常微分方程第一章.doc

第一章 一阶微分方程1.1学习目标：1. 理解微分方程有关的基本概念, 如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等的定义和提法. 掌握处理微分方程的三种主要方法: 解析方法, 定性方法和数值方法.2. 掌握变量分离法，用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程的猜测检验法, 常数变易法和积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解和掌握一阶线性方程的通解结构和性质. 3. 能够大致描述给定一阶微分方程的斜率场, 通过给定的斜率场描述方程解的定性性质; 理解和掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单的近似计算.4. 理解和掌握一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解的存在性与唯一性并解决与之相关的问题, 了解解对初值的连续相依性和解对初值的连续性定理, 理解适定性的概念.5. 理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线的概念, 能够画出给定自治方程的相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解的渐近行为.6. 理解和掌握一阶单参数微分方程族的分歧概念, 掌握发生分歧的条件, 理解和掌握各种分歧类型和相应的分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族的分歧图解, 利用分歧图解分析解的渐近行为随参数变化的状况.7. 掌握在给定的假设条件下, 建立与实际问题相应的常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型的各种分析. 1.2基本知识：(一) 基本概念1. 什么是微分方程: 联系着自变量、未知函数及它们的导数（或微分）间的关系式（一般是指等式），称之为微分方程.2. 常微分方程和偏微分方程:(1) 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方程,例如 , .(2) 如果在微分方程中，自变量的个数为两个或两个以上，则称这种微分方程为偏微分方程. 例如 , .本书在不特别指明的情况下, 所说的方程或微分方程均指常微分方程.3. 微分方程的阶数: 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数. 例如， 是二阶常微分方程；与是二阶偏微分方程.4. n阶常微分方程的一般形式：,这里是的已知函数，而且一定含有的项；是未知函数，是自变量.5. 线性与非线性： （1） 如果方程的左端是及的一次有理式，则称为n阶线性微分方程. （2） 一般n阶线性微分方程具有形式： 这里, ,是的已知函数.（3）不是线性方程的方程称为非线性方程.（4） 举例：方程是二阶线性微分方程；方程是二阶非线性微分方程；方程是一阶非线性微分方程.6. 解和隐式解：如果将函数代入方程后，能使它变为恒等式，则称函数为方程的解. 如果关系式决定的隐函数是方程的解，则称为方程的隐式解.7. 通解与特解：把含有n个独立的任意常数的解 称为n阶方程的通解. 其中解对常数的独立性是指，对及其 阶导数关于个常数 的雅可比行列式不为0, 即 .为了确定微分方程一个特定的解，通常给出这个解所必须满足的条件，称为定解条件.常见的定解条件是初始条件, 阶微分方程的初始条件是指如下的个条件： ，这里是给定的n+1个常数. 求微分方程满足定解条件的解，就是所谓定解问题. 当定解条件为初始条件时，相应的定解问题称为初值问题. 把满足初始条件的解称为微分方程的特解. 