【学海导航】高三数学第一轮总复习 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系课件（2）.ppt

第八章 圆锥曲线方程 8 5直线与圆锥曲线的位置关系 第二课时 题型3圆锥曲线中的定值问题 1 如图 倾斜角为 的直线经过抛物线y2 8x的焦点f 且与抛物线交于a b两点 1 求抛物线的焦点f的坐标及准线l的方程 2 若 为锐角 作线段ab的垂直平分线m交x轴于点p 证明 fp fp cos2 为定值 并求此定值 解 1 设抛物线的标准方程为y2 2px 则2p 8 从而p 4 因此焦点f 0 的坐标为 2 0 又准线方程的一般式为x 从而所求准线l的方程为x 2 2 解法1 如图 作ac l bd l 垂足分别为c d 则由抛物线的定义知 fa ac fb bd 记a b的横坐标分别为xa xb 则解得 类似地 有 fb 4 fb cos 解得记直线m与ab的交点为e 则所以故为定值 解法2 设a xa ya b xb yb 直线ab的斜率为k tan 则直线ab的方程为y k x 2 将上式代入y2 8x 得k2x2 4 k2 2 x 4k2 0 故记直线m与ab的交点为e xe ye 则故直线m的方程为 令y 0 得p的横坐标故从而为定值 点评 探求有关定值问题 一是可以转化为求值问题来解 二是可以考虑特殊情况时的解 如图 已知点f 1 0 直线l x 1 p为平面上的动点 过p作直线l的垂线 垂足为q 且 1 求动点p的轨迹c的方程 2 过点f的直线交轨迹c于a b两点 交直线l于点m 已知试推断 1 2是否为定值 并说明理由 解 1 设点p x y 则q 1 y 由得 x 1 0 2 y x 1 y 2 y 化简y2 4x 所以动点p的轨迹c的方程为y2 4x 2 设直线ab的方程为x my 1 m 0 设a x1 y1 b x2 y2 又m 1 联立方程组消去x得y2 4my 4 则 4m 2 16 0 故由得整理得所以为定值 2 已知直线x 2y 2 0经过椭圆c a b 0 的左顶点a和上顶点d 椭圆c的右顶点为b 点s和椭圆c上位于x轴上方的动点 直线as bs与直线l x 分别交于m n两点 1 求椭圆的方程 2 求线段mn的长度的最小值 题型4圆锥曲线中的最值与范围问题 3 当线段mn的长度最小时 在椭圆c上是否存在这样的点t 使得 tsb的面积为 若存在 确定点t的个数 若不存在 说明理由 解 1 由已知得 椭圆c的左顶点为a 2 0 上顶点为d 0 1 所以a 2 b 1 故椭圆c的方程为 2 直线as的斜率k显然存在 且k 0 故可设直线as的方程为y k x 2 从而 由得 1 4k2 x2 16k2x 16k2 4 0 设s x1 y1 则得从而即又b 2 0 故直线bs的方程为由得所以故 又k 0 所以当且仅当即时等号成立 所以时 线段mn的长度取最小值 3 由 2 可知 当mn取最小值时 此时bs的方程为x y 2 0 所以要使椭圆c上存在点t 使得 tsb的面积等于 只须t到直线bs的距离等于 所以t在平行于bs且与bs距离等于的直线l 上 设直线l x y t 0 则由解得或 当时 由得5x2 12x 5 0 由于 44 0 故直线l 与椭圆c有两个不同的交点 当时 由得5x2 20 x 21 0 由于 20 0 故直线l 与椭圆c没有交点 综上所述 当线段mn的长度最小时 椭圆上仅存在两个不同的点t 使得 tsb的面积等于 点评 最值与范围问题一般涉及到参变量问题 应先把所求的问题转化为某参数的代数式 或函数式 然后利用求最值的方法求解 注意最值与特殊情况时的取值之间的联系 已知椭圆c 的离心率为 短轴一个端点到右焦点的距离为 1 求椭圆c的方程 2 设直线l与椭圆c交于a b两点 坐标原点o到直线l的距离为 求 aob面积的最大值 解 1 设椭圆的半焦距为c 依题意所以b 1 所以所求椭圆方程为 拓展练习 2 设a x1 y1 b x2 y2 当ab x轴时 ab 当ab与x轴不垂直时 设直线ab的方程为y kx m 由已知得把y kx m代入椭圆方程 整理得 3k2 1 x2 6kmx 3m2 3 0 所以 所以当k 0时 当且仅当即时等号成立 当k 0时 ab 3 综上所述 ab max 2 所以当 ab 最大时 aob面积取最大值 1 过椭圆 a b 0 的右焦点f 作斜率为1的直线l交椭圆于a b两点 o为原点 已知与向量a 3 1 共线 1 求椭圆的离心率 2 设m为椭圆上任意一点 且 r 证明 2 2为定值 解 1 设点f c 0 则直线l的方程为y x c 代入椭圆方程 整理得 a2 b2 x2 2a2cx a2c2 a2b2 0 设点a x1 y1 b x2 y2 则因为与a 3 1 共线 所以3 y1 y2 x1 x2 0 即3 x1 x2 2c x1 x2 0 所以于是解得a2 3b2 所以 2 因为a2 3b2 所以椭圆方程可化为x2 3y2 3b2 由题设 x1 x2 y1 y2 因为点m在椭圆上 所以 x1 x2 2 3 y1 y2 2 3b2 即 2 x12 3y12 2 x22 3y22 2 x1x2 3y1y2 3b2 因为a b两点在椭圆上 所以x12 3y12 3b2 x22 3y22 3b2 又x1x2 3y1y2 x1x2 3 x1 c x2 c 4x1x2 3 x1 x2 c 3c2 所以 2 3b2 2 3b2 3b2 即 2 2 1 为定值 2 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回实验 设计方案如右图 航天器运行 按顺时针方向 的轨迹方程为变轨 即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线 后返回的轨迹是以y轴为对称轴 m 0 为顶点的抛物线的实线部分 降落点为d 8 0 观测点a 4 0 b 6 0 同时跟踪航天器 1 求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程 2 试问 航天器在x轴上方时 观测点a b测得离航天器的距离分别为多少时 应向航天器发出变轨指令 解 1 设抛物线方程为易得所以曲线的方程为 2 设变轨点为c x y 根据题意可知 易得4y2 7y 36 0 解得y 4或y 不合题意 舍去 所以y 4 所以得x 6或x 6 不合题意 舍去 所以点c的坐标为 6 4 则 ac bc 4 所以 当观测点a b测得离航天器的距离分别为 时 应向航天器发出变轨指令 1 对于圆锥曲线中的定点 定值问题 一般利用方程思想转化为求值问题来解决 2 对于求曲线方程中参数的取值范围问题 需构造参数满足的不等式 通过求不等式 组 求得参数的取值范围 或建立关于参数的目标函数 转化为函数的值域 3 对于圆锥曲线的最值问题 解法常有两种 当题