山东省烟台市2016年高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年山东省烟台市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题；每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上 1已知集合 A=x|0 x 3， B= ，则集合 A（ （ ） A 0， 1） B（ 0， 1） C 1， 3） D（ 1， 3） 2复数 z 满足 =i（ i 为虚数单位），则 =（ ） A 1+i B 1 i C D 3记集合 A=（ x， y） |x2+16，集合 B=（ x， y） |x+y 4 0，（ x， y） A表示的平面区域分别为 1， 2若在区域 1 内任取一点 P（ x， y），则点 P 落在区域 2 中的概率为（ ） A B C D 4不等式 |x 3|+|x+1| 6 的解集为（ ） A（ ， 2） B（ 4， +） C（ ， 2） （ 4， +） D（ 2， 4） 5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为（ ） A 1： 3 B C D 6 外接圆的圆心为 O，半径为 1， 2 且 | |=| |，则向量 在向量方向上的投影为（ ） A B C D 7已知定义在 R 上的函数 f（ x）满足： y=f（ x 1）的图象关于（ 1， 0）点对称，且当 x 0 时恒有 f（ x+2） =f（ x），当 x 0， 2）时， f（ x） =1，则 f=（ ） A 1 e B e 1 C 1 e D e+1 8执行如图所示的程序框图，若输出的 S=18，则判断框内应填入的条件是（ ） 第 2 页（共 21 页） A k 2？ B k 3？ C k 4？ D k 5？ 9将函数 f（ x） =图象向右平移 （ 0 ）个单位后得到函数 g（ x）的图象若对满足 |f（ g（ |=2 的 |x2|，则 =（ ） A B C D 10已知 f（ x）为定义在（ 0， +）上的单调递增函数，对任意 x （ 0， +），都满足 ff（ x） 3，则函数 y=f（ x） f（ x） 2（ f（ x）为 f（ x）的导函数）的零点所在区间是（ ） A B C（ 1， 2） D（ 2， 3） 二、填空题：本大题共有 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分 11已知 100 名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示则这 100 名学生中，该月饮料消费支出超过 150 元的人数是 12已知 a= 二项式（ 1 ） 5 的展开式中 x 3 的系数为 第 3 页（共 21 页） 13若变量 x， y 满足约 束条件 ，且 z=2x+y 的最小值为 6，则 k= 14已知双曲线 =1（ a 0， b 0）与抛物线 x 的公共焦点为 F，其中一个交点为 P，若 |5，则双曲线的离心率为 15设函数 f（ x） = ，若函数 y=2f（ x） 2+2x） +1 有 8 个不同的零点， 则实数 b 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 75 分 明过程或推理步骤 . 16已知函数 （ 1）求函数 y=f（ x）在区间 上的最值； （ 2）设 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，满足 ， f（ C） =1，且 a、 b 的值 17设函数 ，数列 足 ， n N*，且 n 2 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）对 n N*，设 ，若 恒成立，求实数t 的取值范围 18某集成电路由 2 个不同的电子元件组成每个电子元件出现故障的概率分别为两个电子元件能否正常工作相互独立，只有两个电子元件 都正常工作该集成电路才能正常工作 （ 1）求该集成电路不能正常工作的概率； （ 2）如果该集成电路能正常工作，则出售该集成电路可获利 40 元；如果该集成电路不能正常工作，则每件亏损 80 元（即获利 80 元）已知一包装箱中有 4 块集成电路，记该箱集成电路获利 x 元，求 x 的分布列，并求出均值 E（ x） 19如图所示，该几何体是由一个直三棱柱 一个正四棱锥 P 合而成， D=2 （ 1）证明：平面 平面 （ 2）求正四棱锥 P 高 h，使得二面角 C P 的 余弦值是 第 