初始条件不同，对应的特解也不同.(二) 解析方法1变量分离方程 形如的方程为变量分离方程，其中分别为的连续函数.方程解法如下：若，则 上式确定方程的隐式通解. 如果存在，使得，则也是方程的解. 2. 可化为变量分离方程的方程(1) 齐次方程形如 的方程为齐次方程，为的连续函数.解法如下：做变量替换，即，有，从而原方程变为，整理有，此为变量分离方程，可求解.(2) 形如的方程, 其中为常数.l 的情形.此时方程化为可解得.l 即的情形: 令 则有 此为变量分离方程.l 的情形对的情况, 直接做变量替换.当不全为零, 求 的解为 .令 , 则方程组化为 .原方程化为 的齐次方程可求解.3一阶线性微分方程(1) 一般形式：，若，则可写成 的形式.(2) 一阶齐次线性微分方程：，通解为为任意常数.(3) 一阶非齐次线性微分方程：，.(4) 齐次线性微分方程的性质性质1 必有零解 ;性质2 通解等于任意常数与一个特解的乘积;性质3 任意两个解的线性组合也是该微分方程的解.(5) 非齐次线性微分方程的性质性质1 没有零解;性质2 非齐次方程的解加上对应齐次方程的解仍为非齐次方程的解;性质3 任意两个非齐次方程的解的差是相应齐次方程的解.(6) 一阶非齐次线性微分方程的解法：(i) 猜测-检验法对于常系数的情形，即 为常数, 此时方程为, 为常数. 对应齐次方程的通解为, 只需再求一个特解, 这时根据为特定的函数, 可猜测不同的形式特解. 事实上, 当, 为给定常数, 且时可设待定特解为, 而当时, 可设特解形式为, 后代入方程可确定待定常数. 当为或它们的线性组合时, 其中为给定常数. 这时可设待定特解为代入方程后确定的值. 当 具有多项式形式, 其中为给定常数且, 这时可设待定特解为代入方程可求得的值. 对于有上述几种线性组合的形式, 则可设待定特解是上述形式特解的线性组合.(ii) 常数变易法: 令，代入方程，求出后可求得通解为.(iii) 积分因子法:方程改写为 , 将, 乘方程两端得 即 , 从而通解为，即 .注意, 非齐次线性微分方程通解的结构是: 非齐次线性微分方程的通解等于其对应的齐次线性微分方程的通解加上非齐次线性微分方程的一个特解.4. 伯努利(Bernoulli)方程. 形如 的方程, 其中 是常数且是连续函数, 称为伯努利方程. 伯努利方程可通过变量替换 化为 ,这是关于未知函数的线性方程, 可求其通解.(三) 定性方法与数值方法：1. 斜率场：一阶微分方程的解代表平面上的一条曲线，称之为微分方程的积分曲线. 微分方程的通解对应于平面上的一族曲线，称之为微分方程的积分曲线族. 满足初始条件的特解就是通过点的一条积分曲线. 方程的积分曲线上的每一点处的切线斜率刚好等于函数在这点的值. 也就是，积分曲线的每一点以及这点上的切线斜率恒满足方程；反之，如果在一条曲线每点上其切线斜率刚好等于函数在这点的值，则这一条曲线就是方程的积分曲线. 这样，可以用在平面的某个区域内定义过各点的小线段，其斜率为，一般称这样的小线段为斜率标记. 而对平面上内任一点, 有这样一个小线段与之对应, 这样在内形成一个方向场, 称为斜率场. 斜率场是几何直观上描述解的常用方法2. 欧拉方法：求微分方程初值问题 的解，可以从初始条件出发，按照一定的步长 依照某种方法逐步计算微分方程的近似解, 这里这样求出的解称为数值解. 利用欧拉公式 ,可求初值问题的近似解，这种方法称为欧拉方法.欧拉方法具有一阶误差精度 .如果我们先用欧拉公式求出近似解,再利用梯形公式进行校正, 得到的近似解将具有2阶误差精度, 具体为 预测: , 校正: ,这种方法称为改进的欧拉方法.(四) 解的存在性、唯一性及解对初值的连续相依性1. 利普希茨（lipschitz）条件: 函数称为在区域内关于满足利普希茨条件，是指如果存在常数，使得不等式 对于所有的都成立, 其中称为利普希茨常数.2. 基本定理(1) 解的存在性定理: 设在矩形区域内连续. 