全国历年高考试题真题集_2015年全国高考文科数学试题及答案-新课标2

.;.绝密启用前注意事项：2015 年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学1. 本试卷分第i 卷（选择题）和第ii 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。2. 回答第 i 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3. 回答第ii 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第 i卷（选择题，共60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合a x |1x2 ， b x | 0x 3 ，则 aba (1,3)b (1,0)c (0,2)d (2,3)2. 若 a 为实数，且2ai1i3i ，则 a =a -4b -3c 3d 43. 根据下面给出的2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是2700260025002400230022002100200019002004 年2005 年2006 年2007 年2008 年2009 年2010 年2011 年2012 年2013 年a 逐年比较， 2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著b. 2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效c. 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势d. 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4. 向量 a(1, 1) ， b(1,2) ，则 (2ab)aa -1b 0c 1d 35. 设 sn 等差数列 an 的前 n 项和。若a1 + a3 + a5 = 3 ，则 s5 = a 5b 7c 9d 116. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为a 18b. 17c. 16d. 157. 已知三点a(1,0) ， b(0,3) ， c(2,3) ，则 abc 外接圆的圆心到原点的距离为a 53b. 1 3c. 253d. 438. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术 ”。执行该程序框图，若输入的 a， b 分别为 14，18，则输出的a =a 0b 2c 4d 149. 已知等比数列 ana2 = 满足 a11， a3a5 =44(a41) ，则a 2b 1c 12d 1810. 已知 a，b 是球 o 的球面上两点，aob = 90 ，c 为该球面上的动点。 若三棱锥o abc 体积的最大值为36，则球 o 的表面积为a 36b 64c 144d 256 11如图，长方形abcd 的边 ab = 2 ， bc = 1 ，o 是 ab 的中点， 点 p 沿着边 bc， cd 与 da 运动，记 aob = x。将动点p 到 a， b两点距离之和表示为x 的函数f ( x) ，则y f (x)的图象大致为12. 设函数f ( x)ln(1| x |)1，则使得21xf (x)f (2 x1) 成立的 x 的取值范围是a 1(,1)3b (1(1,),)3c (1 1,)3 3d (,1 )1)(,33第 ii卷（非选择题，共90 分）本卷包括必考题和选考题两部分。第13 题 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 题 第 24 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分。13. 已知函数f ( x)3ax2 x 的图象过点(1,4) ，则 a = 。14. 若 x， y 满足约束条件x y2 xy5010 ，则 z2xy 的最大值为 。x2 y1015. 已知双曲线过点(4,3) ，且渐近线方程为y1x ，则该双曲线的标准方程为 。216. 已知曲线yxln x 在点 (1,1)处的切线与曲线y ax2(a2) x1相切，则a = 。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分12 分）abc 中， d 是 bc 上的点， ad 平分 bac， bd=2dc 。（ 1）求 sinb ；sinc（ 2）若bac60 ，求b。18（本小题满分12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 a ，b 两地区分别随机调查了40 个用户， 根据用户对产品的满意度评分， 得到 a 地区用户满意度评分的频率分布直方图和b 地区用户满意度评分的频数分布表。a 地区用户满意度评分的频率分布直方图频率 /组距0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005o405060708090100满意度评分b 地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数2814106（ 1）在答题卡上作出b 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；b 地区用户满意度评分的频率分布直方图频率/ 组距0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005o5060708090100满意度评分（ 2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区的满意度等级为不满意的概率大？