=1， 2 时，可得 ， 3利用 ， 等差数列，即可得出； （ 2）当 n 2 时， 221，化为 ，变形 ，利用等比数列的通项公式即可得出； （ 3）由 3n 1可得 ，再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 （ 1）解： 2Sn= 2n+1+1， n N*， n=1， 2 时， 2a1=3， 2a2=7， ， 3 ， 等差数列， 2（ ） =a1+ 2（ 2） =3， 解得 （ 2）解：当 n 2 时， 221= ，化为， ， =3 数列 是等比数列， ， （ 3）证明： 3n 1 第 17 页（共 21 页） ， + + + = = 19已知椭圆 +（ a 1）， （ 1）若 A（ 0， 1）到焦点的距离为 ，求椭圆的离心率 （ 2） A（ 0， 1）为直角顶点，边 椭圆交于两点 B、 C若 积的最大值为 ，求 a 的值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由 A（ 0， 1）到焦点的距离为 ，可得 a= ， c= ，即可得出 e= （ 2）不妨设 率 k 0，则 y=， y= 分别与椭圆方程联立可得：， ， | = ，| S= |2，令 =t 2，通过换元利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解：（ 1） A（ 0， 1）到焦点的距离为 ， a= ， c= = ， e= = （ 2）不妨设 率 k 0，则 y=， y= 由 ，得（ 1+， 解得 ，同理 ， | = ，同理可得： | 第 18 页（共 21 页） S= |2=2， 令 =t 2， 则 S=2= ，当且仅当 t= 2，即a 时取等号 由 ，解得 a=3，或 a= （舍去） 1 a 1+ 时无解 a=3 20已知函数 f（ x） =x|x b| （ ）当 b= 1 时，若不等式 f（ x） 2x 1 恒成立求实数 a 的最小值； （ ）若 a 0，且对任意 b 1， 2，总存在实数 m，使得方程 |f（ x） m|= 在 3，3上有 6 个互不相同的解，求实数 a 的取值范围 【考 点】 绝对值不等式的解法；二次函数的性质 【分析】 （ ）由题意可得 x|x+1| 2x 1 恒成立，讨论 x=0， x 0 时，运用参数分离，求得右边函数的最大值即可； （ ）对 a 讨论，（ 1）当 a 1 时，（ 2）当 a= 1 时，（ 3） 1 a 0 时， 当