4 页（共 21 页） 20已知函数 f（ x） =中 e=， （ 1）若 g（ x）在 1， +）上是增函数，求实数 a 的取值范围； （ 2）当 时，求函数 g（ x）在 m， m+1（ m 0）上的最小值 21已知椭圆 C： =1，点 M（ 椭圆 C 上一点，圆 M：（ x 2+（ y2= （ 1）若圆 M 与 x 轴相切于椭圆 C 的右焦点，求圆 M 的方程； （ 2）从原点 O 向圆 M：（ x 2+（ y 2= 作两条切线分别与椭圆 C 交于 P， Q 两点（ P， Q 不在坐标轴上），设 斜率分别为 试问 否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由； 求 |最大值 第 5 页（共 21 页） 2016 年山东省烟台市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题；每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上 1已知集合 A=x|0 x 3， B= ，则集合 A（ （ ） A 0， 1） B（ 0， 1） C 1， 3） D（ 1， 3） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 求出 B 中 x 的范围确定出 B，根据全集 R 求出 B 的补集，找出 A 与 B 补集的交 集即可 【解答】 解：由 y= ，得到 1 0， 解得： x 1 或 x 1，即 B=（ ， 1 1， +）， 全集为 R， A=（ 0， 3）， 1， 1）， 则 A（ =（ 0， 1） 故选： B 2复数 z 满足 =i（ i 为虚数单位），则 =（ ） A 1+i B 1 i C D 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 设出复数 z，利用复数相等的充要条件求解即可 【解答】 解：复数 z 满足 =i，设 z=a+ 可得： a+ a+i） i， 可得： ，解得 a=b= ， = 故选： D 3记集合 A=（ x， y） |x2+16，集合 B=（ x， y） |x+y 4 0，（ x， y） A表示的平面区域分别为 1， 2若在区域 1 内任取一点 P（ x， y），则点 P 落在区域 2 中的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 由题意，根据几何概型的公式，只要求出平面区域 1， 2 的面积，利用面积比求值 第 6 页（共 21 页） 【解答】 解：由题意，两个区域对应的图形如图， 其中 ， ， 由几何概型的公式可得点 P 落在区域 2 中的概率为 ； 故选 B 4不等式 |x 3|+|x+1| 6 的解集为（ ） A（ ， 2） B（ 4， +） C（ ， 2） （ 4， +） D（ 2， 4） 【考点】 绝对值不等式的解法 【分析】 分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可得出结论 【解答】 解： x 1 时， x+3 x 1 6， x 2， x 2； 1 x 3 时， x+3+x+1 6，不成立； x 3 时， x 3+x+1 6， x 4， 所求的解集为（ ， 2） （ 4， +） 故选： C 5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为（ ） A 1： 3 B C D 第 7 页（共 21 页） 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是一个三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，根据对应的正方体求出外接球的半径，由柱体、球体的体积公式求出该几何体的体积与其外接球的体积之比 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个三棱柱 ABD 图： 底面是一个等腰直角 三角形，两条直角边分别是 2、高为 2， 几何体的体积 V=4， 由图得，三棱柱 ABD 正方体 ABCD 外接球相同，且正方体的棱长为 2， 外接球的半径 R= = ， 则外接球的体积 V= = ， 该几何 体的体积与其外接球的体积之比为 = ， 故选： D 6 外接圆的圆心为 O，半径为 1， 2 且 | |=| |，则向量 在 向量方向上的投影为（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的含义与物理意义 