河北省邯郸市2016年高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2016 年河北省邯郸市高考数学模拟试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知全集 U=0， 1， 2， 3， 4，集合 A=1， 2， 3，集合 B=3， 4，则（ B=（ ） A 4 B 2， 3， 4 C 0， 3， 4 D 0， 2， 3， 4 2若复数 z 满足 3 i（ z+1） =i，则 z=（ ） A 2+3i B 2 3i C 2+3i D 2 3i 3下列函数中，既是偶函数又在区间（ 0， +）上单 调递减的是（ ） A y=ln|x| B y= D y= 4命题 “ R， 0”的否定是（ ） A x R， x2+x+1 0 B x R， x2+x+1 0 C R， 0 D x R， x2+x+1 0 5若直线 y=2x 与双曲线 =1 没有公共点，则双曲线的离心率的取 值范围是（ ） A ， +） B ， +） C（ 1， D（ 1， 6已知 A（ 2， 1）， O（ 0， 0），点 M（ x， y）满足 ，则 的最大值为（ ） A 5 B 1 C 0 D 1 7某程序框图如图所示，该程序运行后输出 S 的值是（ ） A 2 B C D 3 8在等差数列 ， 其前 n 项和， 5， a2+a3+2，则 最大值为（ ） A 28 B 36 C 45 D 55 第 2 页（共 17 页） 9现有 4 名选手参加演讲比赛活动，若每位选手可以从 4 个题目中任意 1 个，则恰有 1 个题目没有 被这 4 为选手选中的情况有（ ） A 36 种 B 72 种 C 144 种 D 288 种 10已知 M（ 曲线 C： y=0 上的一点， F 是 C 的焦点，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，若 0，则 取值范围是（ ） A（ 1， 0） （ 0， 1） B（ 1， 0） C（ 0， 1） D（ 1， 1） 11如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线 图是一个几何体的三视图，则此几何体外接球的表面积为（ ） A 25 B 25 C 50 D 50 12定义域为 R 的偶函数 f（ x）满足对 x R，有 f（ x+2） =f（ x） f（ 1），且当 x 0，1时， f（ x） =x+b，若函数 y=f（ x） x+1）在（ 0， +）上恰好有三个零点，则 ） A（ 0， ） B（ 0， ） C（ ， ） D（ ， 1） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上 . 13 （ x ） 14已知 | |=2， | |=4， （ ），则向量 与 的夹角的余弦值是 15如图为某小区 100 为居民 2015 年月平均用水量（单位： t）的频率分布直方图的一部分，据此可求这 100 位居民月平均用水量的中位数为 吨 16关于函数 f（ x） =下说法： 周期为 2； 最小值为 ； 在区间（ 0， ）单调递增； 关于 x= 对称 ， 其中正确的是 （填上所有正确说法的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 数列 前 n 项和， 2（ n N+） （ 1）求 通项公式； （ 2）若 bn=数列 前 n 项和 第 3 页（共 17 页） 18 内角 A， B， C 的对边 a， b， c 满足 a2+ac= （ ）求 A 的取值范围； （ ）若 a=2， A= ，求 面积 19已知四棱锥 P 面 菱形， 等边三角形， 0， ， （ 1）证明：平面 平面 （ 2）求二面角 B D 的余弦值 20甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出 3 人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得 1 分，答错不答都得 0 分，已知甲队 3 人每人答对的概率分别为 ， ，乙队每人答对的概率都是 设每人回答正确与否相互之间没有影响，用 表示甲队总得分 （ ）求随机变量 的分布列及其数学期望 E（ ）； （ ）求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下，甲队比乙队得分高的概率 21已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的焦点和一 个顶点在圆 x2+ 上 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）已知点 P（ 3， 2），若斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 相交于 A、 B 两点，试探讨以 否存在？