如果, 那么，存在 和函数, 定义于区间内，是初值问题 的解.(2) 解的唯一性定理: 设在矩形区域内连续且关于满足利普希茨条件. 如果并且是初值问题在区间内的两个解，那么对任意的,即解是唯一的.注记1: 存在性定理和唯一性定理结合在一起称为初值问题解的存在唯一性定理，叙述如下：设在矩形区域内连续且关于满足利普希茨条件. 如果, 那么，存在 和函数, 定义于区间内，是初值问题 的唯一解. 因而当我们判断初值问题解的存在唯一性时，要检查 需要满足的条件.注记2: 由于利普希茨条件较难检验，常用在上对有连续偏导数来代替. 事实上，如果在上存在且连续，则在上有界. 设在上, 这时 ,其中 . 但反过来满足利普希茨条件的函数不一定有偏导数存在. 例如 在任何区域内都满足利普希茨条件，但它在处没有导数.(3) 解对初值的连续相依性定理设在矩形区域内连续且关于满足利普希茨条件. 如果，是初值问题在区间内的解，其中 ,那么，对任意给定的，必能找到正数，使得 当时，初值问题的解在区间内也有定义，并且 .(4) 解对初值的连续性定理设在矩形区域内连续且关于满足利普希茨条件. 如果，是初值问题的解, 那么作为的三元函数在它存在的范围内是连续的.3. 初值问题的适定性当一个微分方程初值问题的解存在, 唯一并且解连续的依赖于初始条件时, 我们称该问题是适定的. 那么, 对于常微分方程初值问题, 只要在 所在的区域内, 连续并且关于满足利普希茨条件, 则该初值问题是适定的.(五) 自治方程的平衡点与相线1. 自治方程当一阶微分方程的右端项只是的函数而与自变量无关, 即时, 称为自治方程.2. 平衡解与平衡点对自治方程而言, 若有解, 则称 是方程的平衡解, 而点称为方程的一个平衡点.3. 相线相线是仅仅对自治方程而言的一种简化的斜率场. 自治方程的斜率场在水平直线上的斜率标记是一样的, 这样只要知道一条竖直直线上的斜率标记, 我们就可以知道整个斜率场. 因而, 在一个竖直的直线上, 我们用向上的箭头表示正的导数, 用向下的箭头表示负的导数. 对于导数为零的点, 用实心圆点来标记它, 则形成该自治方程的相线.4. 画相线的基本步骤(1) 画出-线(竖直线),(2) 找到并在-线上标记平衡点,不连续点或定义域外的点(3) 找到的区间, 在这些区间上画上向上的箭头,(4) 找到 的区间, 在这些区间上画上向下的箭头.5. 初值问题 解的渐近行为(1) 趋向于平衡点, 如;(2) 在无限时间内趋于无穷, 如;(3) 在有限时间内趋于无穷(爆破), 如;(4) 在有限时间内停止(导数趋于无穷), 如 .6. 平衡点的分类对于自治方程, 如果 在 内连续, 那么它的解当 增加时要么(在有限或无限时间里)趋于或, 要么渐近趋于平衡点. 因而,平衡点在自治方程的研究中起着重要的作用.(1) 汇对于初值接近 的解, 当 增加时, 都渐近趋于. 对于这样的平衡点, 我们称之为汇, 它是稳定的.(2) 源对于初值接近的解, 当 增加时, 都远离. 对于这样的平衡点, 我们称之为源,它是不稳定的.(3) 结点既不是源也不是汇的平衡点, 我们称之为结点,它也是不稳定的.7. 判断平衡点类型的线性化方法1. 如果 是自治方程的一个平衡点, 即, 那么(1) 是源当且仅当 在 附近严格单调增加;(2) 是汇当且仅当 在附近严格单调递减.2. (线性化定理) 如果 是自治方程的一个平衡点, 即,并且是连续可微的, 那么(1) 若 则 是源;(2) 若, 则是汇;(3) 若, 则需要进一步的信息决定其类型.(六) 分歧一阶微分方程解的渐近行为随参数变化发生了类型的变化, 我们称之为分歧现象(或分支, 分叉).1. 分歧发生的条件对于单参数微分方程族, 是一个分歧值的必要条件是: 存在平衡点, 使得 . 这样我们要找分歧点可以通过求解方程组, 得到解 ,为可能的分歧值, 而是可能发生分歧的平衡点.2. 分歧图解与分歧类型分歧图解是 平面上方程在分歧值附近的所有相线的图, 用以强调当参数经过分歧值时相线所经历的变化.