【分析】 利用向量加法的几何意义 得出 以 A 为直角的直角三角形由题意画出图形，借助图形求出向量 在向量 方向上的投影 【解答】 解： 2 ， 2 + + = ， + + + = ， ， O， B， C 共线为直径， | |=| |， 外接圆的圆心为 O，半径为 1， | |=| |=1， | |=2， 第 8 页（共 21 页） 如图， | |=1， | |=2， A=90， B=60， 向量 在向量 方向上的投影为 | | 故选 A 7已知定义在 R 上的函数 f（ x）满足： y=f（ x 1）的图象关于（ 1， 0）点对称，且当 x 0 时恒有 f（ x+2） =f（ x），当 x 0， 2）时， f（ x） =1，则 f=（ ） A 1 e B e 1 C 1 e D e+1 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 根据图象的平移可知 y=f（ x）的图象关于（ 0， 0）点对称，可得函数为奇函数，由题意可知当 x 0 时，函数为周期为 2 的周期函数，可得 f=f（ 0） f（ 1），求解即可 【解答】 解： y=f（ x 1）的图象关于（ 1， 0）点对称， y=f（ x）的图象关于（ 0， 0）点对称， 函数为奇函数， 当 x 0 时恒有 f（ x+2） =f（ x），当 x 0， 2）时， f（ x） =1， f =f =f（ 0） f（ 1） =0（ e 1） =1 e， 故选 A 8执行如图所示的程序框图，若输出的 S=18，则判断框内应填入的条件是（ ） 第 9 页（共 21 页） A k 2？ B k 3？ C k 4？ D k 5？ 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入 S 的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案 【解答】 解：程序在运行过程中各变量值变化如下表： k S 是否继续循环 循环前 1 0 第一圈 2 2 是 第二圈 3 7 是 第三圈 4 18 否 故退出循环的条件应为 k 3？ 故选： B 9将函数 f（ x） =图象向右平移 （ 0 ）个单位后得到函数 g（ x）的图象若对满足 |f（ g（ |=2 的 |x2|，则 =（ ） A B C D 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用三角函数的最值，求出自变量 值，然后判断选项即可 【解答】 解：因为将函数 f（ x） =周期为 ，函数的图象向右平移 （ 0 ）个单位后得到函数 g（ x）的图象若对满足 |f（ g（ |=2 的可知，两个函数的最大值与最小值的差为 2，有 |x2|， 第 10 页（共 21 页） 不妨 ， ，即 g（ x）在 ，取得最小值， 2 2） = 1，此时 = ，不合题意， ， ，即 g（ x）在 ，取得最大值， 2 2） =1，此时 = ，满足题意 故选： D 10已知 f（ x）为定义在（ 0， +）上的单调递增函数，对任意 x （ 0， +），都满足 ff（ x） 3，则函数 y=f（ x） f（ x） 2（ f（ x）为 f（ x）的导函数）的零点所在区间是（ ） A B C（ 1， 2） D（ 2， 3） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 设 t=f（ x） f（ x） =t，又由 f（ t） =3，即 t=3，解可得 t 的值，可得 f（ x）的解析式，由二分法分析可得 h（ x）的零点所在的区间为（ 1， 2） 【解答】 解：根据题意，对任意的 x （ 0， +），都有 ff（ x） 3， 又由 f（ x）是定义在（ 0， +）上的单调递增函数， 则 f（ x） 定值， 设 t=f（ x） f（ x） =t， 又由 f（ t） =3，即 t=3， 解可得， t=2； 则 f（ x） =， f（ x） = ， 将 f（ x） =， f（ x） = 代入 f（ x） f（ x） =2， 可得 =2， 即 =0， 令 h（ x） =， 分析易得 h（ 1） = 0， h（ 2） =1 0， 则 h（ x）的零点在（ 1， 2）之间， 故选： C 二、填空题：本大题共有 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分 11已知 100 名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示则这 100 