2017学年云南师大附中高三（上）适应性数学试卷（理科）（1）（含解析）

2016-2017学年云南师大附中高三（上）适应性数学试卷（理科）（1）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合，集合，则A，B，C，D2（5分）已知复数在复平面内对应的点为，则复数的模为ABCD23（5分）已知，则与的夹角为ABCD4（5分）圆截直线所得弦的长度为2，则实数ABC4D25（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是A3024B1007C2015D20166（5分）给出下列四个结论：已知直线，则的充要条件为；函数满足，则函数的一个对称中心为，；已知平面和两条不同的直线，满足，则；函数的单调区间为，其中正确命题的个数为A4B3C2D07（5分）已知，且，则的值等于ABCD8（5分）四面体的四个顶点都在球的球面上，平面平面，则球的体积为ABCD9（5分）若、满足条件，且当时，取最大值，则实数的取值范围是AB，CD，10（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为ABCD11（5分）椭圆上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为ABCD112（5分）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为ABCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）设的展开式的常数项是 14（5分）已知是定义在上的偶函数，并满足，当时，则 15（5分）已知曲线且与直线相交于，两点，且为原点），则的值为 16（5分）已知为数列的前项和，若存在唯一的正整数使得不等式成立，则实数的取值范围为 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知是斜三角形，内角、所对的边的长分别为、若（）求角；（）若，且，求的面积18（12分）2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示，天猫元旦当天全天的成交金额为315.5亿元为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了1月1日100名网购者的网购情况，得到如表数据统计表，已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4网购金额（元频数频率，50.05，150.15，250.25，300.3，合计1001.00（1）先求出，的值，再将如图3所示的频率分布直方图绘制完整；（2）对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的购物者中网龄不足3年的有20人，请填写下面的列联表，并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关？网龄3年以上网龄不足3年合计购物金额在2000元以上35购物金额在2000元以下20总计100参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中（3）从这100名网购者中根据购物金额分层抽出20人给予返券奖励，为进一步激发购物热情，在，和，两组所抽出的8人中再随机抽取2人各奖励1000元现金，求，组获得现金将的数学期望19（12分）如图，已知四棱锥中，底面为菱形，平面，分别是，的中点（1）证明：平面；（2）取，若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值20（12分）已知为坐标原点，抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为，在点处的切线交轴于点，直线经过点且垂直于轴（1）求线段的长；（2）设不经过点和的动直线交交点和，交于点，若直线，的斜率依次成等差数列，试问：是否过定点？请说明理由21（12分）函数，（1）若在点，（1）处的切线方程为，求的表达式；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由选做题（请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，圆的半径垂直于直径，为上一点，的延长线交圆于点，过点的切线交的延长线于点，连接，（1）求证：；（2）若，求的长选修4-4：坐标系与参数方程23在极坐标系中，已知曲线，将曲线上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线，又已知直线是参数），且直线与曲线交于，两点（1）求曲线的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）设定点，求选修4-5：不等式选讲24已知函数（1）求不等式的解集；（2）设，证明：（a）2016-2017学年云南师大附中高三（上）适应性数学试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合，集合，则A，B，C，D【考点】：交集及其运算【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：集合【分析】求出与中不等式的解集分别确定出与，找出两集合的交集即可【解答】解：由中不等式变形得：，即，由中不等式解得：，即，则，故选：【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）已知复数在复平面内对应的点为，则复数的模为ABCD2【考点】：复数的运算【专题】11：计算题；35：转化思想；：数学模型法；：数系的扩充和复数【分析】由复数在复平面内对应的点为，得，把代入复数，再利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由复数求模公式计算得答案【解答】解：由复数在复平面内对应的点为，得则，复数的模为：故选：【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题3（5分）已知，则与的夹角为ABCD【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】11：计算题；34：方程思想；41：向量法；：平面向量及应用【分析】设与的夹角为，由已知代入数量积公式，结合二倍角正弦求得，则与的夹角可求【解答】解：设与的夹角为，则，即，得又，故选：【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查由数量积求向量的夹角，是中档题4（5分）圆截直线所得弦的长度为2，则实数ABC4D2【考点】：直线与圆相交的性质【专题】15：综合题；34：方程思想；：演绎法；：直线与圆【分析】求出圆心和半径，根据弦长公式进行求解即可【解答】解：圆的标准方程为，则圆心到直线的距离为，由，得，故选：【点评】本题主要考查直线和圆相交以及弦长公式的应用，求出圆心和半径是解决本题的关键5（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是A3024B1007C2015D2016【考点】：程序框