(1) 鞍结点分歧在分歧图解(图1-1)中, 当从左到右经过分歧值时, 方程的平衡点从两个变为一个再变为不存在, 这种分歧一般称之为鞍结点分歧. 这类分歧图解在分歧值附近是抛物线的形状(2) 在分歧图解(图1-2)中,当从右到左经过分歧值时, 方程的平衡点由三个变为一个, 这种分歧一般称之为音叉分歧. 图 1-1 鞍结点分歧 图 1-2 音叉分歧 图 1-3 跨越分歧 图 1-4 复合分歧(3) 在分歧图解(图1-3)中, 当 时, 方程有一个平衡点; 当 时, 方程有两个平衡点. 是一个分歧值. 虽然在分歧值的两侧方程都有两个平衡点，但平衡点的稳定性会改变. 当 时, 是一个汇,它是稳定的; 当时, 是一个源,它是不稳定的. 这类分歧一般称为跨越分歧.(4) 在分歧图解(图1-4)中, 当 从左到右变化时,相应的方程平衡点依次由一个变为两个,三个,两个再变回一个, 这种分歧一般称之为复合分歧.(七) 一阶微分方程的应用1. 增长和衰减问题设 为正在增长或衰减的某研究对象的总量. 如果假设它随时间的变化率与当前数目成正比, 其比例系数为 , 则有 , 或 . 设可微, 因而是连续函数. Malthus 人口模型满足上述微分方程, 虽然对人口问题, 是离散的, 只能取整数值, 但该模型系统在一定情况下提供了很好的近似 对某一生物种群进行研究时, 该生物种群的增长往往受资源和环境的限制, 引进参量, 称为最大承载量, 用以表示自然资源和环境条件所能容纳的最大数量, 并且假定（1）当基数很小时，增长率与当前数成正比；（2）当基数很大，达到资源和环境不能承受的时候，数量开始减少，即增长率为负的.此时方程可改写为,称为具有增长率和最大承载量的Logistic 模型，该模型最早由荷兰生物学家 Verhulst在1838年提出.2. 温度问题 牛顿冷却定律(亦适应于加热的情况)说明物体的温度随时间的变化率与物体所处的周围环境的温差成正比, 设 是物体的温度, 是所处环境的温度, 那么物体温度随时间的变化率为, 牛顿冷却定律可表示为,其中是正的比例系数, 而负号表示在冷却过程中, 物体温度 大于周围环境温度, 变化率. 在加热过程中, 此时.3. 稀释问题 一容器最初容纳升盐水溶液, 其中含盐 克. 每升含盐 克的盐水溶液以升/分的速度注入,同时, 搅拌均匀的溶液以升/分的速度流出, 问在任何时刻 , 容器中的含盐量.设 为任何时刻容器中的含盐量. 的变化率等于盐的注入率减去流出率. 盐的注入率是 克/分. 要决定流出率, 首先计算在时刻, 容器中的溶液的体积, 它等于最初的体积加上注入的体积 后减去流出的体积. 因此, 在任一时刻, 盐水的体积是 . 在任何时刻的浓度是 , 由此得流出率为 /分.于是得到微分方程 , 即 , 这是一个一阶线性方程.4. 电路 一个简单的 回路是包含有电阻(欧姆), 电容(法拉)和电源(伏特),如图1-5. 图1-5 电路 图1-6 电路由电路学知识，的电压 与电阻的电压之和应为电源的电压. 电路中的电流(安培)为 , 其中 为电量从而 处的电压为 , 由此我们可以建立电路的模型如下：, 即 .对于一个包含有电阻(欧姆), 电感 (亨利)和电源(伏特)的回路,如图1-6. 电路中的电流应满足的基本方程为 .(八) 种群生态学中的模型设表示一个生物种群的数量, 为时间, 最简单的种群模型是 Malthus 模型.Malthus模型的解预测了种群数量的指数增长.由于种群数量大的时候，对资源的竞争加剧，因此单位增长率会随种群数目增大而减小，因此更为合理的假设是 (*)这里是单位增长率，因为为增长率，是种群数量, 而. 当考虑种群数量的变化时.对而言, 其代数形式并不重要, 而关键是其单调性, 凸凹性, 这样我们可以对其进行大致分类:(1) 若在上是递减的，称(*)为 Logistic 型；(2) 若在上是先增后减的，称(*)为 Allee 效应型；(3) 若在上是递减再递增最后递减的，称(*)为 Hysteresis 型.1.3典型例题：例1 考虑微分方程 , 问(1) 为何值时, 将保持不变?