湖北省联考2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 15 页） 2015年湖北省天门、仙桃、潜江市联考高一（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1若集合 M=x| 2 x 2， N=0， 1， 2，则 MN=（ ） A 0 B 1 C 0， 1， 2 D 0， 1 2函数 f（ x） =最小正周期为（ ） A 4 B 2 C D 3已知函数 y=f（ x） +x 为偶函数，若 f（ ） = ，则 f（ ） =（ ） A B C D 4设 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c若 a=2， c=2 ， 且 bc，则 b=（ ） A 3 B 2 C 2 D 5阅读如图所示的程序框图，输出 A 的值为（ ） A B C D 6若 ， 是两个单位向量，且（ 2 + ） （ 2 +3 ） =2 1，则 ， 的夹角为（ ） A B C D 7登山族为了了解某山高 y（ 气温 x（ C）之间的关系，随机统计了 4 次山高与相应的气温，并制作了对照表： 气温 x（ C） 18 13 10 1 第 2 页（共 15 页） 山高 y（ 24 34 38 64 由表中数据，得到线性回归方程 ，由此请估计出山高为 72（ 气温的度数为（ ） A 10 B 8 C 4 D 6 8若实数 a， b 满足 + = ，则 最小值为（ ） A B 2 C 2 D 4 9在平行四边形 ， 一条对角线，若 ， ，则 =（ ） A（ 2， 4） B（ 3， 5） C（ 3， 5） D（ 2， 4） 10已知等比数列 足 ， （ 1），则 ） A 2 B 1 C D 11在区间 0， 2上随机地取一个数 x，则事件 “ 1 x+ ） 1”发生的概率为（ ） A B C D 12若函数 f（ x） =4x m2x+m+3 有两个不同的零点 x1+0， 0，则实数 m 的取值范围为（ ） A（ 2， 2） B（ 6， +） C（ 2， 6） D（ 2， +） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答 题卡上对应题号后的横线上） 13计算： +30） 30） +30） 30） = 14假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上 6： 30 至 7： 30 之间把报纸送到小明家，小明爸爸离开家去工作的时间在早上 7： 00 至 8： 00 之间，问小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是 15已知定义在 R 上的奇函数 f（ x）在（ 0， +）上单调递增，且 f（ 1） =2，则不等式 f（ x 1） +2 0 在（ 0， +）的解集为 16已知函数 f（ x） = （其中 为常数，且 0），函数 g（ x） =f（ x） 的部分图象如图所示则当 x 时，函数 f（ x）的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤） 第 3 页（共 15 页） 17已知 ， 都是锐角， ， ，求 +2）的值 18现从某校高三年级随机抽 50 名考生 2015 年高考英语听力考试的成绩，发现全部介于 6，30之间，将成绩按如下方式分成 6 组：第 1 组 6， 10），第 2 组 10， 14）， ，第 6 组 26，30，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 （ ）估算该校 50 名考生成绩的众数和中位数； （ ）求这 50 名考生成绩在 22， 30内的人数 19下面有两个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，分别计算甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的？ 游戏 1 游戏 2 2 个红球和 2 个白球 3 个红球和 1 个白球 取 1 个球，再取 1 个球 取 1 个球，再取 1 个球 取出的两个球同色 甲胜 取出的两个球同色 甲胜 取出的两个球不同色 乙胜 取出的两个球不同色 乙胜 20设 示数列 前 n 项和 （ ）若 等差数列，试证明： ； （ ）若 ， q 0，且对所有的正整数 n，有 ，判断 否为等比数列 21锐角 三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，设向量 =（ 2， c）， =（已知 b= ，且 （ 1）求角 B； （ 2）求 积的最大值及此时另外两个边 a， c 的长 22已知 a 是实数，函数 f（ x） =2x 3，如果函数 y=f（ x）在区间（ 1， 1）有零点，求 a 的取值范围 第 4 页（共 15 页） 2015年湖北省天门、仙桃、潜江市联考高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的） 1若集合 M=x| 2 x 2， N=0， 1， 2，则 MN=（ ） A 0 B 1 C 0， 1， 2 D 0， 1 【考点】 交集及其运算 【分析】 直接利用交集及其运算得答案 【解答】 解：由 M=x| 2 x 2， N=0， 1， 2， 得 MN=x| 2 x 20， 1， 2=0， 1 故选： D 2函数 f（ x） =最小正周期为（ ） A 4 B 2 C D 【考点】 三角函数的周期性及其求法 【分析】 利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，再根据函数 y=x+） +b 的周期为 ，得出结论 【解答】 解：函数 f（ x） = 的最小正周期为 =， 故选： C 3已知函数 y=f（ x） +x 为偶函数，若 f（ ） = ，则 f（ ） =（ ） A B