【绿色通道】高考数学总复习 76空间向量及其运算课件 新人教A版.ppt

1 空间直角坐标系 1 空间直角坐标系定义在平面直角坐标系xoy中 通过原点o 再作一条数轴z 使之与x轴 y轴都 这样 它们中的任意两条都互相垂直 轴的方向通常这样选择 从z轴的正方向看 x轴的正半轴沿逆时针方向转能与y轴的正半轴重合 这时 我们说在空间建立了一个空间直角坐标系o xyz o叫做坐标原点 垂直 90 2 空间向量的有关概念 1 空间向量 在空间 我们把具有和的量叫做空间向量 其大小叫做向量a的长度或模 记作 a 2 单位向量 长度或模为的向量 3 零向量 长度或模为的向量 4 相等向量 方向且模的向量 5 相反向量 方向且模的向量 大小 方向 相同 相等 相反 相等 1 0 6 共线向量 与平面向量一样 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 则这些向量叫做共线向量或平行向量 a平行于b 记作a b 7 共面向量 平行于同一的向量叫做共面向量 平面 3 空间向量中的有关定理 1 共线向量定理及其推论共线向量定理 空间任意两个向量a b b 0 a b的充要条件是存在实数 使 2 共面向量定理如果两个向量a b不共线 p与向量a b共面的充要条件是存在实数x y使p xa yb a b 3 空间向量基本定理如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在有序数组 x y z 使得p xa yb zc 4 线性运算的运算律 1 加法交换律 2 加法结合律 3 数乘分配律 4 向量对实数加法的分配律 5 数乘向量的结合律 a b b a a b c a b c a b a b a a a a a aob a b 2 数量积及坐标运算已知向量a b 则叫做a b的数量积 记作a b 3 空间向量数量积运算律 结合律 交换律 分配律 a b cos a b a b a b a b a b b a a b c a b a c 6 空间向量的坐标表示及应用设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 1 坐标运算 a b a a b x1 x2 y1 y2 z1 z2 x1 y1 z1 x1x2 y1y2 z1z2 2 坐标应用 共线 a b a b x1 x2 y1 y2 z1 z2 垂直 a b a b 0 x1x2 y1y2 z1z2 0 答案 b 答案 d 3 已知a 2 1 3 b 4 2 x c 1 x 2 若 a b c 则x 解析 a b 2 1 3 x a b c 0 2 x 2 3 x 0 从而x 4 答案 4 思路分析 选定空间不共面的三个向量作为基向量 并用它们表示出指定的向量 是用向量解决立体几何问题的一项基本功 要结合已知和所求 观察图形 联想相关的运算法则和公式等 就近表示所需向量 如此继续下去 直到所有向量都符合目标要求为止 这就是向量的分解 向量运算一定要注意向量的方向 它不同于简单的代数运算 因此 在加法与减法运算中 认清向量的方向是避免出错的关键 答案 d 例2 已知a b c三点不共线 对平面外一点o 在下列条件下 点p是否一定与a b c共面 2 原式变形为 变式迁移2设a b c及a1 b1 c1分别是异面直线l1 l2上的三点 而m n p q分别是线段aa1 ba1 bb1 cc1的中点 求证 m n p q四点共面 例3 如右图所示 已知空间四边形abcd的对角线ac 10 bd 6 m n分别是ab cd的中点 异面直线ac与bd所成的角是60 求mn的长 思路分析 求线段的长度问题 可利用数量积公式的变形式 转化为已知条件求解 变式迁移3如右图所示 在空间四边形oabc中 oa 8 ab 6 ac 4 bc 5 oac 45 oab 60 求oa与bc所成角的余弦值 3 已知a 3 5 4 b 2 1 8 求 a b a与b夹角的余弦值 确定 的值使得 a b与z轴垂直 且 a b a b 53 本题主要运用坐标代入运算即可 特别地 由 3 中 可知 a b与z轴垂直 只需满足 a b的竖坐标为零即 4 8 0即可 可见要使a与某一坐标轴垂直 只要a的相应坐标为零即可 且反之亦成立 1 空间向量的概念及其运算是从平面向量中延伸过来的 要通过类比的方法来掌握 在进行空间向量的线性运算时可以沿用平面向量线性运算的方法 2 空间向量的基本定理与平面向量的基本定理相比较 只是多了一维 在进行向量分解时 通常进行三个方向的分解 3 空间向量坐标的加 减 数乘等线性运算 体现了几个向量之间的关系 通过坐标的线性运算还可以计算空间向量的坐标 空间向量的数乘是判断两个向量共线的依据 常用于证明线线平行 线面平行 面面平行问题 4 求空间向量的问题一般有两种方法 一是选择恰当的向量作为基底 用基向量表示相关向量后进行向量运算 再以图形为