2016年山西省八校联考高考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年山西省古县、高阳、离石三区八校联考高考数学一模试卷 一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 1已知复数 z 满足 z= （ i 为虚数单位），则 z=（ ） A B C 1 i D 1+i 2当 1 m 时，复数（ 3+i） m（ 2+i）在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3若 a=b=c=，则（ ） A b c a B b a c C a b c D c a b 4执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 8，则判断条件是（ ） A k 2 B k 4 C k 3 D k 3 5点 P 为 任一点，则使 S S 概率是（ ） A B C D 6函数 f（ x） =2x+ ）的图象向左平移 （ 0）个单位后关于原点对称，则 的最小值为（ ） A B C D 第 2 页（共 19 页） 7已知 别为双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左右焦点，过 直线 的左右两支分别交于 A， B 两点，若 | | |4： 3： 5，则双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 8在平行四边形 ， ， ， 20，平面 有一点 P，满足，若 = + （ ， R），则 2+的最大值为（ ） A B C D 9为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，得到 5 组数据（ （ （ （ （ 根据收集到的数据可知 =20，由最小二乘法求得回归直线方程为 =8，则 y1+y2+y3+y4+ ） A 60 B 120 C 150 D 300 10若点（ a， 16）在函数 y=2x 的图象上，则 值为（ ） A B C D 11点 M、 N 分别是正方体 棱 点，用过 A、 M、 N 和D、 N、 两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图 1，则该几何体的正视图、侧视图（左视图）、俯视图依次为图 2 中的（ ）A 、 、 B 、 、 C 、 、 D 、 、 12圆 C 的方程为 x2+8x+15=0若直线 y=2 上至少 存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是（ ） A 0 B C D 1 二 大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13某学校小学部有 270 人，初中部有 360 人，高中部有 300 人，为了调查学生身体发育状况的某项指标，若从初中部抽取了 12 人，则从该校应一共抽取 人进行该项调查 14甲几何体（上）与乙几何 体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为 于 第 3 页（共 19 页） 15已知双曲线 ，点 其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若 |值为 16若函数 f（ x） =a|x|+6 的图象与 x 轴有三个不同的交点，函数 g（ x） =f（ x） b 有 4 个零点，则实数 b 的取值范围是 三 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤 17已知函数 f（ x） = （ ）求 f（ x）的最小值； （ ）在 ，角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c，若 f（ C） =1 且 c= ， a+b=4，求 S 18某研究所计划利用 “神七 ”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品 A、 B 若干件，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表： 每件 产品 A 每件产品B 研制成本、搭载费用之和（百万元） 2 划最大资金额 15（百万元） 产品重量（千克） 1 大搭载重量 12（千克） 预计收益（百元） 1000 1200 并且 B 产品的数量不超过 A 产品数量的 2 倍如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？ 19如图，四边形 为菱形， 0， ，且 C （ 1）求证： 平面 （ 2）求三棱锥 E 体积 20椭圆 +，椭圆 + =1（ a b 0）的一个焦点坐标为（ ， 0），斜率为 1 的直线 l 与椭圆 交于 A、 B 两点，线段 中点 H 的坐标为（ 2， 1） （ 1）求椭圆 方程； 第 4 页（共 19 页） （ 2）设 P 为椭圆 一点，点 M、 N 在椭圆 ，且 = +2 ，则直线 直线斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 21已知函数 f（ x） =x（ a R） （ ）当 a=1 时，求曲线 y=f（ x）在点 A（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）讨论函数 y=f（ x）的单调性 请从下面所给的 22、 23、 24 三题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所 选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分 选修 4何证明选讲 22如图， O 于 A、 C， O 的割线 （ 1）求证： C=C； （ 2）已知 ， ，求 面积之比 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，已知 O 的方程 x2+，直线 