八年级数学下册18章勾股定理逆定理课件华东师大版

18 2勾股定理的逆定理 温故知新 勾股定理 如果直角三角形的两直角边为a b 斜边长为c 那么a2 b2 c2 反过来 如果一个三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 那么这个三角形的形状怎样 思考 你知道古埃及怎样画直角的吗 如图所示 他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段 一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结 两个助手分别握住第4个结和第8个结 拉紧绳子 就会得到一个直角三角形 其直角在第4个结处 新知学习 工匠 助手 助手 方法 用剪刀剪出三条长度分别为以下长度的小木棒并摆放成三角形 1 5cm 12cm 13cm 2 9cm 15cm 12cm 3 2 5cm 6cm 6 5cm 1 上面每组中的三条边有什么关系 2 你得到的是什么三角形 动手 勾股定理的逆命题 勾股定理 互逆命题 互逆命题 两个命题中 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论 而第一个命题的结论又是第二个命题的题设 那么这两个命题叫做互逆命题 如果把其中一个叫做原命题 那么另一个叫做它的逆命题 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题 那么它也是一个定理 这两个定理叫做互逆定理 其中一个叫做另一个的逆定理 C 900 A B 2 a2 b2 a2 b2 c2 A B 2 c2 A B c 边长取正值 ABC A B C SSS C C 全等三角形对应角相等 C 900 已知 在 ABC中 AB cBC aCA b且a2 b2 c2 求证 ABC是直角三角形 证明 画一个 A B C 使 C 900 B C a C A b 在 ABC和 A B C 中 ABC是直角三角形 直角三角形的定义 勾股定理的逆命题 勾股定理的逆命题 勾股定理 互逆命题 逆定理 定理 驶向胜利的彼岸 定理与逆定理 我们已经学习了一些互逆的定理 如 勾股定理及其逆定理 两直线平行 内错角相等 内错角相等 两直线平行 1 两条直线平行 内错角相等 2 如果两个实数相等 那么它们的平方相等 3 如果两个实数相等 那么它们的绝对值相等 4 全等三角形的对应角相等 说出下列命题的逆命题 这些命题的逆命题成立吗 逆命题 内错角相等 两条直线平行 成立 逆命题 如果两个实数的平方相等 那么这两个实数相等 不成立 逆命题 如果两个实数的绝对值相等 那么这两个实数相等 不成立 逆命题 对应角相等的两个三角形是全等三角形 不成立 感悟 原命题成立时 逆命题有时成立 有时不成立 一个命题是真命题 它逆命题却不一定是真命题 例1判断由a b c组成的三角形是不是直角三角形 1 a 15 b 8 c 17 2 a 13 b 15 c 14 分析 由勾股定理的逆定理 判断三角形是不是直角三角形 只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方 解 152 82 225 64 289172 289 152 82 172 这个三角形是直角三角形 下面以a b c为边长的三角形是不是直角三角形 如果是那么哪一个角是直角 1 a 25b 20c 15 2 a 13b 14c 15 4 a b c 3 4 5 是 是 不是 是 A 900 B 900 C 900 3 a 1b 2c 像25 20 15 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 称为勾股数 满足的三个 称为勾股数 正整数 你能写出常用的勾股数吗 3 4 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 8 15 17 9 12 15 例1 远航 号 海天 号轮船同时离开港口 各自沿一固定方向航行 远航 号每小时航行16海里 海天 号每小时航行12海里 它们离开港口一个半小时后相距30海里 如果知道 远航 号沿东北方向航行 能知道 海天 号沿哪个方向航行吗 由远航号沿东北方向航行可知 AON 45 所以 BON 45 即海天号沿西北方向航行 随堂练习 1 将下列长度的三木棒首尾顺次连接 能组成直角三角形的是 A 1 2 3 B 4 6 8 C 5 5 4 D 15 12 9 2 如果线段a b c能组成直角三角形 则它们的比可能是 A 3 4 7 B 5 12 13 C 1 2 4 D 1 3 5 D B 三角形的三边分别是a b c 且满足 a b 2 c2 2ab 则此三角形是 A 直角三角形 B 是锐角三角形 是钝角三角形 D 是等腰直角三角形 A 4 一个零件的形状如下图所示 按规定这个零件中 A和 DBC都应为直角 工人师傅量出了这个零件各边尺寸 那么这个零件符合要求吗 此时四边形ABCD的面积是多少 5 已知a b c为 ABC的三边 且满足a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 试判断 ABC的形状 6 ABC三边a b c为边向外作正方形 正三角形 以三边为直径作半圆 若S1 S2 S3成立 则 是直角三角形吗 A C a b c S1 S2 S3 B A B C a b c S1 S2 S3 活动2 范例讲解 例7 判断由线段a b c组成的三角形是不是直角三角形 1 a 15 b 8 c 17 2 a m2 n2 b m2 n2 c 2mn m n m n是正整数 解 1 a2 225 b2 64 c2 289又 225 64 289 a2 b2 c2即 三角形是直角三角形 2 a2 m2 n2 2 m4 2m2n2 n4 b2 m2 n2 2 m4 2m2n2 n4 c2 2mn 2 4m2n2又 m4 2m2n2 n4 4m2n2 m4 2m2n2 n4 a2 c2 b2即 三角形是直角三角形 知识运用 8如图 在正方形ABCD中 E是BC的中点 F是CD上一点 且CF CD 猜想 AEF的形状 并证明你的结论 解 AEF是直角三角形 理由 设正方形ABCD的边长是a 则 9 台风是一种自然灾害 它以台风中心为圆心 在周围数十千米的范围内形成气旋风暴 有极强的破坏力 如图所示 据气象部门报道 距沿海城市A的正南方向220千米B处有一个台风中心 其中心最大风力12级 每远离台风中心20千米 风力会减弱一级 该台风正以15km h的速度沿北偏东30 方向往C处移动 且台风中心风力不变 若城市所受风力达到或超过四级 则称受到台风影响 1 该城市是否会受到此次台风的影响 请说明理由 2 若受到影响 那么台风影响该城市的持续时间为多长 3 该城市受到台风影响的最大风力为几级 思考题 10 已知a b c为 ABC的三边 且满足a2c2 b2c2 a4 b4 试判断 ABC的形状 解 a2c2 b2c2 a4 b4 1 c2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 2 c2 a2 b2 3 ABC是直角三角形问 1 上述解题过程 从哪一步开始出现错误 请写出该步的代号 2 错误原因是 3 本题正确的结论是 3 a2 b2可能是0 直角三角形或等腰三角形 11 如图 在 ABC中 AB 13 BC 10 BC边上的中线AD 12 求证 AB AC 证明 AD是BC边上的中线 BD CD 1 2BC 5 在 ABD中 AB 13 BD 5 AD 12 BD2 AD2 52 122 169 AB2 ABD是直角三角形 ACD也是直角三角形 根据勾股定理得到 AB AC 13 勾股小常识 1 a b c 满足 a b c 1则a b c 为基本勾数如 3 4 5 5 12 13 7 24 25 2 如果a b c是一组勾股数 则ka kb kc k为正整数 也是一组勾股数 如 6 8 10 9 12 15 3