名学生中，该月饮料消费支出超过 150 元的人数是 30 第 11 页（共 21 页） 【考点】 频率分布直方 图 【分析】 根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，即可求出正确的结果 【解答】 解：根据频率分布直方图，得； 消费支出超过 150 元的频率（ 50= 消费支出超过 150 元的人数是 100 0 故答案为： 30 12已知 a= 二项式（ 1 ） 5 的展开式中 x 3 的系数为 80 【考点】 二项式定理；定积分 【分析】 利用积分 求出 a 的值，然后求解二项展开式所求项的系数 【解答】 解： a= （ =2 二项式（ 1 ） 5 的展开式中 x 3 的系数为： ， 故答案为： 80 13若变量 x， y 满足约束条件 ，且 z=2x+y 的最小值为 6，则 k= 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定 z 的最优解，然后确定 k 的值即可 【解答】 解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分） 由 z=2x+y，得 y= 2x+z， 平移直线 y= 2x+z，由图象可知当直线 y= 2x+z 经过点 A 时，直线 y= 2x+z 的截距最小，此时 z 最小 目标函数为 2x+y= 6， 由 ，解得 ， 即 A（ 2， 2）， 点 A 也在直线 y=k 上， k= 2， 故答案为： 2 第 12 页（共 21 页） 14已知双曲线 =1（ a 0， b 0）与抛物线 x 的公共焦点为 F，其中一个交点为 P，若 |5，则双曲线的离心率为 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由已知条件推导出设双曲线方程为 ，且过 P（ 3， ），由此能求出双曲线的离心率 【解答】 解： 双曲线 =1（ a 0， b 0）与抛物线 x 的公共焦点为 F， 双曲线 =1（ a 0， b 0）的一个焦点为 F（ 2， 0）， 双曲线 =1 与抛物线 x 的一个交点为 P， |5， 2=3， = ， 设双曲线方程为 ， 把 P（ 3， ）代入，得 解得 ，或 6（舍）， e= =2 故答案为： 2 第 13 页（共 21 页） 15设函数 f（ x） = ，若函数 y=2f（ x） 2+2x） +1 有 8 个不同的零点，则实数 b 的取值范围是 （ ， ） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 由题意可得即要求对应于 f（ x） =某个常数 k，有 2 个不同的 k，每一个常数可以找到 4 个 x 与之对应，就出现了 8 个不同实数解故先根据题意作出 f（ x）的简图，由图可知，只有满足条件的 k 在开区间（ 0， 1）时符合题意再根据一元二次方程根的分布理论可得 b 的不等式，可以得出答案 【解答】 解：根据题意作出 f（ x）的简图： 由图象可得当 f（ x） （ 0， 1）时， 函数有四个不同零点 若方程 2x） +2x） +1=0 有 8 个不同实数解，令 k=f（ x）， 则关于 k 的方程 2=0 有两个不同的实数根 为大于 0 且小于 1的实数 即有 k1+ b， 故： ，即 ， 可得 b 故答案为：（ ， ） 三、解答 题：本大题共 6 个小题，共 75 分 明过程或推理步骤 . 16已知函数 （ 1）求函数 y=f（ x）在区间 上的最值； 第 14 页（共 21 页） （ 2）设 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，满足 ， f（ C） =1，且 a、 b 的值 【考点】 正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理 【分析】 （ 1）展开两角和与差 的正弦、余弦，然后利用辅助角公式化积，结合 x 的范围求得函数的最值； （ 2）由 f（ C） =1 求得 C 值，再由正弦定理把已知等式化角为边，结合余弦定理求得 a、 【解答】 解：（ 1） = = + = ， 2x ， f（ x）在 2x = ，即 x= 时，取最小值 ； 在 2x = 时，即 x= 时，取最大值 1； （ 2） f（ C） =2C ） =1， 0 C ， 0 2C 2， ，则 ， C= 由正弦定理得： b=2a， 由 余弦定理得： ， 即 c2=a2+， 解 得： a=1， b=2 17设函数 ，数列 足 ， n N*，且 n 2 