贵州省黔东南州2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 15 页） 2015年贵州省黔东南州高一（下）期末数学试卷 一 大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1设集合 M=x|5x 6 0， U=R，则 ） A 2， 3 B（ ， 2 3， +） C 1， 6 D 6， 1 2在各项均为正数的等比数列 ，若 a3，则 ） A 1 B 2 C 3 D 4 3设点 B 为点 A（ 3， 4， 5）关于 的对称点，则 |（ ） A 6 B 8 C 10 D 5 4过点（ 2， 5）且垂直于直线 2x 4y+15=0 的直线方程为（ ） A 2x+y 1=0 B 2x+y 5=0 C x+2y 5=0 D x 2y+7=0 5已知实数 x， y 满足 ，则 z=2x+y 的最大值为（ ） A 2 B C 3 D 3 6如果方程 x2+x+2y+4k+1=0 表示圆，那么 k 的取值范围是（ ） A（ ， +） B（ ， 1） C（ ， 1 D 1， +） 7直线 L 的方程为 =0，若直线 L 过原点和一、三象限，则（ ） A C=0， B 0 B A 0， B 0， C=0 C 0， C=0 D C=0， 0 8已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为边长为 1 的正方形（如图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A 4 B 3 C 2 D 9已知 公差为 1 的等差数列； 前 n 项和，若 ） A B C 10 D 12 第 2 页（共 15 页） 10如图，在四面体 ，若截面 正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）A D C 截面 异面直线 成的角为 45 11已知直线 m、 n 与平面 、 ，下列命题正确的是（ ） A m ， n 且 ，则 m n B m ， n 且 ，则 m n C =m， n m 且 ，则 n D m ， n 且 ，则 m n 12在 ， B= ， 上的高等于 ） A B C D 二 大题共 4 个小题，每小题 5 分 0 分 . 13若 x 3，则函数 y=x+ 的最小值为 14若直线 x+（ 1+m） y+m 2=0 与直线 2y+16=0 没有公共点，则 m 的值为 15在数列 ， a1+a2+an=（ n N*），则 16在直三棱柱 ， C=E， F 分别为 中点，则直线 平面 成角的余弦值为 三 大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明 17在 ，直线 方程为 3x 2y 1=0，直线 方程为 2x+3y 18=0直线方程为 3x+4y m=0（ m 25） （ 1）求证： 直角三角形； （ 2）当 上的高为 1 时，求 m 的值 18在 ，角 A， B， C 所对 的边长分别为 a， b， c， B= （ 1）若 a=3， b= ，求 c 的值； （ 2）若 f（ A） = a= ，求 f（ A）的最大值及此时 外接圆半径 19如图在三棱锥 P ， D， E， F 分别为棱 中点，已知 D， ， ，求证： （ 1）直线 平面 （ 2）平面 平面 第 3 页（共 15 页） 20已知 各项均为正数的数列， 等差数列，且 a1=， 3（ 2 ） =0（ n N*） （ 1）求 通项公式； （ 2）设 cn=n N*，求数列 前 n 项和 21已知圆心为 C 的圆：（ x a） 2+（ y b） 2=8（ a， b 为正整数）过 点 A（ 0， 1），且与直线 y 3 2 =0 相切 （ 1）求圆 C 的方程； （ 2）若过点 M（ 4， 1）的直线 l 与圆 C 相交于 E， F 两点，且 =0求直线 l 的方程 22设矩形 周长为 24，把 叠， 过去后交 点 P，设 AB=x，求 最大面积及相应 x 的值 第 4 页（共 15 页） 2015年贵州省 黔东南州高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一 大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1设集合 M=x|5x 6 0， U=R，则 ） A 2， 3 B（ ， 2 3， +） C 1， 6 D 6， 1 【考点】 补集及其运算 【分析】 先求出集合 M，然后进行补集的运算即可 【解答】 解： 5x 6 0 即（ x 6）（ x+1） 0，解得 x 1 或 x 6， M=（ 1） （ 6， +）， 1， 6， 故选： C 2在各项均为正数的等比数列 ，若 a3，则 ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 由等比数列性质得 ，由此利用对数运算法则及等比数列性质能求出 【解答】 解： 在各项均为正数的等比数列 ， a3， a3 2=9， ， = =3 故选： C 3设点 B 为点 A（ 3， 4， 5）关于 的对称点，则 |（ ） A 6 B 8 C 10 D 5 【考点】 空间中的点的坐标 【分析】 先求出点 B，由此利用两点间距离公式能求出 | 【解答】 解： 点 B 为点 A（ 3， 4， 5）关于 的对称点， B（ 3， 4， 5）， | =8 故选： B 4过点（ 2， 5）且垂直于直线 2x 4y+15=0 的直线方程为（ ） A 2x+y 1=0 B 2x+y 5=0 C x+2y 5=0 D x 2y+7=0 【考点】 待定系数法求直线方程 【分析】 