若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，说明理由 22已知函数 f（ x） = e a 0） （ 1）当 a=2 时，求曲线 y=f（ x）在 x= 处的切线方程； （ 2）讨论方程 f（ x） 1=0 根的个数 第 4 页（共 17 页） 2016 年河北省邯郸市高考 数学模拟试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知全集 U=0， 1， 2， 3， 4，集合 A=1， 2， 3，集合 B=3， 4，则（ B=（ ） A 4 B 2， 3， 4 C 0， 3， 4 D 0， 2， 3， 4 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 根据全集、补集与并集的定义，进行计算即可 【解答】 解：全集 U=0， 1， 2， 3， 4，集合 A=1， 2， 3，集合 B=3， 4， 0， 4， （ B=0， 3， 4 故选： C 2若复数 z 满足 3 i（ z+1） =i，则 z=（ ） A 2+3i B 2 3i C 2+3i D 2 3i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 把已知等式变形，和利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解：由 3 i（ z+1） =i，得 i（ z+1） =3 i， z+1= ， 则 z= 2 3i 故选： B 3下列函数中，既是偶函数又在区间（ 0， +） 上单调递减的是（ ） A y=ln|x| B y= D y= 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可 【解答】 解： y=ln|x|是偶函数，则（ 0， +）上单调递增，不满足条件 y=偶函数，则（ 0， +）上不单调，不满足条件 是奇函数，则（ 0， +）上单调递减，不满足条件 y= 是偶函数，则（ 0， +） 上单调递减，满足条件 故选： D 4命题 “ R， 0”的否定是（ ） A x R， x2+x+1 0 B x R， x2+x+1 0 C R， 0 D x R， x2+x+1 0 第 5 页（共 17 页） 【考点】 命题的否定 【分析】 特称命题 “ R， 0”的否定是：把 改为 ，其它条件不变，然后否定结论，变为一个全称命题即 “ x R， x2+x+1 0” 【解答】 解：特称命题 “ R， 0”的否定是全称命题： “ x R， x2+x+1 0” 故选 B 5若直线 y=2x 与双曲线 =1 没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ， +） B ， +） C（ 1， D（ 1， 【考点】 双 曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的渐近线方程，由题意可得渐近线的斜率的正值不大于 2，由 a， b， 得范围 【解答】 解：双曲线的渐近线方程为 y= x， 由直线 y=2x 与双曲线 =1 没有公共点， 可得 2，即 b 2a， 又 e= = = ， 但 e 1，可得 1 e 故选： D 6已知 A（ 2， 1）， O（ 0， 0），点 M（ x， y）满足 ，则 的最大值为（ ） A 5 B 1 C 0 D 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 先画出平面区域 D，进行数量积的运算即得 z=2x+y 5，所以 y= 2x+5+z，所以根据线性规划的方法求出 z 的最大值即可 【解答】 解： 表示的平面区域 D，如图中阴影部分所示， 的 =（ 2， 1） （ x 2， y 1） =2x+y 5； y= 2x+5+z； 5+z 表示直线 y= 2x+5+z 在 y 轴上的截距，所以截距最大时 z 最大； 如图所示，当该直线经过点 A（ 2， 2） 时，截距最大，此时 z 最大； 第 6 页（共 17 页） 所以点（ 2， 2）带人直线 y= 2x+5+z 即得 z=1 故选： D 7某程序框图如图所示，该程序运行后输出 S 的值是（ ） A 2 B C D 3 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 S， i 的值，当 i=2017 时不 满足条件 i2016，退出循环，输出 S 的值，即可得解 【解答】 解：模拟执行程序，可得 S=2， i=1 满足条件 i 2016， S= 3， i=2 满足条件 i 2016， S= ， i=3 满足条件 i 2016， S= ， i=4 满足条件 i 2016， S=2， i=5 观察规律可知 S 的取值周期为 4，由 2016=504 4 可得 第 7 页（共 