(2) 为何值时, 将增加?(3) 为何值时, 将减少?解: 因为当时, 将保持不变; 当时, 将增加; 当时, 将减少. 由知, (1) 当, 即时, 将保持不变.(2) 当, 即 或 时, 将增加.(3) 当, 即 或 时, 将减少.例2 假定在鄱阳湖中一种鱼类的数量随时间的变化按Logistic 模型增长, 增长率为, 最大承载量为, 即有 . 如果每年要从湖中捕获一定量的鱼, 试按下述不同情形对模型做适当修改,(1) 每年捕获10吨?(2) 每年捕获总量的三分之一?(3) 捕获量与总量的平方根成正比? 解: (1) . (2) . (3) , 其中 是捕获量与总量平方根的比例系数.例3 求解方程解：变量分离得 . 两边积分 . 通解为 , 为任意正常数.例4 求解方程解：变量分离得 ,两边积分 .即 , 为任意常数,整理得, 为任意正的常数.例5 求解方程.解: 将方程改写为 , 这是齐次方程,做变量替换，即，有，从而原方程变为即利用分离变量法求得 , 代回原变量得通解为 , 为任意常数例6 求解方程.解: 方程改写为 令，则，从而当时，, ,即 , 为任意常数此外，还有解，即例7 求解方程 解: 解方程组 的解 为 .令 , 则原方程化为 . 令 ,则可化为变量分离方程 解得 , 代回原变量 有 , 为任意常数.例8 求解方程 , 其中(1) ,(2) (3) (4) (5) 解: 对应齐次方程的通解为 , 下面用猜测-检验法求特解(1) 设 代入 , 有 解得 , 从而, 原方程的通解为 , 为任意常数.(2) 设 代入 , 有 解得 , 从而, 原方程的通解为 , 为任意常数.(3) 不能设形式的特解, 因为它是相应齐次方程的解,不可能是非齐次方程的解, 设 代入 , 有 解得 , 从而, 原方程的通解为 , 为任意常数.(4) 设 代入 , 有 有 , 解得 , 从而, 原方程的通解为 , 为任意常数. (5) 根据叠加原理, 由前面4个小题知方程有特解 原方程的通解为,为任意常数.例9 求方程的通解.解: 将方程改写为.求齐次线性微分方程 , 得通解为. (常数变易法) 令 代入原方程 得, 从而可得原方程的通解为 , 为任意常数.例10 求方程的通解.解: 此为 的伯努利方程. 令 可得 ，此为线性方程可求通解为 , 代回原变量得, 即 , 为任意常数.此外, 原方程还有解.例11 用积分因子法求解方程 .解: 方程改写为 , 积分因子为 , 乘方程两端得 , 即 , 有 , 为任意常数.例12 若连续且, 试求函数 的一般表达式.解: 设, 则可导且, 这样有, 得 , 又, 得. 从而 ,进而 .例13 求具有性质 的函数 , 已知存在.解: 首先令 , 由已知可得 , 化简有 , 知 . 由函数的导数定义 变形为 , 积分得 , 由, 知 , 所以满足条件的函数为 .例14 下面给定8个微分方程和4个斜率场, 请选出斜率场相应的微分方程, 并说明理由.(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 图1-7 图1-8 图1-9 图1-10 解: 图1-7对应于(4), 图1-8对应于(3), 图1-9对应于(2),图1-10对应于(7).这是因为图1-7的斜率场竖直方向上的斜率标记一样, 知方程的右端项仅是自变量的函数, 且当 , , 当时, , 只有(4)满足要求.图1-8的斜率场知方程右端项为是 的函数, 且当 时, , 只有(3)满足.图1-9的斜率场知方程为自治方程有平衡点 , 且在 时, , 知只有(2)满足要求.图1-10的斜率场知方程右端项为是 的函数, 且有平衡解 , 只有(7)满足要求.例15 利用欧拉方法和改进的欧拉方法, 对步长 , 在区间上求初值问题 的近似解.解: 这里 . 