C D 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 由题意可得 f（ x） f（ x） = 2x，结合 f（ ） =f（ 2） = ， f（ ） =f（ 2），求得 f（ 2）的值 【解答】 解： 函数 y=f（ x） +x 为偶函数， f（ x） x=f（ x） +x， f（ x） f（ x） = 2x 第 5 页（共 15 页） f（ ） =f（ 2） = ， f（ ） =f（ 2）， f（ 2） = 2 = ， f（ 2） =2 ， 故选： A 4设 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c若 a=2， c=2 ， 且 bc，则 b=（ ） A 3 B 2 C 2 D 【考点】 正弦定理 【分析】 运用余弦定理： a2=b2+2关于 b 的方程，结合 b c，即可得到 b=2 【解答】 解： a=2， c=2 ， 且 b c， 由余弦定理可得， a2=b2+2 即有 4=2 4 b， 解得 b=2 或 4， 由 b c，可得 b=2 故选 ： C 5阅读如图所示的程序框图，输出 A 的值为（ ） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 A， i 的值，当 i=11 时，不满足条件i 10，退出循环，输出 A 的值为 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 第 6 页（共 15 页） A=1， i=1 A= ， i=2 满足条件 i 10， A= ， i=3 满足条件 i 10， A= ， i=4 满足条件 i 10， A= ， i=5 满足条件 i 10， A= ， i=6 满足条件 i 10， A= ， i=7 满足条件 i 10， A= ， i=8 满足条件 i 10， A= ， i=9 满足条件 i 10， A= ， i=10 满足条件 i 10， A= ， i=11 不满足条件 i 10，退出循环，输出 A 的值为 ， 故选： C 6若 ， 是两个单位向量，且（ 2 + ） （ 2 +3 ） =2 1，则 ， 的夹角为（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据条件求出 ，代入向量的夹角公式 计算 【解答】 解： （ 2 + ） （ 2 +3 ） =2 1， 4 +3 +4 =2 1 = =1， = ， = = 第 7 页（共 15 页） ， = 故选： A 7登山族为了了解某山高 y（ 气温 x（ C）之间的关系，随机统计了 4 次山高与相应的气温，并制作了对照表： 气温 x（ C） 18 13 10 1 山高 y（ 24 34 38 64 由表中数据，得到线性回归方程 ，由此请估计出山高为 72（ 气温的度数为（ ） A 10 B 8 C 4 D 6 【考点】 线性回归方程 【分析】 求出 ， ，代入回归方程，求出 a，代入 ，将 y=72 代入可求得 x 的估计值 【解答】 解：由题意， ， ， 代入到线性回归方程 ，可得 a=60， y= 2x+60， 由 2x+60=72，可得 x= 6 故选： D 8若实数 a， b 满足 + = ，则 最小值为（ ） A B 2 C 2 D 4 【考点】 基本不等式 【分析】 由 + = ，可判断 a 0， b 0，然后利用基础不等式 即可求解最小值 【解答】 解： + = ， a 0， b 0， （当且仅当 b=2a 时取等号）， ， 解可得， 即 最小值为 2 ， 故选： C 9在平行四边形 ， 一条对角线，若 ， ，则 =（ ） 第 8 页（共 15 页） A（ 2， 4） B（ 3， 5） C（ 3， 5） D（ 2， 4） 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 根据平行四边形法则，可以求出 ，再根据平行四边形法则可以求出结果，在运算过程中要先看清各向量的关系，理清思路以后再用坐标表示出结果 【解答】 解： ，故选 B 10已知等比数列 足 ， （ 1），则 ） A 2 B 1 C D 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 利用等比数列的通项公式即可得出 【解答】 解：设等比数列 公比为 q， ， （ 1）， =4 ， 化为 ，解得 q=2 则 = 故选： C 11在区间 0， 2上随机地取一个数 x，则事件 “ 1 x+ ） 1”发生的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 先解已知不等式，再利用解得的区间长度与区间 0， 2的长度求比值即得 【解答】 解：利用几何概型，其测度为线段的长度 1 x+ ） 1 解得 0 x ， 0 x 2 0 x 所求的概率为： P= 故选： A 第 9 页（共 15 页） 12若函数 f（ x） =4x m2x+m+3 有两个不同的零点 x1+0， 0，则实数 m 的取值范围为（ ） A（ 2， 2） B（ 6， +） C（ 2， 6） D（ 2， +） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 利用换元法，问题转化为函 数 f（ t） =mt+m+3 有两个不同的零点，且大于 1，建立不等式，即可求出实数 m 的取值范围 【解答】 解：设 t=2x， x1+0， 0， t 1， 函数 f（ t） =mt+m+3 有两个不同的零点，且大于 1， ， m 6， 故选： B 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡上对应题号后的横线上） 13计算： +30） 30） +30） 30） = 【考点】 两角和与差的余弦函数；三角函数的化简求值 【分析】 运用两角和与差的余弦函数化简求解即可 【解答】 解： +30） 30） +30） 30） =+30 +30）= ； 故答案为： 14假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上 6： 30 至 7： 30 之间把报纸送到 小明家，小明爸爸离开家去工作的时间在早上 7： 00 至 8： 00 之间，问小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是 【考点】 几何概型 【分析】 设送报人到达的时间为 x，小明爸爸离家去工作的时间为 y，则（ x， y）可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件 A 所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案 【解答】 解：设送报人到达的时间为 x，小明爸爸离家去工作的时间为 y，记小明爸爸离家前能看到报纸为事件 A； 以横坐标 表示报纸送到时间，以纵坐标表示小明爸爸离家时间，建立平面直角坐标系， 小明爸爸离家前能得到报纸的事件构成区域如图示： 由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件 根据题意，只要点落到阴影部分，就表示小明爸爸在离开家前能得到报纸，即事件 A 发生， 所以 P（ A） = = ， 第 10 页（共 15 页） 故答案为： 15已知定义在 R 上的奇函数 f（ x）在（ 0， +）上单调递增，且 f（ 1） =2，则不等式 f（ x 1） +2 0 在（ 0， +）的解集为 （ 1， 2 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 由题意和奇函数的性质得 f（ 1） = f（ 1） = 2，由函数的单调性化简不等式，求出不等式的解集 【解答】 解：因为 f（ x）是在 R 上的奇函数， f（ 1） =2， 所以 f（ 1） = f（ 1） = 2， 因为 f（ x）在（ 0， +）上单调递增，且 f（ x 1） +2 0 为： f（ x 1） 2=f（ 1）， 所以 0 x 1 1，解得 1 x 2， 所以不等式 f（ x 1） +2 0 在（ 0， +）的解集为（ 1， 2， 故答案为：（ 1， 2 16已知函数 f（ x） = （其中 为常数，且 0），函数 g（ x） =f（ x） 的部分图象如图所示则当 x 时，函数 f（ x）的取值范围是 ，+1 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 利用两角差的正弦公式化简 f（ x）的解析式，利用正弦函数的周期性求得 ，再根据正弦函数的定义域和值域求得 f（ x）的取值范围 【解答】 解：函数 f（ x） = =22x ） + （其中 为常数，且 0）， 根据函数 g（ x） =f（ x） 的部分图象，可得 = = ， =1， f（ x） =22x ） + ， 则当 x 时， 2x ， ， x ） 1， ， 第 11 页（共 15 页） f（ x）的取值范围是 ， +1， 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17已知 ， 都是锐角， ， ，求 +2）的值 【考点】 两角和与差的正切函数 【分析】 由同角三角函数关系式先求出 由倍角公式求出 此利用正切函数加法定理能求出 +2）的值 【解答】 解： ， 都是锐角， ， ， = = = ， = ， = = ， +2） = = =1 18现从某校高三年级随机抽 50 名考生 2015 年高考英语听力考试的成绩，发现全部介于 6，30之间，将成绩按如下方式分成 6 组：第 1 组 6， 10），第 2 组 10， 14）， ，第 6 组 26，30，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 （ ）估算该校 50 名考生成绩的众数和中位数； （ ）求这 50 名考生成绩在 22， 30内的人数 【考点】 频率分布直方图；众数、中位数、平均数 【分析】 （ ）由频率分布直方图，能求出该校 50 名考生听力成绩的众数和中位数 （ ）由频率分布直方图求出后两组频率及人数，由此能求出该校这 50 名考生听力成绩在22， 30的人数 【解答】 解：（ ）由频率分布直方图知， 该校这 50 名考生听力成绩的众数为 第 12 页（共 15 页） 中位数为 （ ）由频率分布直方图知，后两组频率为（ 4=数为 50=10， 即该校这 50 名考生听力成绩在 22， 30的人数为 10 人 19下面有两个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，分别计算甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的？ 游戏 1 游戏 2 2 个红球和 2 个白球 3 个红球和 1 个白球 取 1 个球，再取 1 个球 取 1 个球，再取 1 个球 取出的两个球同色 甲胜 取出的两个球同色 甲胜 取出的两个球不同色 乙胜 取出的两个球不同色 乙胜 【考点】 概率的意义 【分析】 在游戏 1 中，分别求出取两球同色的概率和取两球异色的概率；游戏 2 中，分别求出取两球同色的概率和取两球异色的概率，由此能求出结果 【解答】 解：在游戏 1 中， 取两球同色的概率为： = ， 取两球异色的概率为： = ， 因此游戏 1 中规则不公平 游戏 2 中， 取两球同色的概率为： = ， 取两球异色的概率为： = ， 因此游戏 2 中规则是公平的 20设 示数列 前 n 项和 （ ）若 等差数列，试证明： ； （ ）若 ， q 0，且对所有的正整数 n，有 ，判断 否为等比数列 【考点】 等比关 系的确定；等差数列的性质 【分析】 （ I）利用等差数列的通项公式及其求和公式、倒序相加法即可得出 （ 用等比数列的通项公式定义、递推关系即可得出 【解答】 （ ）证明：设 公差为 d，则 Sn=a1+an= a1+d）