由垂直关系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可 第 5 页（共 15 页） 【解答】 解： 直线 2x 4y+15=0 的斜率为 ， 由垂直关系可得所求直线的斜率为 2， 所求直线的方程为 y 5= 2（ x+2）， 化为一般式可得 2x+y 1=0， 故选： A 5已知实数 x， y 满足 ，则 z=2x+y 的最大值为（ ） A 2 B C 3 D 3 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最大值 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=2x+y 得 y= 2x+z， 平移直线 y= 2x+z， 由图象可知当直线 y= 2x+z 经过点 C 时，直线 y= 2x+z 的 截距最大， 此时 z 最大 由 ，解得 ，即 C（ 2， 1）， 代入目标函数 z=2x+y 得 z=2 2 1=3 即目标函数 z=2x+y 的最大值为 3， 故选： D 6如果方程 x2+x+2y+4k+1=0 表示圆，那么 k 的取值范围是（ ） A（ ， +） B（ ， 1） C（ ， 1 D 1， +） 【考点】 圆的一般方程 【分 析】 圆 x2+x+=0 中， 2 4F 0 【解答】 解： 方程 x2+x+2y+4k+1=0 表示圆， 42+22 4（ 4k+1） 0， 第 6 页（共 15 页） 解得 k 1， k 的取值范围是（ ， 1） 故选： B 7直线 L 的方程为 =0，若直线 L 过原点和一、三象限，则（ ） A C=0， B 0 B A 0， B 0， C=0 C 0， C=0 D C=0， 0 【考点】 直线的一般式方程 【分析】 直线过原点得到 C=0，直线过一、三象限得到斜率大于 0，从而求出答案 【解答】 解： 直线 L 的方程为 =0， 若直线 L 过原点和一、三象限， 则 0， C=0， 故选： C 8已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为边长为 1 的正方形（如图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A 4 B 3 C 2 D 【考点】 球内接多面体；简单空间图形的三视图 【分析】 如图所示，该几何体是正方体，因此此几何体的外接球的直径 2R=正方体的对角线长，利用球的表面积计算公式即可得出 【解答】 解：由题意该几何体是正方体 因此此几何体的外接球的直径 2R 为正方体的对角线 l= ， 其表面积 S=4 故选： B 9已知 公差为 1 的等差数列； 前 n 项和，若 ） A B C 10 D 12 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列的通项公式及其前 n 项和 公式即可得出 【解答】 解： 公差为 1 的等差数列， =4 （ 4）， 解得 第 7 页（共 15 页） 则 = 故选： B 10如图，在四面体 ，若截面 正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）A D C 截面 异面直线 成的角为 45 【考点】 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【分析】 首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这样就把 移到正方形内，即可利用平面图形知识做出判断 【解答】 解：因为截面 正方形，所以 则 平面 平面 所以 由 得 A 正确； 由 得 截面 C 正确； 由 异面直线 成的角，且为 45， D 正确； 由上面可知： ， ， 而 N， B 错误 故选： B 11已知直线 m、 n 与平面 、 ，下列命题正确的是（ ） A m ， n 且 ，则 m n B m ， n 且 ，则 m n C =m， n m 且 ，则 n D m ， n 且 ，则 m n 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 利用空间中线线、线面、面面的判定定理及其性质定理，即可得出结论 【解答】 解：对于 A， m ， n 且 ，则 m n，故不正确； 对于 B，由 m ， n 且 ，则 m 与 n 一定不平行，否则有 ，与已知 矛盾，通过平移使得 m 与 n 相交， 第 8 页（共 15 页） 且设 m 与 n 确定的平面为 ，则 与 和 的交线所成的角即为 与 所成的角，因为 ，所以 m 与 n 所成的角为 90，故命 题正确； 对于 C，若 ， =m， n， n m，利用面面垂直的性质定理即可得出： n ，因此不正确； 对于 D，在正方体 ， 平面 平面 平面 平面 平面 平面 Q=P； 平面 平面 面 综上，直线 m， n 与平面 ， ， m ， n 且 ， 则直线 m， n 的位置关系为平行或相交或异面 故选： B 12在 ， B= ， 上的高等于 ） A B C D 【考点】 三 角形中的几何计算 【分析】 作出图形，令 ，依题意，可求得 = = ，利用两角和的余弦即可求得答案 【解答】 解：设 角 A、 B、 C、对应的边分别为 a、 b、 c， D，令 ， 在 ， B= ， 上的高 AD=h= a， D= a， a， 第 9 页（共 15 页） 在 ， = = ，故 ， +） = = 故选： C 二 大题共 4 个小题，每小题 5 分 0 分 . 