利用欧拉公式, 和 改进的欧拉方法, 预测: ,校正: ,分别计算如下表:欧拉方法改进的欧拉方法预测的校正的真 解00010010.10.10001.01000.10000.10050.100320.20.20101.04040.20150.20300.202730.30.30501.09300.30720.30980.309340.40.41431.17160.41940.42340.422850.50.53151.28250.54130.54700.546360.60.65981.43530.67690.68490.684170.70.80331.64530.83180.84290.842380.80.96781.93661.01401.02991.029690.91.16152.34911.23601.25921.26021011.39642.94991.51791.55371.5574 例16 讨论微分方程 在怎样的区域内满足存在唯一性定理的条件,并求通过点(0, 0) 的一切解.解: 由 , 知它在全平面内连续, 又由于, 在除去的区域内连续, 从而在除去的有界闭区域内有界, 进而满足利普希茨条件, 知方程满足初始条件的解在充分小的邻域内存在并且唯一.当 时, 函数是方程过 (0,0) 的解.当时, 方程可变形为 , 积分得 , 为任意常数.当 时, 得特解 是过 (0,0) 的另一个解, 其实, 除零解外, 过(0,0)的所有解可以表示为, , 其中是满足,的任意常数, 这些解的定义区间为, 但本质上在充分小的邻域 内方程所确定的过(0,0)的解只有四个, 即 函数, 及.例17 举例说明一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理中, 关于在矩形区域内连续,关于满足利普希茨条件是保证解的存在唯一的非必要条件.解: (1) 当连续条件不满足时, 解也可能是存在唯一的. 如方程 ,显然, 在以原点为心的任何矩形区域内不连续, 间断点为直线, 但过原点的解存在唯一, 这个解就是.(2) 当利普希茨条件不满足时, 解也可能是唯一的. 如 ,由于 , 当 无界, 因而在以原点为心的任何矩形领域内不满足利普希茨条件. 然而方程的所有解为 ,为任意常数, 及 .过原点有唯一解 .例18 对微分方程而言, 利用存在唯一性定理, 说明满足下列初始条件的解是否存在, 如果存在你能否知道这个解或有关这个解的一些性质.(1) ， (2) ， (3) , (4) . 解: 由方程的右端项为 仅为 的函数在全平面上连续可微, 从而由存在唯一性定理, 给定初始条件的解是存在并且是唯一的. 首先由知方程有三个平衡解. (1) 初始条件为 , 初值位于的上方, 由唯一性, 满足这个初始条件的解一定大于 , 且 , 知这个解递增, 并且随着的递增, 也递增并且越来越大, 知在增加时, 在有限时间内爆破,趋向于 . 当 减少时, 递减, 并且随着的递减趋于, 也递减趋向于0, 递减越来越来越缓慢, 知 , . (2) 初始条件为 , 而平衡解满足这一初始条件, 由唯一性, 满足这个初始条件的解就是平衡解. (3) 初始条件为 , 初值位于这两个平衡解的中间, 由唯一性, 满足这个初始条件的解一定满足 , 且 由, 知这个解递增, 并且随着的递增, 也递增但随着趋向于, 趋向于0, 增长越来越缓慢, 知, . 同样, , . (4) 初始条件为 , 初值位于的下方, 由唯一性, 满足这个初始条件的解一定小于, 且 , 与前面类似讨论知, 在增加时, 在有限时间内爆破, 趋向于. 当时, .例19 考虑自治微分方程, 其中连续可微. 设是方程的一个解并且在 处取得极值. 若, 试证明.证明: 由于连续可微, 知方程满足存在唯一性定理的条件. 因为是方程的一个解, 必可微, 又因为在 处取得极值, 则由极值的必要条件知, 从而 , 知是方程的一个平衡解, 并且这个解满足初始条件, 而这个解满足同样的初始条件, 由解的唯一性, 知 .