l： x=4，在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点 作射线交 O 于 A，交直线 l 于 B （ 1）写出 O 及直线 l 的极坐标方程； （ 2）设 点为 M，求动点 M 的轨迹方程 选修 4等式选讲 24不等式 |x | 的解集为 x|n x m （ 1）求实数 m， n； （ 2）若实数 a， b 满足： |a+b| m， |2a b| n，求证： |b| 第 5 页（共 19 页） 2016 年山西省古县、高阳、离石三区八校 联考高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 1已知复数 z 满足 z= （ i 为虚数单位），则 z=（ ） A B C 1 i D 1+i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用分子分母同时乘以分母的共轭复数得答案 【解答】 解： z= = ， 故选： A 2当 1 m 时，复数（ 3+i） m（ 2+i）在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 利用复数的运算法则、几何意义、不等式的性质即可得出 【解答】 解：复数（ 3+i） m（ 2+i） =（ 3 2m） +（ 1 m） i， 1 m ， 3 2m 0， 1 m 0， 在复平面内对应的点位于第四象限， 故选： D 3若 a=b=c=，则（ ） A b c a B b a c C a b c D c a b 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 分别利用指数式与对数函数的运算性质比较三个数与 0 和 1 的大小得答案 【解答】 解： a=50=1， 0 b=， c= 0， a b c 故选： C 4执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 8，则判断条件是（ ） 第 6 页（共 19 页） A k 2 B k 4 C k 3 D k 3 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 s， k 的值，由题意当 s=8， k=3 时，由题意应该不满足条件，退出循环，输出 s 的值为 8，即可得解 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 k=0， s=1 应满足条件，执行循环体， s=1， k=1 应满足条件，执行循 环体， s=2， k=2 应满足条件，执行循环体， s=8， k=3 此时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出 s 的值为 8 则判断框内应为： k 3？ 故选： C 5点 P 为 任一点，则使 S S 概率是（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 首先分析题目求在面积为 S 的 边 任取一点 P，使 S S 用几何概型求概率 【解答】 解：设 P 到 距离为 h， 三角形 面积为 S，设 上的高为 d， 因为两个三角形有共同的边 以满足 S S ， h d，所以 使 S S 概率为 = ； 故选： A 第 7 页（共 19 页） 6函数 f（ x） =2x+ ）的图象向左平移 （ 0）个单位后关于原点对称，则 的最小值为（ ） A B C D 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用三角函数的图象平移得到平移后图象的函数解析式，由图象关于原点对称列式求得 的最小值 【解答】 解： f（ x） =2x+ ）， 图象向左平移 （ 0）个单位长度得到 y=（ x+） + =2x+2+ ）， 所得的图象关于原点对称， 2+ =k Z）， 0， 则 的最小正值为 故选： B 7已知 别为双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左右焦点，过 直线 的左右两支分别交于 A， B 两点， 若 | | |4： 3： 5，则双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 |t， |4x，根据双曲线的定义算出 t=2x， x= a， 算出 = ，可得 ，在 ，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案 【解答】 解：设 |t， |4x，则 |3x， |5x， 根据双曲线的定义，得 | | |2a， 即 5x t=（ 4x+t） 3x=2a，解得 t=2x， x= a， 即 | a， | a， | | |4： 3： 5，得 以 B 为直角的 ， = ， 可得 ， ， |=|+| 2| 8 页（共 19 页） = 2 a a （ ） =20 可得 |2 a，即 c= a， 因此，该双曲线的离心率 e= = 故选： D 8在平行四边形 ， ， ， 20，平面 有一点 P，满足，若 = + （ ， R），则 2+的最大值为（ ） A B C D 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 可作出图形，根据题意可知 ， 0，根据条件对 两边平方，进行数 量积的运算便可得到 5=42+2+2=（ 2+） 2 2，由基本不等式即可得出 2+的范围，从而便可得出 2+的最大值 【解答】 解：如图，依题意知， 0， 0； 根据条件， 5= =42+2+2 = = ； ； ； 2+的最大值为 故选 B 第 9 页（共 19 页） 9为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，得到 5 组数据（ （ （ （ （ 根据收集到的数据可知 =20，由最小二乘法求得回归直线方程为 =8，则 y1+y2+y3+y4+ ） A 60 B 120 C 150 D 300 【考点】 线性回归方程 【分析】 根据回归方程求出 即可得出答案 【解答】 解：将 代入回归方程得 =20+48=60 y1+y2+y3+y4+ =300 