13若 x 3，则函数 y=x+ 的最小值为 5 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用 【分析】 利用基本不等式进行求解即可 【解答】 解：由函数 得 y=x 3+ +3， x 3， x 3 0， 由基本不等式得 y=x 3+ +3 ， 当且仅当 x 3= ，即 x 3=1， x=4 时取等号 故最小值为 5， 故答案为： 5 14若直线 x+（ 1+m） y+m 2=0 与直线 2y+16=0 没有公共点，则 m 的值为 1 【考点】 直线的一般式方程与直线的平行关系 【分析】 利用两条直线平行 的充要条件即可得出 【解答】 解： 直线 x+（ 1+m） y+m 2=0 与直线 2y+16=0 没有公共点， 两条直线平行 = ， 解得 m=1 故答案为： 1 15在数列 ， a1+a2+an=（ n N*），则 ， n N* 【考点】 数列的 求和 【分析】 由 a1+a2+an=（ n N*），当 n=1 时，直接得出 n 2 时， a1+a2+1=（ n 1） 2+2，相减可得 【解答】 解： a1+a2+an=（ n N*）， n=1 时， n 2 时， a1+a2+1=（ n 1） 2+2， （ n 1） 2 2=2n 1， 第 10 页（共 15 页） ， 故答案为： ， n N* 16在直三棱柱 ， C=E， F 分别为 中点，则直线 平面 成角的余弦值为 【考点】 直线与平面所成的角 【分析】 取 中点为 M， D，连接 足为 N，则 平面 的射影， 得 直线 平面 成角，即可得出结论 【解答】 解：取 中点为 M， D，连接 足为 N，则 平面 的射影， 直线 平面 成角， 设 a，则 a， a， 直线 平面 成角的余弦值为 故答案为： 三 大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明 17在 ，直线 方程为 3x 2y 1=0，直线 方程为 2x+3y 18=0直线方程为 3x+4y m=0（ m 25） （ 1）求证： 直角三角形； （ 2）当 上的高为 1 时，求 m 的值 【考点】 点到直线的距离公式 【分析】 （ 1）利用斜率计算公式、直线垂直与斜率之间的关系即可判断出三角形形状 （ 2）利用直线的交点求法、点到直线的距离公式即可得出 【解答】 解：（ 1） 直线 斜率为 ， 直线 斜率为 ， 1， 直线 相垂直，因此， 直角三角形 第 11 页（共 15 页） （ 2）解方程组 ，得 ，即 A（ 3， 4） 设点 A 到直线 距离为 d，则 由题意知 d=1，即 ，即 m=20 或 30 18在 ，角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c， B= （ 1）若 a=3， b= ，求 c 的值； （ 2）若 f（ A） = a= ，求 f（ A）的最大值及此时 外接圆半径 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由已知利用余弦定理即 可得解 c 的值 （ 2）利用三角函数恒等变换的应用化简可得 f（ A） =2A+ ） ，利用正弦函数的性质可求 f（ A）的最大值，利用正弦定理进而可求得此时 外接圆半径 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ 1） b2=a2+2a=3， b= ， ， 7=9+2 ，整理可得： 3c+2=0， 解得： c=1 或 24 分 （ 2）由二倍角公式得 f（ A） = ， f（ A） =2A+ ） ， 当 A= 时， f（ A）最大值为 ， 此时 直角三角形， 此时 外接圆半径： 12 分 19如图在三棱锥 P ， D， E， F 分别为棱 中点，已知 D， ， ，求证： （ 1）直线 平面 （ 2）平面 平面 第 12 页（共 15 页） 【考点】 平面与平面垂 直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）由 D、 E 为 中点，得出 而得出 平面 （ 2）要证平面 平面 需证 平面 证 可 【解答】 证明：（ 1）因为 D， E 是 点， 面 面 平面 （ 2）因为 D， E， F 分别为棱 中点， ， ， ， ， ， D， D 为 中点 C E 为 中点， F=E， 平面 面 平面 平面 20已知 各项均为正数的数列， 等差数列，且 a1=， 3（ 2 ） =0（ n N*） （ 1）求 通项公式； 第 13 页（共 15 页） （ 2）设 cn=n N*，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）利用 得： （ ） =2）根据 各项都为正数，可得 再利用等比数列的通项公式可得 利用等差数列的通项公式可得 （ 2）利用 “错位相减法 ”、等比数列的求和公式即可得出 【解答】 解：（ 1）由 得： （ ） =2） 因为 各项都为正数， 故 首项为 1，公比为 2 的等比数列， 因此数列 通项公式为 设数列 公差为 d，由 3， 得 d=2， 数列 通项公式为 n 1， n N* （ 2）由（ 1）知 2n 1） 2n 1，设 前 n 项和为 则 20+3 21+5 22+（ 2n 3） 2n 2+（ 2n 1） 2n 1， 2 21+3 22+5 23+（ 2n 3） 2n 1+（ 2n 1） 2n， 上述两式相减，得 +22+23+2n（ 2n 1） 2n =2n+1 3（ 2n 1） 2n =（ 2n 3） 2n 3， 所以 2n 3） 2n+3， n N* 21已知圆心为 C 的圆：（ x a） 2+（ y b） 2=8（ a， b 为正整数）过点 A（ 0， 1），且与直线 y 3 2 =0 相切 （ 1）求圆 C 的方程； （ 2）若过点 M（ 4， 1）的直线 l 与圆 C 相交于