湖南省娄底市2015-2016年高二下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2015年湖南省娄底市高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题（每题 5 分） 1设集合 A=x|x 1| 3， B=x|2x+1 4，则 A B=（ ） A 0， 2 B（ 1， 3） C 1， 3） D 2， +） 2设等差数列 前 n 项和为 a2+a7+4，则 ） A 52 B 78 C 104 D 208 3设 ， ， ，则 a、 b、 c 的大小关系为（ ） A a b c B c b a C b c a D b a c 4如果实数 x、 y 满足条件 ，那么 2x y 的最大值为（ ） A 2 B 1 C 2 D 3 5如图所示的程序框图中，输出 S 的值为（ ） A 10 B 12 C 15 D 8 6已知函数 f（ x） =2x，若从区间 2， 2上任取一个实数 x，则使不 等式 f（ x） 2 成立的概率为（ ） A B C D 7直线 x+2y 5+ =0 被圆 x2+2x 4y=0 截得的弦长为（ ） A 1 B 2 C 4 D 4 8 已知 m， n 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A m n， m n B ， m， nm n C m， n， m n D m， n， m ， n 第 2 页（共 18 页） 9若实数 x， y 满足 |x 1| 0，则 y 关于 x 的函数图象的大致形状是（ ） A B C D 10函数 f（ x） =2x+）（ | ）的图象向右平移 个单位后的图象关于 y 轴对称，则函数 f（ x）在 0， 上的最大值为（ ） A B C D 11在矩形 ， ， ， E 为 中点，若 F 为该矩形内（含边界）任意一点，则 的最大值为（ ） A B 4 C D 5 12已知函数 f（ x） = ，若对任意的 x R，不等式 f（ x） m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ ， B（ ， 1， +） C 1， +） D ， 1 二、填空题（每题 5 分） 13不 等式 3 的解集是 14若函数 f（ x） = ，则 f（ 3） = 15函数 y=x（ a 0， a 1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+1=0（ m 0， n 0）上，则 + 的最小值为 16当 x （ ， 1，不等式 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为 三、解答题 17已知 a， b， c 分别为 个内角 A， B， C 的对边， c= （ 1）求 A； （ 2）若 a=2， 面积为 ，求 b， c 18某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下： 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第 3 页（共 18 页） 分组 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 （ ）求图中 a 的值； （ ）根据频率分布直方图，估计这 100 名学生期中考试数学成绩的平均分； （ ）现用分层抽样的方法从第 3、 4、 5 组中随机抽取 6 名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取 2 名，求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率？ 19如图， 正方形， O 是正方形的中心， 底面 E 是 中点 求证： （ ） 平面 ）平面 平面 20等比数列 各项均为正数，且 2， （ ）求数列 通项公式； （ ）设 bn=+数列 的前 n 项和 21某厂每月生产一种投影仪的固定成本为 元，但每生产 100 台，需要加可变成本（即另增加投入） 元，市场对此产品的年需求量为 500 台，销售的收入函数为 R（ x） =5x （万元）（ 0 x 5），其中 x 是产品售出的数量（单位：百台） （ 1）求月销售利润 y（万元）关于月产量 x（百台）的函数解析式； （ 2）当月产量为多少时，销售利润可达到最大？最大利润为多少？ 