17 页） 满足条件 i 2016， S= ， i=2016 满足条件 i 2016， S=2， i=2017 不满足条件 i 2016，退出循环，输出 S 的值为 2 故选： A 8在等差数列 ， 其前 n 项和， 5， a2+a3+2，则 最大值为（ ） A 28 B 36 C 45 D 55 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 由题意和等差数列的求和公式和性质可得 ， ，进而可得通项公式，可得数列前 8 项为正数，第 9 项为 0，从第 10 项开始为负数，可得结论 【解答】 解： 在等差数列 ， 其前 n 项和， 5， a2+a3+2， 5， a2+a3+2， ， ， 公差 d= 1，故 （ n 4） =9 n， 故数列的前 8 项为正数，第 9 项为 0，从第 10 项开始为负数， 故数列的前 8 或 9 项和最大为 6， 故选： B 9现有 4 名选手参加演讲比赛活动，若每位选手可以从 4 个题目中任意 1 个，则恰有 1 个题目没有被这 4 为选手选中的情况有（ ） A 36 种 B 72 种 C 144 种 D 288 种 【考点】 计数原理的应用 【分析】 利 用间接法，先确定 4 个选手无遗漏的选择，再去掉恰好 2、 3、 4 道题目被选的情况，即可得出结论 【解答】 解：由题意，每个选手都有 4 种选择，所以 4 个选手无遗漏的选择是 44 种， 其中恰好 2 道题目被选的有 42） =84、恰好 3 道未被选（四人选了同一题目，有 4 种）、恰好 0 道题未被选的（ 4 个题目都被选，有 4 种） 故共有 256 84 4 24=144 种 故选： C 10已知 M（ 曲线 C： y=0 上的一点， F 是 C 的焦 点，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，若 0，则 取值范围是（ ） A（ 1， 0） （ 0， 1） B（ 1， 0） C（ 0， 1） D（ 1， 1） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由题意可设 M（ ），（ 0），求得 N 的坐标，求出抛物线的焦点坐标，运用向量的数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围 【解答】 解：由题意可设 M（ ），（ 0）， 由题意可得 N（ 0）， 第 8 页（共 17 页） 又抛物线 y 的焦点 F（ 0， ）， 即有 =（ ）， =（ 0， ）， 由 0，即为（ ） （ ） 0， 即有 1 且 0）， 解得 1 0 且 0 1 故选： A 11如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线图是一个几何体的三视图，则此几何体外接球的表面积为（ ） A 25 B 25 C 50 D 50 【考点】 球内接多面体；简单空间图形的三视图 【分析】 几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，补充为长方体，长宽高分别为 3， 4， 5，求出对角线长，可得外接球的半径，代入球的表面积公式计算 【解答】 解：由三视图知：几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，补充为长方体，长宽高分别为 3， 4， 5， 其对角线长为 =5 ， 此几何体外接球的半径为 外接球的表面积 S=4 （ ） 2=50 故选： C 12定义域为 R 的偶函数 f（ x）满足对 x R，有 f（ x+2） =f（ x） f（ 1），且当 x 0，1时， f（ x） =x+b，若函数 y=f（ x） x+1）在（ 0， +）上恰好有三个零点， 则 ） A（ 0， ） B（ 0， ） C（ ， ） D（ ， 1） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 根据条件先求出 f（ 1） =0，即函数 f（ x）是周期为 2 的周期函数，然后根据奇偶性求出函数在一个周期内的图象，结合函数 与方程之间的关系转化两个函数的交点个数问题，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可 第 9 页（共 17 页） 【解答】 解： 偶函数 f（ x）满足对 x R，有 f（ x+2） =f（ x） f（ 1）， 令 x= 1，得 f（ 1+2） =f（ 1） f（ 1）， 即 f（ 1） =f（ 1） f（ 1） =0， 则 f（ 1） =0， 即对 x R，有 f（ x+2） =f（ x） f（ 1） =f（ x）， 则函数 f（ x）是周期为 2 的周期函数， 当 x 0， 1时， f（ x） =x+b， f（ 1） =1+b=0，则 b= 1， 即当 x 0， 1时， f（ x） =x 1， 