例20 指出下列方程的平衡点并说明类型.(1) ,(2) ,(3) ,(4) . 解: (1) 由得平衡点为 和 . 因为, 所以是汇; 而, 所以是源. (2) 由得平衡点为 和 . 当时, , 知为汇; 而, 知为源. 相反, 当时, , 知为源; 而, 知为汇. 同样和都为汇. (3) 总是大于0, 知方程无平衡点. (4) 由 得平衡点, 且当时, , 知, 都为结点.例21 在下列微分方程中找出与所画相线图相应的微分方程.(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 图1-11 解: (a) 对应于(7), (b)对应于(2), (c) 对应于 (6), (d) 对应于(3).例22 找出下列单参数微分方程族的分歧值,指出分歧的类型,并画出在分歧值附近微分方程的相线图.(1) ，(2) ，(3) ,(4) .解: (1) 当 时, 方程有一个平衡点, 当 时, 方程没有平衡点, 当 时, 方程有两个平衡点和, 知是方程的分歧值, 这是鞍结点分歧, 相线如图1-12. (2) 由分歧的必要条件,若为分歧值则满足, 得 或 . 当或时, 方程有一个平衡点, 当 或 时, 方程有两个平衡点和, 当 时, 方程没有平衡点, 知和是方程的分歧值, 在每个分歧值处均为鞍结点分歧. 相线如图1-13. (3) 当 时, 方程有一个平衡点, 当 时, 方程有两个平衡点和, 知是方程的分歧值, 这是跨越式分歧, 相线如图1-14. (4) 由分歧的必要条件,若为分歧值则满足, 得 或. 当, 方程有两个平衡点, 当时,方程也有两个平衡点. 或 时, 方程有一个平衡点, 当 时, 方程有三个平衡点, 知和是方程的分歧值. 这是复合式分歧. 设, 方程的实根为; 时, 方程的实根为; 时, 方程的实根为, 且, 相线如图1-15. 图1-12 图1-13 图1-14 图1-15 例23 找出下列单参数微分方程族的分歧值, 判断分歧类型, 并画出在分歧值附近微分方程的分歧图解.(1) , (2) 解: (1) 由, 解方程组, 得, 当 时, 方程仅有一个平衡点, 当时, 方程有两个平衡点和, 知 是分歧值, 此为跨越式分歧, 如图1-16. 图1-16 的分歧图解 图1-17 的分歧图解 (2) 由, 解方程组, 得, 当 时, 方程仅有一个平衡点, 当时, 方程有三个平衡点和, 知 是分歧值, 此为音叉分歧, 如图1-17.例24 考虑一个特定区域内某一动物物种的增长模型: 设参数长时间内保持固定, 但随之人类涉足这一区域, 使得该物种在这一区域的最大承载量逐渐减少.(1) 设, 对固定的和不同的, 画出函数的草图;(2) 当为何值时, 发生分歧;(3) 当逐渐连续递减趋于分歧值时, 该物种的数量将发生怎样的变化.解: (1) 当 时, 在的图像分别为图1-1821. 图1-18 图1-19 图1-20 图1-21(2) 当 时, 方程有三个平衡解 . 当,方程有两个平衡解 , 知 时发生分歧.(3) 在时, 方程有三个平衡点, 其中是汇, 而是源. 此时当物种的初始数量大于时, 将逐渐趋于平衡解; 当物种的初始数量小于时, 将逐渐趋于平衡解. 而当时,方程有两个平衡点,只有是汇, 而是结点. 当时, 如果物种的数量没有达到最大承载量, 那么, 该物种将逐渐减少而趋向灭亡; 如果物种的数量超过最大承载量, 那么, 该物种将逐渐减少而趋向于最大承载量; 如果物种的数量为,那么物种的数量将长期保持为.例25 某人以每年5% 的利息存款20000元, 复利计算. 求(1) 三年后存折中本息共有多少元?(2) 如果没有续存和提取, 多少年后可使存款增加一倍?解: 设 为在时刻的存款额. 开始时, , 随着利息的积累, 随时间增加而增长, 利息与存折中的数额成正比, 比例系数恰好是利率, 于是, 此时利用增长衰减模型有, 得 . 