22如图，在平面直角坐标系 ，点 A（ 0， 3），直线 l： y=2x 4设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上 （ 1）若圆心 C 也在直线 y=x 1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程； （ 2）若圆 C 上存在点 M，使 圆心 C 的横坐标 a 的取值范围 第 4 页（共 18 页） 第 5 页（共 18 页） 2015年湖南省娄底市高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（每题 5 分） 1设集合 A=x|x 1| 3， B=x|2x+1 4，则 A B=（ ） A 0， 2 B（ 1， 3） C 1， 3） D 2， +） 【考点】 并集及其运算 【分析】 根据题意先求出集合 A 和集合 B，再求 A B 【解答】 解：由 |x 1| 3 得到 2 x 4，即 A= 2， 4， 由 2x+1 4=22 得到 x 1，即 B=1， +）， 则 A B= 2， +）， 故选： D 2设等差数列 前 n 项和为 a2+a7+4，则 ） A 52 B 78 C 104 D 208 【考点】 等差数列的性质 【分析】 由题意和等差数列的性质可得 值，再由等差数列的性质和求和公式可得3值计算可得 【解答】 解：由题意和等差数列的性质可得 3a7=a2+a7+4， 解得 ，故 = =1304， 故选： C 3设 ， ， ，则 a、 b、 c 的大小关系为（ ） A a b c B c b a C b c a D b a c 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 法一：构造函数 g（ x） = ，通过讨论 g（ x）的单调性求出 a， b， c 的大小， 法二： ， ， ，分别看作函数 y= A， B， C 点与原点的斜率，问题得以解决 【解答】 解：法一：设 g（ x） = ，则 g（ x） = ， 令 g（ x） 0，解得： x e，令 g（ x） 0，解得： x e， g（ x）在（ 0， e）递增，在（ e， +）递减， 而 5 4 3 e， g（ 5） g（ 4） g（ 3）， 第 6 页（共 18 页） 即 ， a b c，故选： A； 法二： ， ， ， 分别看作函数 y= A， B， C 点与原点的斜率， 由图象可知， a b c， 故选： A 4如果实数 x、 y 满足条件 ，那么 2x y 的最大值为（ ） A 2 B 1 C 2 D 3 【考点】 简单线性规划的应用 【分析】 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z=2x y 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可 【解答】 解：先根据约束条件画出可行域， 当直线 2x y=t 过点 A（ 0， 1）时， t 最大是 1， 第 7 页（共 18 页） 故选 B 5如图所示的程序框图中，输出 S 的值为（ ） A 10 B 12 C 15 D 8 【考点】 循环结构 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算 S=1+2+3+4+5 的值，计算可得答案 【解答】 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算 S=1+2+3+4+5 S=1+2+3+4+5=15 故选 C 6已知函数 f（ x） =2x，若从区间 2， 2上任取一个实数 x，则使不等式 f（ x） 2 成立的概率为（ ） 第 8 页（共 18 页） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 由题意，本题符合几何概型的特点，只要求出区间长度，由公式解答 【解答】 解：已知区间 2， 2长度为 4， 满足 f（ x） 2， f（ x） =2x 2，解得 1 x 2，对应区间长度为 1， 由几何概型公式可得，使不等式 f（ x） 2 成立的概率 P= 故选： A 7直线 x+2y 5+ =0 被圆 x2+2x 4y=0 截得的弦长为（ ） A 1 B 2 C 4 D 4 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到 直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求 【解答】 解：由 x2+2x 4y=0，得（ x 1） 2+（ y 2） 2=5， 所以圆的圆心坐标是 C（ 1， 2），半径 r= 圆心 C 到直线 x+2y 5+ =0 的距离为 d= 所以直线直线 x+2y 5+ =0 被圆 x2+2x 4y=0 截得的弦长为 故选 C 8已知 m， n 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A m n， m n B ， m， nm n C m， n， m n D m， n， m ， n 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 在 A 中，由线面垂直的判定定理得 n ；在 B 中， m 与 n 相交、平行或异面；在C 中， 与 相交或平行；在 D 中， 与 相交或平行 【解答】 解 ：由 m， n 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面知： 在 A 中：由 m n， m ，由线面垂直的判定定理得 n ，故 A 正确； 在 B 中：由 ， m， nm 与 n 相交、平行或异面，故 B 错误； 在 C 中： m， n， m n 与 相交或平行，故 C 错误； 在 D 中： m， n， m ， n 与 相交或平行，故 