若 x 1， 0时， x 0， 1时， 则 f（ x） = x 1=f（ x）， 则当 x 1， 0时， f（ x） =x+1， 由函数 y=f（ x） x+1） =0，得 f（ x） =x+1）， 作出 f（ x）和 g（ x） =x+1）在（ 0， +）上的图象 若函数 y=f（ x） x+1）在（ 0， +）上恰好有三个零点， 则等价为两个函数 f（ x）和 g（ x）在（ 0， +）上恰好有三个交点， 若 a 1，两个函数只有一个交点，不满足条件 若 0 a 1，要使两个函数有三个交点， 则点 A（ 2， 1）则 g（ x） 的图象的下方， B（ 4， 1）在 g（ x）的上方， 即 ，即 ，即 a ， 即实数 a 的取值范围是（ ， ）， 故选： C 二、填 空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上 . 13 （ x ） 1 【考点】 定积分 【分析】 根据：积分公式化简求解 （ x ） x | ，利用牛顿莱布尼兹定理得出答案即可 第 10 页（共 17 页） 【 解答】 解： （ x ） x | =2 1+ 故答案为： 1 4已知 | |=2， | |=4， （ ），则向量 与 的夹角的余弦值是 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由 便可得出 ，进行数量积的运算便可得到，从而便可得出向量 与 夹角的余弦值 【解答】 解： ； ； 即 = ； ； 即向量 与 夹角的余弦值是 故答案为： 15如图为某小区 100 为居民 2015 年月平均用水量（单位： t）的频率分布直方图的一部分，据此可求这 100 位居民月平均用水量的中位数为 【考点】 频率分布直方图 【分析】 根据频率分布直方图，求出使直方图 中左右两边频率相等对应的横坐标的值 【解答】 解：根据频率分布直方图，得； 设中位数为 a，则 a 2） 解得 a= 估计中位数是 故答案为： 16关于函数 f（ x） =下说法： 第 11 页（共 17 页） 周期为 2； 最小值为 ； 在区间（ 0， ）单调递增； 关于 x= 对称， 其中正确的是 （填上所有正确说法的序号） 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 由 f（ x+2） =f（ x）即可得证； 换元法，设 t=三角函数知识可得 t ， ，且 1，可得y=t2+t 1，由二次函数区间的 最值可得 由 利用二次函数的性质即可得解； 证明 f（ x） =f（ x），即可判断正误 【解答】 解： f（ x+2） =（ x+2） +x+2） +x+2） =f（ x）， 函数周期为 2，故 正确； 设 t=x+ ） ， ， 2=1+ 1， y=1+t=t2+t 1=（ t+ ） 2 ， t ， ， 由二次函数可知，当 t ， 时，函数 y=t2+t 1 单调递减，当 t ， 时，函数 y=t2+t 1 单调递增， 当 t= 时，函数取最小值 ，故 正确； 由 可知 y=t2+t 1， t ， ，故 错误； f（ x） =（ x） + x） + x） = 2x）+f（ x）， 函数关于 x= 对称，故 正确 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 数列 前 n 项和， 2（ n N+） （ 1）求 通项公式； （ 2）若 bn=数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；根的存在性及根的个数判断 【分析】 （ ）通过 2 与 1=21 2（ n 2）作差，进而可知数列 首项、公比均为 2 的等比数列 ，计算即得结论； （ ）通过（ ）得 n 2n，进而利用错位相减法计算即得结论 【解答】 解：（ ）依题意， 2， 1=21 2（ n 2）， 两式相减得： 1， 又 2，即 ， 数列 首项、公比均为 2 的等比数列， 第 12 页（共 17 页） n； （ ）由（ ）得 n 2n， 2+6 22+9 23+3n 2n， 2 22+6 23+3（ n 1） 2n+3n 2n+1， 两式相减得： （ 2+22+23+2n） 3n 2n+1 =3 3n 2n+1 = 3（ n 1） 2n+1 6， +3（ n 1） 2n+1 18 内角 A， B， C 的对边 a， b， c 满足 a2+ac= （ ）求 A 的取值范围； （ ）若 a=2， A= ，求 面积 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由余弦定理得 b2=2 a2+ac= 2 ，因为 a+c b，所以 得出 A 的范围； （ 2）将 A= 和 a=2 分别代入 a2+ac= b2+立方程组解出 b， c，使用 S= 出面积 【解答】 解：（ 1）由余弦定理得 a2=b2+2 b2=2 a2+ac= 2 ， a+c b， 0 A （ 