故选 D 10若点（ a， 16）在函数 y=2x 的图象上，则 值为（ ） A B C D 【考点】 运用诱导公式化简求值 【分析】 由条件求得 a 的值，再利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果 【解答】 解： 点（ a， 16）在函数 y=2x 的图象 上， 16=2a， a=4， 则 ， 故选： C 11点 M、 N 分别是正方体 棱 点，用过 A、 M、 N 和D、 N、 两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图 1，则该几何体的正视图、侧视图（左视图）、俯视图依 次为图 2 中的（ ）A 、 、 B 、 、 C 、 、 D 、 、 【考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 直接利用三视图的定义，正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，据此可以判断出其正视图左视图是光线从几何体的左侧向右侧正投影得到的投影图，据此可以判断出其左视图类似判断俯视图即可 【解答】 解：由正视图的定义可知：点 A、 B、 后面的投影点分别是点 D、 C、 段 后面的投影面上的投影是以 D 为端点且与线段 行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段 后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段 画成虚线，正视图为 ，左视图为 ，俯视图为 ； 第 10 页（共 19 页） 故选 B 12圆 C 的方程为 x2+8x+15=0若直线 y=2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是（ ） A 0 B C D 1 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 圆 C 化成标准方程，得圆心为 C（ 4， 0）且半径 r=1，根据题意可得 C 到直线 y=2 的距离小于或等于 2，利用点到直线的距离公式建立关于 k 的不等式，解之得 0 k ，即可得到 k 的最大值 【解答】 解： 圆 C 的方程为 x2+8x+15=0， 整理得：（ x 4） 2+，可得圆心为 C（ 4， 0），半径 r=1 又 直线 y=2 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 C 有公共点， 点 C 到直线 y=2 的距离小于或等于 2，可得 ， 化简得： 34k 0，解之得 0 k ，可得 k 的最大值是 故选： B 二 大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13某学校小学部有 270 人，初中部有 360 人，高中部有 300 人，为了调查学生身体发育状况的某项指标，若从初中部抽取了 12 人，则从该校应一共抽取 31 人进行该项调查 【考点】 分层抽样方法 【分析】 根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论 【解答】 解：解：由分层抽样的定义得该校共抽取： =31， 故答案为： 31； 14甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为 于 1： 3 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥利用体积计算公式即可 得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥 第 11 页（共 19 页） = ， =4 ： 3 故答案为： 1： 3 15已知双曲线 ，点 其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若 |值为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线方程为 ，可得焦距 ，因为 以|+|=|再结合双曲线的定义，得到 | | 2，最后联解、配方，可得（ | 2=12，从而得到 |值为 【解答】 解： |+|=| 双曲线方程为 ， a2=， c2=a2+，可得 |+|=|=8 又 P 为双曲线 上一点， | | 2a= 2，（ | | 2=4 因此（ | 2=2（ |+|）（ | | 2=12 |值为 故答案 为： 16若函数 f（ x） =a|x|+6 的图象与 x 轴有三个不同的交点，函数 g（ x） =f（ x） b 有 4 个零点，则实数 b 的取值范围是 （ 6， 0） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 根据函数 f（ x）是偶函数，结合函数与 x 轴交点个数得到 f（ 0） =0，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可 【解答】 解： 函数 f（ x）是偶函数， f（ x） =a|x|+6 的图象与 x 轴有三个不同的交点， 则必有 f（ 0） =0， 即 6=0，即 ， 即 a= ， 当 a= 时， f（ x） = |x|，此时函数 f（ x）只有 1 个零点，不满足条件 当 a= 时， f（ x） =2 |x|，此时函数 f（ x）有 3 个零点，满足条件， 此时 f（ x） =2 |x|=（ |x| ） 2 6， f（ x） 6， 由 g（ x） =f（ x） b=0 得 b=f（ x）， 作出函数 f（ x）的图象如图： 要使函数 g（ x） =f（ x） b 有 4 个零点， 则 6 b 0， 故答案为：（ 6， 0） 第 12 页（共 19 页） 三 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知函数 f（ x） = （ ）求 f（ x）的最小值； （ ）在 ，角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c，若 