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）对 n N*，设 ，若 恒成立，求实数t 的取值范围 【考点】 数列的求和；数列递推式 第 15 页（共 21 页） 【分析】 （ 1）通过代入计算可知 1= （ n 2），进而可知数列 首项为 1、公差为 的等差数列，计算即得结论； （ 2）通过（ 1）裂项可知 = （ ），进而并项相加可知 ，问题转化为求 的最小值，通过令 g（ x） = （ x 0），求导可知 g（ x）为增函数，进而计算可得结论 【解答】 解：（ 1）依题意， 1= （ n 2）， 又 ， 数列 首项为 1、公差为 的等差数列， 故其通项公式 + （ n 1） = ； （ 2）由（ 1）可知 = ， = （ ）， = （ + + ） = ， 恒成立等价于 ，即 t 恒成立 令 g（ x） = （ x 0），则 g（ x） = 0， g（ x） = （ x 0）为增函数， 当 n=1 时 取最小值 ， 故实数 t 的取值范围是（ ， 18某集成电路由 2 个不同的电子元件组成每个电子元件出现故障的概率分别为两个电子元件能否正常工作相互独立，只有两个电子元件都正常工作该集成电路才能正常工作 （ 1）求该集成电路不能正常工作的概率； 第 16 页（共 21 页） （ 2）如果该集成电路能正常工作 ，则出售该集成电路可获利 40 元；如果该集成电路不能正常工作，则每件亏损 80 元（即获利 80 元）已知一包装箱中有 4 块集成电路，记该箱集成电路获利 x 元，求 x 的分布列，并求出均值 E（ x） 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）记 “该集成电路不正常工作 ”为事件 A，利用对立事件概率计算公式能求出该集成电路不能正常工作的概率 （ 2）由已知，可知 X 的取值为 320， 200， 80， 40， 160，分别求出相应的概率，由此能求 出 X 的分布列和 【解答】 解：（ 1）记 “该集成电路不正常工作 ”为事件 A， 则 P（ A） =1（ 1 ） （ 1 ） = ， 该集成电路不能正常工作的概率为 （ 2）由已知，可知 X 的取值为 320， 200， 80， 40， 160， P（ X= 320） =（ ） 2= ， P（ X= 200） = ， P（ X= 80） = = ， P（ X=40） = = ， P（ X=160） =（ ） 4= ， X 的分布列为： X 320 200 80 40 160 P 160 =40 19如图所示，该几何体是由一个直三棱柱 一个正四棱锥 P 合而成， D=2 （ 1）证明：平面 平面 （ 2）求正四棱锥 P 高 h，使得二面角 C P 的余弦值是 第 17 页（共 21 页） 【考点】 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ ）证明： 平面 可证明平 面 平面 （ ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可求正四棱锥 P高 【解答】 （ ）证明：直三棱柱 ， 平面 所以： 所以： 平面 面 所以：平面 平面 （ ） 平面 建立以 A 为坐标原点， 别为 x， y， z 轴的空间直角坐标系如图： 设正四棱锥 P 高为 h， D=2， 则 A（ 0， 0， 0）， F（ 2， 2， 0）， C（ 2， 0， 2）， =（ 2， 2， 0）， =（ 2， 0， 2）， =（ 1， h， 1）， =（ x， y， z）是平面 法向量，则 ， 令 x=1，则 y=z= 1，即 =（ 1， 1， 1）， 设 =（ x， y， z）是平面 法向量， 则 ，令 x=1，则 y= 1， z= 1 h，即 =（ 1， 1， 1 h）， 二面角 C P 的余弦值是 ， = = = 得 h=1 或 h= （舍） 则正四棱锥 P 高 h=1 第 18 页（共 21 页） 20已知函数 f（ x） =中 e=， （ 1）若 g（ x）在 1， +）上是增函数，求实数 a 的取值范围； （ 2）当 时，求函数 g（ x）在 m， m+1（ m 0）上的最小值 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）根据函数的单调性得到 a 在 x 1， +）上恒成立，而 1，从而求出 （ 2）将 a 的值代入 g（ x），通过讨论 m 的范围，判断出 g（ x）的单调性，从而求出对应的g（ x）的最小值即可 【解答】 解：（ 1）由题意得 g（ x） = = 在 1， +）上是增函数， 故 = 0 在