2） a2+ac= 4+2c= b2+ b2+4= 联立方程组 ，解得 b=2 ， c=4 S =2 19已知四棱锥 P 面 菱形， 等边三角形， 0， ， （ 1）证明：平面 平面 （ 2）求二面角 B D 的余弦值 第 13 页（共 17 页） 【考点】 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）取 点 O，连结 导出 而 此能证明平面 平面 （ 2）以 O 为原点， x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 B D 的余弦值 【解答】 证明：（ 1）取 点 O，连结 等边三角形， ，且 由题意知 等边三角形，且 ， 在 ， 面 面 平面 平面 解：（ 2）以 O 为原点， x， y， z 轴，建立空间直角坐标系， 则 O（ 0， 0， 0）， B（ 1， 0， 0）， C（ 0， ， 0）， P（ 0， 0， ）， A（ 1， 0， 0）， D（2， ， 0）， 设 =（ x， y， z）是平面 法向量， =（ 1， ， 0）， =（ 1， 0， ）， 则 ，取 x= ，得 =（ ）， 设平面 法向量 =（ a， b， c）， =（ 0， ， ）， =（ 2， ， ）， 则 ，取 b=1，得 =（ 0， 1， 1） = = ， 由图形得二面角 B D 的平面角为钝角， 二面角 B D 的余弦值为 20甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出 3 人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得 1 分，答错不答都得 0 分，已知甲队 3 人每人答对的概率分别为 ， ，乙队每人答对的概率都是 设每人回答正确与否相互之间没有影响，用 表示甲队总得分 （ ）求随机变量 的分布列及其数学期望 E（ ）； 第 14 页（共 17 页） （ ）求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下，甲队比乙队得分高的概率 【考点】 条件概率与独立事件；离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （ ）由题设知 的可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出 P（ =0）， P（ =1）， P（ =2），P（ =3），由此能求出随机变量 的分布列和数学期望 E（ ） （ ） 设 “甲队和乙队得分之和为 4”为事件 A， “甲队比乙队得分高 ”为事件 B，分别求出 P（ A）， P（ 再由 P（ B/A） = ，能求出结果 【解答】 解：（ ）由题设知 的可能取值为 0， 1， 2， 3， P（ =0） =（ 1 ）（ 1 ）（ 1 ） = ， P（ =1） = （ 1 ）（ 1 ） +（ 1 ） （ 1 ） +（ 1 ）（ 1 ） = ， P（ =2） = + + = ， P（ =3） = = ， 随 机变量 的分布列为： 0 1 2 3 P 数学期望 E（ ） =0 +1 +2 +3 = （ ）设 “甲队和乙队得分之和为 4”为事件 A， “甲队比乙队得分高 ”为事件 B， 则 P（ A） = + += ， P（ = = ， P（ B|A） = = = 21已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的焦点和一个顶点在圆 x2+ 上 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）已知点 P（ 3， 2），若斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 相交于 A、 B 两点，试探讨以 否存在？若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）设椭圆 G 的右焦点为 F（ c， 0），由题意可得： b=c，且 b2+，由此能求出椭圆 G 的方程 第 15 页（共 17 页） （ ）以 底的等腰三角形 在设斜率为 1 的直线 l 的方程为 y=x+m，代入中，得： 38=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线 l 的方程 【解答】 解：（ ）设椭圆 G 的右 焦点为 F（ c， 0）， 由题意可得： b=c，且 b2+， b2=， 故 a2=b2+， 椭圆 G 的方程为 （ ）以 底的等腰三角形 在理由如下 设斜率为 1 的直线 l 的方程为 y=x+m，代入 中， 化简得： 38=0， 因为直线 l 与椭圆 G 相交于 A， B 两点， =1612（ 28） 0， 解得 2 ， 设 A（ B（ 则 ， 于是 中点 M（ 足 = ， 已知点 P（ 3， 2），若以 底的等腰