高等数学第一章的总结课件

高等数学第一章的总结课件 1 函数与极限 高等数学第一章的总结课件 2 性质 闭区间上连续函数 函数 极限 数列极限 函数极限 连续 或间断 内容 高等数学第一章的总结课件 3 一 函数 函数的分类 函数 初等函数 非初等函数 分段函数 有无穷多项等函数 代数函数 超越函数 有理函数 无理函数 有理整函数 多项式函数 有理分函数 分式函数 高等数学第一章的总结课件 4 邻域 高等数学第一章的总结课件 5 绝对值 运算性质 绝对值不等式 高等数学第一章的总结课件 6 函数的特性 有界 无界 1 函数的有界性 高等数学第一章的总结课件 7 数列的有界性 补充内容 1 单调递增且有上界数列必有极限 2 单调递减且有下界数列必有极限 高等数学第一章的总结课件 8 2 函数的单调性 高等数学第一章的总结课件 9 高等数学第一章的总结课件 10 3 函数的奇偶性 偶函数 高等数学第一章的总结课件 11 奇函数 高等数学第一章的总结课件 12 函数的周期性 通常说周期函数的周期是指其最小正周期 高等数学第一章的总结课件 13 典型例题 例 解 高等数学第一章的总结课件 14 例 解 故 高等数学第一章的总结课件 15 思考题 高等数学第一章的总结课件 16 思考题解答 设 则 故 高等数学第一章的总结课件 17 二 极限 函数极限的统一定义 见下表 高等数学第一章的总结课件 18 高等数学第一章的总结课件 19 思考题 高等数学第一章的总结课件 20 思考题解答 左极限存在 右极限存在 不存在 补充结论 高等数学第一章的总结课件 21 小结 高等数学第一章的总结课件 22 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系 得 例 高等数学第一章的总结课件 23 解 例 消去零因子法 高等数学第一章的总结课件 24 例 解 无穷小因子分出法 高等数学第一章的总结课件 25 结论 无穷小分出法 以分母中自变量的最高次幂除分子 分母 以分出无穷小 然后再求极限 高等数学第一章的总结课件 26 例 解 先变形再求极限 高等数学第一章的总结课件 27 例 证明 证 利用夹逼准则 且 由 高等数学第一章的总结课件 28 例 高等数学第一章的总结课件 29 1 求极限 解 原式 2 求极限 提示 原式 左边 右边 高等数学第一章的总结课件 30 故极限存在 例 设 且 求 解 设 则由递推公式有 数列单调递减有下界 故 利用极限存在准则 高等数学第一章的总结课件 31 思考与练习 1 如何判断极限不存在 方法1 找一个趋于 的子数列 方法2 找两个收敛于不同极限的子数列 2 已知 求 时 下述作法是否正确 说明理由 设 由递推式两边取极限得 不对 此处 高等数学第一章的总结课件 32 例 解 高等数学第一章的总结课件 33 意义 高等数学第一章的总结课件 34 定理 意义 1 极限符号可以与函数符号互换 高等数学第一章的总结课件 35 定理 注意 该定理是上个定理的特殊情况 高等数学第一章的总结课件 36 无穷小 量 无穷小的性质 无穷小的比较 常用等价无穷小 两个重要极限 2 1 高等数学第一章的总结课件 37 两个重要极限 或 高等数学第一章的总结课件 38 思考与练习 填空题 1 4 高等数学第一章的总结课件 39 例 求下列极限 提示 高等数学第一章的总结课件 40 令 高等数学第一章的总结课件 41 则有 复习 若 高等数学第一章的总结课件 42 则 2 填空题 1 2 0 高等数学第一章的总结课件 43 极限的计算方法 1 极限的四则运算法则及其推论 2 多项式与分式函数代入法求极限 3 消去零因子法求极限 4 无穷小因子分出法 等价无穷小代换 求极限 5 利用无穷小运算性质求极限 6 利用左右极限求分段函数极限 7 复合函数极限运算法则 尤其利用复合函数连续性 8 利用两边夹逼准则求极限 9 利用罗比达法则求极限 10 利用泰勒公式求极限 11 利用定积分求极限 12 利用无穷级数的性质求极限 高等数学第一章的总结课件 44 思考题 在某个过程中 若有极限 无极限 那么是否有极限 为什么 与 是否有极限 高等数学第一章的总结课件 45 思考题解答 没有极限 假设有极限 有极限 由极限运算法则可知 必有极限 与已知矛盾 故假设错误 高等数学第一章的总结课件 46 思考题 任何两个无穷小都可以比较吗 高等数学第一章的总结课件 47 思考题解答 不能 例当时 都是无穷小量 但 不存在且不为无穷大 故当时 高等数学第一章的总结课件 48 例 解 高等数学第一章的总结课件 49 例 高等数学第一章的总结课件 50 例 高等数学第一章的总结课件 51 思考题 如何做 高等数学第一章的总结课件 52 说明 对于形如 的函数 通常称为幂指函数 如果 那么有 高等数学第一章的总结课件 53 思考题 高等数学第一章的总结课件 54 例 解 原式 例 求 高等数学第一章的总结课件 55 例 解 解法讨论 典型例题 高等数学第一章的总结课件 56 高等数学第一章的总结课件 57 例 高等数学第一章的总结课件 58 例 高等数学第一章的总结课件 59 三 连续与间断 1 函数连续的等价形式 有 2 函数间断点 第一类间断点 第二类间断点 可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点 高等数学第一章的总结课件 60 小结 1 函数在一点连续必须满足的三个条件 3 间断点的分类与判别 2 区间上的连续函数 第一类间断点 左右极限都存在的间断点 第二类间断点 左右极限至少有一个不存在的间断点 间断点 见下图 高等数学第一章的总结课件 61 可去型 第一类间断点 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 高等数学第一章的总结课件 62 闭区间连续函数的性质小结 在 上有最大值与最小值 上可取最大值与最小值之间的任何值 3 若 使 至少存在一个 上有界 在 在 高等数学第一章的总结课件 63 思考题 高等数学第一章的总结课件 64 思考题解答 且 高等数学第一章的总结课件 65 但反之不成立 例 但 高等数学第一章的总结课件 66 例 解 高等数学第一章的总结课件 67 高等数学第一章的总结课件 68 例 证明 讨论 高等数学第一章的总结课件 69 由零点定理知 综上 高等数学第一章的总结课件 70 例设f x 在 a b 内连续 x1 x2 xn是 a