由初始条件 , 求得 , 这样 , 这是在任何时刻的存款额.(1) 当 时, .(2) 为使存款翻倍则 , 这样 应满足 , 得年.例26 已知菌群的增长速度与当前数量成正比,如果在1小时后数量为1000个, 4小时后为3000个, 求(1) 细菌数在时刻的近似表达式?(2) 一开始有细菌多少?解: (1) 设 为在时刻的细菌数量. 利用增长衰减模型有,为比例系数.方程的解为, 当 时, . 当 时, , 求得, 这样, 这是在任何时刻的细菌的数量表达式.(2) 当 时, , 这是初始时刻细菌的数量.例27 已知放射性同位素以与当前量成正比的速度衰减, 其比例常数仅与该放射性物质有关. 如果最初有该物质50 毫克, 两小时后减少了10%,(1) 求时刻, 该物质的质量表达式?(2) 4 小时后的质量是多少?(3) 对放射性材料而言, 半衰期指的是质量比最初减半所需要的时间, 求该材料的半衰期.解: (1) 设 为在时刻的放射性同位素质量. 则模型为, 为比例系数, 方程的解为 , 由 时, , 得,于是, 又因为 时, , 得 , 因此 .(2) 当 时, (3) 质量减半时 , 得, .例28 一50升的容器中有水10升, 当 时, 每升含盐1克的盐水溶液以每分钟4升的速度注入, 同时,均匀的液体以每分钟2升的速度流出, 试求刚发生溶液溢出时, 容器中的含盐量?解: 设 为任何时刻容器中的含盐量. 的变化率等于盐的注入率减去流出率. 盐的注入率是 4克/分. 要决定流出率, 首先计算在时刻, 容器中的溶液的体积, 它等于最初的体积加上注入的体积 后减去流出的体积. 因此, 在任一时刻, 盐水的体积是 . 在任何时刻的浓度是 , 由此得流出率为 /分. 于是得到微分方程 , 即 , 这是一个一阶线性方程. 积分因子为 , 乘方程两端 得 , 得, 当, , 知 , 因此 . 而注满容器所需时间为 , 从而发生溢出时, 即, 刚发生溶液溢出时, 容器中的含盐量为48克.例29 一个回路中电源为伏特, 电阻为10欧姆, 电感为0.5亨利和初始电流为6安培, 求在任何时刻 , 电路中的电流, 并分析电流的长时间行为?解: 对于一个包含有电阻, 电感和电源的回路电路中的电流应满足的基本方程为 . 此时, 代入得 , 这是非齐次常系数线性方程, 对应齐次方程通解为 ,猜测非齐次方程的一个特解为 代入有 即 , 得 .从而, 因此原方程的通解为 , 又初始电流为6安培, 即当, , 得 , 故在任何时刻, 电路中的电流. 当 时, 所有的解 与 之差的绝对值 , 在这个意义下所有的解都将趋向于稳态电流 这一周期特解.例30 一个电路回路中有电源 伏特, 电阻为 欧姆, 电容 法拉, 电容上没有初始电量, 求任何时刻, 电容器两端的电压和电路中的电流, 并分析其长时间行为?解:设的电压, 由电路学知识，电路的模型如下： , 即 .由 ,得 , 对应齐次方程的通解为, 猜测非齐次方程的一个特解为 代入解得, 知 , 由初始时刻电容无电量知 , 得 ,于是.而电流 .与例29 一样, 当 时, 电容器两端的电压和电路中的电流将分别趋向于稳态电压和稳态电流 .1.4习题答案1. (1) 12150, (2) 2.52.2(1) , (2) , (3) .3. (1) , (2) , (3) .4. 见例1.5. 7071.6. 见例27.7. (1) , (2) , (3) 一样.8. (1) 1065, (2) 17669, (3) 32600, (4) 1689. 见例2.10. (1) 趋向于2000, (2) 鱼的数量递减趋于0.11. .12. .13. (1) 为任意常数. (2) 为任意常数.(3) 为任意常数.(4) 为任意常数.(5) 为任意常数, 此外也是解.(6) 为任意常数.(7) 为任意常数, 此外也是解.(8) 为任意常数.(9) 为任意常数, 此外也是解.(10) 为任意常数.14. (1) .(2) .(3) .(4)