四川成都高中数学4.2.1直线与圆的位置关系课件1理新人教A必修2

4 2 1直线与圆的位置关系 1 一艘轮船在沿直线返回港口的途中 接到气象台的台风预报 台风中心位于轮船正西70km处 受影响的范围是半径长为30km的圆形区域 已知港口位于台风中心正北40km处 如果这艘轮船不改变航线 那么它是否会受到台风的影响 为解决这个问题 我们以台风中心为原点O 东西方向为x轴 建立如图所示的直角坐标系 其中取10km为单位长度 一 实例引入 问题 一 实例引入 问题 轮船航线所在直线l的方程为 问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点 这样 受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆的方程为 想一想 平面几何中 直线与圆有哪几种位置关系 平面几何中 直线与圆有三种位置关系 1 直线与圆相交 有两个公共点 2 直线与圆相切 只有一个公共点 3 直线与圆相离 没有公共点 二 直线与圆的位置关系 问题 判断直线与圆位置关系的方法 方法一 直线 Ax By C 0 圆 x2 y2 Dx Ey F 0消元一元二次方程方法二 直线 Ax By C 0 圆 x a 2 y b 2 r2d 1 判断直线与圆位置关系的方法 1 几何方法解题步骤 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 作判断 当d r时 直线与圆相离 当d r时 直线与圆相切 当d r时 直线与圆相交 把直线方程化为一般式 圆的方程化为标准式 求出圆心和半径 比较 几何法比代数法运算量少 简便 弦长 题型一 如图 已知直线l 3x y 6 0和圆心为C的圆x2 y2 2y 4 0 判断直线l与圆的位置关系 如果相交 求它们的交点坐标及弦长 圆的弦长的求法几何法 用弦心距 半径及半弦构成直角三角形的三边设圆的半径为r 弦心距为d 弦长为L 则2 r2 d2 题型二 若直线与圆相交 求弦长问题 解弦心距 半弦及半径构成的直角三角形 设圆心O 0 0 到直线的距离为d 则 2 已知直线y x 1与圆相交于A B两点 求弦长 AB 的值 练习 求直线3x 4y 2 0被圆截得的弦长 例2 已知过点M 3 3 的直线l被圆x2 y2 4y 21 0所截得的弦长为 求直线l的方程 利用几何性质 求弦心距 然后用点到直线的距离求斜率 X 2y 9 0 或2x y 3 0 题型三 最长弦 最短弦问题 题型五 判断点的个数问题 练习1 已知圆 直线l y x b 求b的取值范围 使 1 圆上没有一个点到直线l的距离等于1 2 圆上恰有一个点到直线l的距离等于1 3 圆上恰有两个点到直线l的距离等于1 4 圆上恰有三个点到直线l的距离等于1 5 圆上恰有四个点到直线l的距离等于1 题型六 数形结合问题 7 若直线y x k与曲线恰有一个公共点 则k的取值范围是 题型三 求圆的切线方程的常用方法 复习点与圆的位置关系 判断切线的条数 题型三 求圆的切线方程的常用方法 1 若点P x0 y0 在圆C外 过点P的切线有两条 这时可设切线方程为y y0 k x x0 利用圆心C到切线的距离等于半径求k 若k仅有一值 则另一切线斜率不存在 应填上 也可用判别式 0求k的值 2 若点P x0 y0 在圆C上 过点P的切线只有一条 利用圆的切线的性质 求出切线的斜率 k切 代入点斜式方程可得 也可以利用结论 若点P x0 y0 在圆x2 y2 r2上 则过该点的切线方程是x0 x y0y r2 若点P x0 y0 在圆 x a 2 y b 2 r2上 则过该点的切线方程是 x0 a x a y0 b y b r2 2 已知圆的方程是x2 y2 r2 求经过圆上一点M x0 y0 的切线方程 解 如右图所示 设切线的斜率为k 半径OM的斜率为k1 因为圆的切线垂直于过切点的半径 于是 例1 求过一点P 3 2 的圆x2 y2 2x 的切线方程 解 设所求直线为 利用点到直线距离公式 即所求直线为 提问 上述解题过程是否存在问题 X 3是圆的另一条切线 注意 1 在求过一定点的圆的切线方程时 应首先判断这点与圆的位置关系 若点在圆上 则该点为切点 切线只有一条 若点在圆外 切线应有两条 若点在圆内 无切线 2 设直线的方程时 切记千万要对直线的斜率存在与否进行讨论 若存在 则经常设直线的方程为点斜式 若不存在 则特殊情况特殊对待 小结 求圆的切线方程一般有两种方法 几何法 设切线方程为y