说明理由19（本小题满分12 分）如图， 长方体 abcd a1 b1c1d 1 中，ab = 16，bc = 10，aa1 =8，点 e，f 分别在 a1b1，d 1c1 上， a1e = d 1f = 4 ，过点 e， f 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（ 1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（ 2）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值。20（本小题满分12 分）d 1fc1ba1e1dcab2222已知椭圆 c： xyab1(ab20) 的离心率为2，点 (2,2) 在 c 上。（ 1）求 c 的方程；（ 2）直线 l 不过原点o 且不平行于坐标轴，l 与 c 有两个交点a， b，线段 ab 的中点为m。证明：直线 om 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值。21（本小题满分12 分）已知函数f ( x)ln xa (1x) 。（ 1）讨论f ( x)的单调性；（ 2）当 f (x) 有最大值，且最大值大于2a - 2 时，求 a 的取值范围。请考生在第22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号a22（本小题满分10 分）选修 4 - 1：几何证明选讲g如图， o 为等腰三角形abc 内一点， o 与 abc 的底边 bc 交于 m， n 两点，与底边上的高ad 交于点 g，且与 ab， ac 分别相切efo于 e， f 两点。（ 1）证明： ef bc；bmdnc（ 2）若 ag 等于 o 的半径，且aemn23 ，求四边形ebcf 的面积。23（本小题满分10 分）选修 4 - 4：坐标系与参数方程x在直角坐标系xoy 中，曲线 c1 ：yt cost sin（ t 为参数， t 0），其中 0 cd；则abcd ；（ 2）abcd 是| ab | | cd | 的充要条件。参考答案一选择题（ 1）a（2） d（ 3）d（4） c（ 5） a（6） d（ 7）b（8） b（ 9）c（10） c（ 11） b（12） a二填空题x2（ 13） -2（14） 8（ 15）4y21（ 16） 8三解答题（17） 解：（）由正弦定理得adbd,addcsinbsinbadsincsincad因为 ad 平分bac , bd2 dc ，所以sin sinb dc1c bd2（）因为c180(bacb),bac60 ，所以sincsin(bacb)3 cosb1 sinb22由（）知2sinbsinc ，所以tanb3 ，即b303（18） 解：（）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，b 地区用户满意度评分的平均值高于a 地区用户满意度评分的平均值；b 地区用户满意度评分比较集中，而a 地区用户满意度评分比较分散。（） a 地区用户的满意度等级为不满意的概率大。记 ca 表示事件：“a 地区用户的满意度等级为不满意”； 记 cb 表示事件：“b 地区用户的满意度等级为不满意” 。由直方图得p(ca )的估计值为(0.010.020.03)100.6p(cb ) 的估计值为(0.0050.02)100.25所以 a 地区用户的满意度等级为不满意的概率大。（19） 解：（）交线围成的正方形ehgf 如图：（）作 emab ，垂足为m ，则ama1 e4, eb112, emaa18因为 ehgf 为正方形，所以ehefbc10于是 mheh 2em 26, ah10, hb6因为长方体被平面分成两个高为10 的直棱柱，所以其体积的比值为97（ 7 也正确）9（20） 解：a2b2242（）由题意有a,1 ，2a 2b22解得 a28, b422所以 c 的方程为xy184（）设直线l : ykxb(k0, b0),a( x1,y1 ), b( x2 , y2 ), m ( xm , ym )22将 ykxb 代入 xy1 得84(2 k21) x24kbx2b 280故 xx1x22kb, ykxbbm22k 21mm2 k21于是直线om 的斜率y mkomxm11，即 komk2k2所以直线om 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值。（21） 解：（）f (x) 的定义域为(0,), f1(x)ax若 a0 ，则 f( x)0 ，所以f ( x) 在 (0,) 单调递增若 a0 ，则当111单调递增，在1x(0,) 时， f a(x)0 ；当 x(,)a时， f( x)0 。所以f ( x)在 (0,)a(,) 单调递减。a（）由（）知，当a0 时，f ( x)在 (0,) 无最大值；当a0 时，f (x) 在 x1取得最大a值，最大值为111f ()ln()a (1)ln aa1aaa因此1f ()2a a2 等价于 ln aa10令 g(a)ln aa1 ，则g (a) 在 (0,) 单调递增，g (1)0于是，当 0a1时，g(a)0 ；当 a1 时，g( a)0因此， a 的取值范围是(0,1)（22） 解：（） 由于abc 是等腰三角形，adbc ，所以 ad 是cab的平分线又因为o 分别与 ab ，ac 相切于点e，f，所以 aeaf ，故 adef从而 ef/ bc（）由（）知，aeaf ， adef ，故 ad 是 ef 的垂直平分线. 又 ef 为o 的弦，所以 o在 ad 上连结 oe ,om ，则 oeae由 ag 等于o 的半径得ao2oe ，所以oae30 ，因此abc 和aef 都是等边三角形因为 ae23 ，所以 ao4, oe2因为 omoe2, dm1 mn23 ，所以 od1，于是 ad5, ab1033所以四边形ebcf 的面积为1(103 )231(23) 231632232223（23） 解：2（） 曲线 c2 的直角坐标方程为xy22 y0 ，曲线c3 的直角坐标方程为xy223 x0 .x2y 22 y0,联立x0,解得x3 ,或2x2y 223x0y0,y3.233所以 c 与 c 交点的直角坐标为(0,0) 和 (23,)22（）曲线c 1 的极坐标方程为(r,0) ，其中 0因此 a 的极坐标为(2sin,) ， b 的极坐标为(23 cos,)所以 | ab | | 2sin23 cos|4 | sin() |3当5时， | ab 6| 取得最大值，最大值为4（24） 解：（）因为(ab )2