D 错误 故选： A 9若实数 x， y 满足 |x 1| 0，则 y 关于 x 的函数图象的大致形状是（ ） A B C D 第 9 页（共 18 页） 【考点】 函数的图象 【分析】 先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案 【解答】 解： |x 1| 0， f（ x） =（ ） |x 1| 其定义域为 R，当 x 1 时， f（ x） =（ ） x 1，因为 0 1，故为减函数， 又因为 f（ x）的图象关于 x=1 轴对称， 对照选项，只有 B 正确 故选： B 10函数 f（ x） =2x+）（ | ）的图象向右平移 个单位后的图象关于 y 轴对称，则函数 f（ x） 在 0， 上的最大值为（ ） A B C D 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 由函数图象变换以及诱导公式和偶函数可得 值，可得函数解析式，由三角函数区间的最值可得 【解答】 解：将函 数 f（ x） =2x+）的图象向右平移 个单位后得到 y=（ x ）+） =2x+ ）的图象， 图象关于 y 轴对称， 由诱导公式和偶函数可得 =，解得 =， kZ， 由 | ，可得当 k= 1 时， = ， 故 f（ x） =2x ）， 由 x 0， ，可得： 2x ， ， 当 2x = ，即 x= 时，函数 f（ x）在 0， 上取最大值 2 ） = ， 故选： B 11 在矩形 ， ， ， E 为 中点，若 F 为该矩形内（含边界）任意一点，则 的最大值为（ ） A B 4 C D 5 【考点】 平面向量数量积的运算 第 10 页（共 18 页） 【分析】 利用数量积的定义、投影的定义、数量积的坐标运算即可得出 【解答】 解：如图所示， 设 与 的夹角为 则 = = 由投影的定义可知：只有点 F 取点 C 时 取得最大值 = = 故选： C 12已知函数 f（ x） = ，若对任意的 x R，不等式 f（ x） m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ ， B（ ， 1， +） C 1， +） D ， 1 【考点】 分段函数的应用 【分析】 求出分段函数的最大值，把不等式 f（ x） m 恒成立转化为 m 大于等于 f（ x）的最大值恒成立，然后求解不 等式得到实数 m 的取值范围 【解答】 解：对于函数 f（ x） = ， 当 x 1 时， f（ x） =（ x ） 2+ ； 当 x 1 时， f（ x） = 0 则函数 f（ x）的最大值为 则要使不等式 f（ x） m 恒成立， 第 11 页（共 18 页） 则 m 恒成立，即 m 或 m 1 故选 B 二、填空题（每题 5 分） 13不等式 3 的解集是 【考点】 一元二次不等式的应用 【分析】 把原不等 式移向变形，转化为一元二次不等式求得解集 【解答】 解：由 3，得 3 0， 即 ， 则 ， 解得： x 0 或 不等式 3 的解集是 故答案为： 14若函数 f（ x） = ，则 f（ 3） = 2 【考点】 函数的值 【分析】 由函数的解析式可得 f（ 3） =f（ 1） =f（ 1），运算求得结果 【解答】 解：函数 f（ x） = ，故 f（ 3） =f（ 3+2） =f（ 1） =f（1+2） =f（ 1） =1+1=2， 故答案为 2 15函数 y=x（ a 0， a 1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+1=0（ m 0， n 0）上，则 + 的最小值为 4 【考点】 基本不等式；指数函数的图象变换 【分析】 函数 y=x（ a 0， a 1）的图象恒过定点 A（ 1， 1），又点 A 在直线 mx+1=0（ m 0， n 0）上，可得 m+n=1利用 “乘 1 法 ”与基本不等式的性质即可得出 【解答】 解：函数 y=x（ a 0， a 1）的图象恒过定点 A（ 1， 1）， 点 A 在直线 mx+1=0（ m 0， n 0）上， m+n=1 则 + =（ m+n） =2+ + 2+2 =4，当且仅当 m=n= 时取等号 第 12 页（共 18 页） 故答案为： 4 16当 x （ ， 1，不等式 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为 a 【考点】 函数恒成立问题；指数函数综合题 【分析】 容易知道分母恒大于 0，得到分子要恒大于 0 【解答】 解： ， 1+2x+40，设 t=2x，因为 x （ ， 1，所以 0 t 2 y=1+t+使 y 0 恒成立，即 y=1+t+0，所以 设 ，则 ，因为 0 t 2，所以 ， 所以 ，所以 a 故答案为：（ ， +） 三、解答题 17已知 a， b， c 分别为 个内角 A， B， C 的对边， c= （ 1）求 A； （ 2）若 a=2， 面积为 ，求 b， c 【考点】 解三角形 【分析】 （ 1）由正弦定理有： ，可以求出 A； （ 2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出 b、 c 【解答】 解：（ 1） c= 正弦定理有： ，即 