f（ C） =1 且 c= ， a+b=4，求 S 【考点】 余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理 【分析】 （ I）利用倍角公式、和差公式、正弦函数的单调性值域即可得出 （ 用三角函数求值、余弦定理、三角形面积计算公式即可得出 【解答】 解：（ ） = = 当 时， f（ x）取最小值为 （ ） ， 在 ， C （ 0， ）， ， ， 又 c2=a2+2 （ a+b） 2 3 18某研究所计划利用 “神七 ”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品 A、 B 若干件，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表： 每件产品 A 每件产品B 研制成本、搭载费用之和（百万元） 2 划最大资金额 15（百万元） 第 13 页（共 19 页） 产品重量（千克） 1 大搭载 重量 12（千克） 预计收益（百元） 1000 1200 10200（百元） 并且 B 产品的数量不超过 A 产品数量的 2 倍如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？ 【考点】 简单线性规划 【分析】 设搭载 A 产品 x 件， B 产品 y 件，则预计收益 z=1000x+1200y由图表列出关于 x，y 的不等式组，画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：设搭载 A 产品 x 件， B 产品 y 件，则预计收益 z=1000x+1200y 则有 作出可行域如图： 作直线 l： 1000x+1200y=0，即直线 x+ 把直线 l 向右上方平移到 位置，直线 过可行域上的点 B， 此时 z=1000x+1200y 取得最大值 由 ，解得点 M 的坐标为（ 3， 6） 当 x=3， y=6 时， 1000+6 1200=10200（百元） 答：搭载 A 产 品 3 件， B 产品 6 件，才能使总预计收益达到最大，最大预计收益为 10200百元 故答案为： 10200 百元 19如图，四边形 为菱形， 0， ，且 C （ 1）求证： 平面 （ 2）求三棱锥 E 体积 第 14 页（共 19 页） 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）设 于点 O，根据菱形的性质可得 C 可得 O，故而 平面 （ 2）根据菱形的性质计算 出 S A 【解答】 （ 1）证明：设 D=O，连接 四边形 菱形， F， O 为 中点， 又 面 面 F=O， 平面 （ 2）解：四边形 为菱形， 0， ， D=2， 20， S = ， 由（ 1）得 平面 所以 平面 A =1 第 15 页（共 19 页） 20椭圆 +，椭圆 + =1（ a b 0）的一个焦点坐标为（ ， 0），斜率为 1 的直线 l 与椭圆 交于 A、 B 两点，线段 中点 H 的坐标为（ 2， 1） （ 1）求椭圆 方程； （ 2）设 P 为椭圆 一点，点 M、 N 在椭圆 ，且 = +2 ，则直线 直线斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 【考点】 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）求出椭圆 c，设出 A（ B（ 代入椭圆方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，得到 a， b 的方程，解方程解得 a， b，即可得到所求椭圆方程； （ 2）设 P（ M（ N（ 代入椭圆方程，再由向 量的坐标相等，得到方程，代入整理，即可得到 ，再由斜率公式，即可得到斜率之积为定值 【解答】 解：（ 1）椭圆 + =1（ a b 0）的一个焦点坐标为（ ， 0）， 则 c= ，即有 ， 设 A（ B（ 则 =1， =1， 两式相减的， + =0， 由于 x1+， y1+ 2， 则有 = =1， 由 解得， a= ， b= 则椭圆 方程为 =1； （ 2）设 P（ M（ N（ 则 0， ， ， 由 = +2 ， 可得：（ =（ +2（ ， 2+2（ 2 = +4（ +4（ =10+4（ =10 ， = ，即 ， 第 16 页（共 19 页） 直线 直线 斜率之积为定值，且定值为 21已知函数 f（ x） =x（ a R） （ ）当 a=1 时，求曲线 y=f（ x）在点 A（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）讨论函数 y=f（ x）的单调性 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求导函数，可得切线的斜率，求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程； （ ）确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可讨论函数 y=f（ x）的单调性 【解答】 解：（ ）当 a=1 时， f（ x） =x， f（ 1） =2，此时点 A（ 1， 2）， ， 切线的斜率 k=f（ 1） =2， 切线方程为： y 2=2（ x 1）， 即 y=2x （ ）由题意知： f（ x）的定义域为（ 0， +）， 令 g（ x） =2x2+x a（ x 0） （ 1）当 =1+8a 0，即 时， g（ x） 0， x （ 0， +）， f（ x） 0， f（ x）为（ 0， +）的单调递增函数； （ 2）当 =1+8a 0，即 时，此时 g（ x） =0 有两个根： ，若 时， f（ x） 0， x （ 0， +） 若 a 0 时，当 ； 当 综上可知：（ 1）当 时时， f（ x）为（ 0， +）的单调递增函数； （ 2）当 时， f（ x）的减区间是 ，增区间是 请从下面所给的 22、 23、 24 三题中 选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分 选修 4何证明选讲 22如图， O 于