1） =0， 又， 0， 所以 1=0，即 2A ） =1， 所以 A= ； （ 2） S ，所以 ， a=2，由余弦定理得： a2=b2+2 4=b2+ 即有 ， 解得 b=c=2 18某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下： 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 第 13 页（共 18 页） （ ）求图中 a 的值； （ ）根据频率分布直方图，估计这 100 名学生期中考试数学成绩的平均分； （ ）现用分层抽样的方法从第 3、 4、 5 组中随机抽取 6 名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取 2 名，求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率？ 【考点】 分层抽样方法；频率分布直方图 【分析】 （ 1）根据所以概率的和为 1，即所求矩形的面积和为 1，建立等式关系，可求出所求； （ 2）均值 为各组组中值与该组频率之积的和； （ 3）先分别求出 3， 4， 5 组的人数，再利用古典概型知识求解 【解答】 解：（ ）由题意得 10a+10+10+10+10=1，所以 a= （ ）由直方图分数在 50， 60的频率为 60， 70的频率为 70， 80 80， 90的频率为 90， 100的频率为 以这 100 名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为： 55 5 5 5 5 （ ）由直方图，得： 第 3 组人数为 100=30， 第 4 组人数为 100=20 人， 第 5 组人数为 100=10 人 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生， 每组分别为： 第 3 组： 人， 第 4 组： 人， 第 5 组： =1 人 所以第 3、 4、 5 组分别抽取 3 人、 2 人、 1 人 设第 3 组的 3 位同学为 4 组的 2 位同学为 5 组的 1 位同学为从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下： （ （ （ （ （ （ （ （ 2），（ （ （ （ （ （ （ 其中恰有 1 人的分数不低于 90（分）的情形有：（ （ （ （ 1），（ 共 5 种 第 14 页（共 18 页） 所以其中 第 4 组的 2 位同学至少有一位同学入选的概率为 19如图， 正方形， O 是正方形的中心， 底面 E 是 中点 求证： （ ） 平面 ）平面 平面 【考点】 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （ I）根据线面平行的判定定理证出即可；（ 据面面垂直的判定定理证明即可 【解答】 证明：（ I） O 是 中点， E 是 中点， 面 平面 平面 （ 底面 又 O=O 平面 面 平面 平面 0等比数列 各项均为正数，且 2， （ ）求数列 通项公式； （ ）设 bn=+数列 的前 n 项和 【考点】 等比数列的通项公式；数列的求和 【分析】 （ ）设出等比数列的公比 q，由 用等比数列的通项公式化简后得到关于 q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意 q 的值，然后再根据等比数第 15 页（共 18 页） 列的通项公式化简 2，把求出的 q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比 q 写出数列的通项公式即可； （ ）把（ ）求出数列 通项公式代入设 bn=+用对数的运算性质及等差数列的前 n 项和的公式 化简后，即可得到 通项公式，求出倒数即为 的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列 的前 【解答】 解：（ ）设数列 公比为 q，由 以 由条件可知各项均为正数，故 q= 由 2 得 2，所以 故数列 通项式为 （ ） + + =（ 1+2+n） = ， 故 = = 2（ ） 则 + + = 2（ 1 ） +（ ） +（ ） = ， 所以数列 的前 n 项和为 21某厂每月生产一种投影仪的固定成本为 元，但每生产 100 台，需要加可变成本（即另增加投入） 元，市场对此产品的年 需求量为 500 台，销售的收入函数为 R（ x） =5x （万元）（ 0 x 5），其中 x 是产品售出的数量（单位：百台） （ 1）求月销售利润 y（万元）关于月产量 x（百台）的函数解析式； （ 2）当月产量为多少时，销售利润可达到最大？最大利润为多少？ 【考点】 函数模型的选择与应用 【分析】 （ 1）分类讨论： 当 0 x 5 时， 当 x 5 时，分别写出函数 f（ x）的表达式，最后利用分段函数的形式写出所求函数解析式即可； （ 2）分别求出当 0 x 5 时，及当 x 5 时， f（ x）的最大值，最后综上所述，当 x 为多少时， f（ x）有最大值 【解答】 解：（ 1）当 0 x 5 时，投影仪能售出 x 百台；