图【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；：算法和程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式是求数列的和，且数列的每4项的和是定值，由此求出的值【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：；所以该程序运行后输出的值是3024故选：【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题的关键是模拟程序运行的过程，得出程序运行后输出的算式的特征，是基础题目6（5分）给出下列四个结论：已知直线，则的充要条件为；函数满足，则函数的一个对称中心为，；已知平面和两条不同的直线，满足，则；函数的单调区间为，其中正确命题的个数为A4B3C2D0【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】38：对应思想；：转化法；：简易逻辑【分析】根据直线平行判断，根据三角函数的性质判断，根据线面平行判断，根据导数的应用判断【解答】解：对于，由，得，解得：，错；对于，由，得：，的周期是，故时，错；对于，时，结论不成立，错；对于，的定义域是，由，得：，由，解得：，在递减，在递增，错；故选：【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数，直线的平行的关系以及导数的应用，是一道中档题7（5分）已知，且，则的值等于ABCD【考点】：两角和与差的三角函数【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值【分析】由，都是锐角，得出、的范围，由和的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即即可求出值【解答】解：，而，故选：【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围8（5分）四面体的四个顶点都在球的球面上，平面平面，则球的体积为ABCD【考点】：球的体积和表面积【专题】15：综合题；34：方程思想；：演绎法；：空间位置关系与距离【分析】由已知得，取中点，则，由此能求出球的体积【解答】解：四面体的顶点都在的球的球面上，且，平面平面，取中点，则，球的体积故选：【点评】本题考查球的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养9（5分）若、满足条件，且当时，取最大值，则实数的取值范围是AB，CD，【考点】：简单线性规划【专题】31：数形结合【分析】先画出可行域，根据题中条件目标函数 （其中，在处取得最大值得到目标函数所在位置，求出其斜率满足的条件即可求出的取值范围【解答】解：条件对应的平面区域如图：因为目标函数 （其中，仅在处取得最大值，令得，所以直线的极限位置应如图所示，故其斜率需满足故选：【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，以及数形结合、等价转化的思想10（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为ABCD【考点】：由三视图求面积、体积【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：立体几何【分析】由三视图可知该三棱锥底面是边长为4的正三角形，两个侧面是全等的三角形，三边分别为，4，另一个侧面为等腰三角形，求出各个侧面面积即可得到表面积【解答】解：由三视图可知该三棱锥底面是边长为4的正三角形，面积为，两个侧面是全等的三角形，三边分别为，4，面积之和为，另一个侧面为等腰三角形，面积是，故选：【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量11（5分）椭圆上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为ABCD1【考点】：椭圆的性质【专题】31：数形结合；44：数形结合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由椭圆的焦点在轴上，设左焦点为，根据椭圆的定义：，则：则，即，由椭圆的离心率，由，根据正弦函数的图象及性质，求得椭圆离心率的取值范围，即可求得椭圆离心率的最大值【解答】解：已知椭圆焦点在轴上，椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，设左焦点为，则：连接，所以：四边形为长方形根据椭圆的定义：，则：，即，由椭圆的离心率，由，故椭圆离心率的最大值故选：【点评】本题考查了椭圆的定义及其性质、两角差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题12（5分）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为ABCD【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；53：导数的综合应用【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得，则有，令，运用导数求得单调区间、极值和最值，即可得到的范围【解答】解：的导数，的导数为，设与曲线相切的切点为，相切的切点为，则有公共切线斜率为，又，即有，即为，即有，则有，即为，令，则，当时，递减，当时，递增即有处取得极大值，也为最大值，且为，由恰好存在两条公切线，即有两解，可得的范围是故选：【点评】本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）设的展开式的常数项是6【考点】67：定积分、微积分基本定理；：二项式定理【专题】11：计算题【分析】先由积分求出，写出展开式的通项，要求常数项，只要令求出即可【解答】解：设第项为常数项，则令可得故答案为：6【点评】本题主要考查了积分的计算，利用二项展开式的通项求解指定项，属于基础试题14（5分）已知是定义在上的偶函数，并满足，当时，则【考点】：函数奇偶性的性质与判断；：函数的周期性【专题】51：函数的性质及应用【分析】，即函数的周期为4， 得出利用解析式求解即可【解答】解：，即函数的周期为4是定义在上的偶函数，则有，当时，故答案为：【点评】本题主要考查了函数的奇偶性、周期性等性质的综合应用，解决本题的关键是根据所给的条件：，可得即可得函数的周期，从而把所求的利用周期转化到所给的区间，代入即可求解15（5分）已知曲线且与直线相交于，两点，且为原点），则的值为【考点】：双曲线的性质【专题】34：方程思想；48：分析法；：平面向量及应用；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先设，；，根据题设条件即；直线方程与双曲线方程联立，求得和的表达式，代入求得答案【解答】解：设，即；联立直线和曲线两方程可得：，即，即，则故答案为：【点评】本题主要考查了双曲线的应用考查了学生综合分析问题的能力，属于中档题16（5分）已知为数列的前项和，若存在唯一的正整数使得不等式成立，则实数的取值范围为，【考点】：数列递推式【专题】15：综合题；33：函数思想；：转化法；54：等差数列与等比数列【分析】由已知数列递推式可得，进一步得到代入不等式，可得设，由于，由题意可得，求解不等式得答案【解答】解：由，得，当时，整理得：，又，故不等式可化为，即设，由于，由题意可得，解得：或实数的取值范围为：，故答案为：，【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知是斜三角形，内角、所对的边的长分别为、若（）求角；（）若，且，求的面积【考点】：正弦定理；：余弦定理【专题】58：解三角形【分析】由，利用正弦定理可得，于是，即可得出；由，可得，由正弦定理可知，由余弦定理，联立解出，再利用三角形面积计算公式即可得出【解答】解：，由正弦定理可得，得，为斜三角形，由正弦定理可知 （1）由余弦定理，（2）由（1）（2）解得，【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示，天猫元旦当天全天的成交金额为315.5亿元为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了1月1日100名网购者的网购情况，得到如表数据统计表，已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4网购金额（元频数频率，50.05，150.15，250.25，300.3，合计1001.00（1）先求出，的值，再将如图3所示的频率分布直方图绘制完整；（2）对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的购物者中网龄不足3年的有20人，请填写下面的列联表，并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关？网龄3年以上网龄不足3年合计购物金额在2000元以上35购物金额在2000元以下20总计100参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中（3）从这100名网购者中根据购物金额分层抽出20人给予返券奖励，为进一步激发购物热情，在，和，两组所抽出的8人中再随机抽取2人各奖励1000元现金，求，组获得现金将的数学期望【考点】：独立性检验；：离散型随机变量的期望与方差【专题】15：综合题；34：方程思想；：演绎法；：概率与统计【分析】（1）求出网购金额在2000元以上的人数，可得，的值，由此能求出，的值，并补全频率分布直方图（2）由数据可得列联表，利用公式，可得结论（3），组获奖人数为0，1，2，求出相应的概率，即可得出，组获得现金将的数学期望【解答】解：（1）因为网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4，所以网购金额在，的频率为，即，且，从而，相应的频率分布直方图如图2所示（4分）（2）由题设列联表如下网龄3年以上网龄不足3年合计购物金额在2000元以上35540购物金额在2000元以下402060合计7525100（7分）所以所以据此列联表判断，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关（8分）（3）在，和，两组所抽出的8人中再抽取2人各奖励1000元现金，则，组获奖人数为0，1，2，且，故，组获得现金奖的数学期望（12分）【点评】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验的运用，考查数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题19（12分）如图，已知四棱锥中，底面为菱形，平面，分别是，的中点（1）证明：平面；（2）取，若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值【考点】：直线与平面垂直；：二面角的平面角及求法【专题】：空间角【分析】（1）由已知条件推导出为正三角形，从而得到，再由平面，得到，由此能证明平面（2）法一：为上任意一点，连接，则为与平面所成的角，当最短时，即当时，最大，由此能求出二面角的余弦值（2）法二：由（1）知，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系利用向量法能求出二面角的余弦值【解答】（本小题满分13分）（1）证明：四边形为菱形，为正三角形，为的中点，（1分）又，（2分）平面，平面，（3分）而平面，平面，平面（5分）（2）解法一：为上任意一点，连接，由（1）知平面，则为与平面所成的角，（6分）在中，当最短时，即当时，最大（7分）此时，又，（8分）平面，平面，平面平面，过作于，则平面，过作于，连接，则为二面角的平面角，（10分）在中，又是的中点，在中，又，（11分）在中，即所求二面角的余弦值为（13分）（2）解法二：由（1）可知，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设，则，0，2，0，0，（其中，（6分），面的法向量为，与平面所成最大角的正切值为（7分）的最大值为，即（a）在，的最小值为5，函数（a）对称轴，（a），解得（9分），0，设平面的一个法向量为， ，则，取，则，2，（11分）为平面的一个法向量（12分）所求二面角的余弦值为（13分）【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用20（12分）已知为坐标原点，抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为，在点处的切线交轴于点，直线经过点且垂直于轴（1）求线段的长；（2）设不经过点和的动直线交交点和，交于点，若直线，的斜率依次成等差数列，试问：是否过定点？请说明理由【考点】：轨迹方程；：点、线、面间的距离计算【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）先求出的值，然后求出在第一象限的函数，结合函数的导数的几何意义求出的坐标即可求线段的长；（2）联立直线和抛物线方程进行消元，转化为关于的一元二次方程，根据根与系数之间的关系结合直线斜率的关系建立方程进行求解即可【解答】解：（）由抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为，得，抛物线的方程为， （2分）在第一象限的图象对应的函数解析式为，则，故在点处的切线斜率为，切线的方程为，令得，所以点的坐标为故线段的长为2 （5分）（）恒过定点，理由如下：由题意可知的方程为，因为与相交，故由，令，得，故设，由消去得：则， （7分）直线的斜率为，同理直线的斜率为，直线的斜率为因为直线，的斜率依次成等差数列，所以 （10分）整理得：，因为不经过点，所以，所以，即故的方程为，即恒过定点（12分）【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，利用直线和抛物线方程，转化为一元二次方程，结合韦达定理，利用设而不求的思想是解决本题的关键21（12分）函数，（1）若在点，（1）处的切线方程为，求的表达式；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用【分析】（1）求出函数的导数，求出，的值，从而求出的解析式；（2）得到，即，问题转化为恒成立，即，令，根据函数的单调性求出的范围即可；（3）得到，即，是否存在，等价于该方程且是否有根，通过讨论的范围判断即可【解答】解：（1），则，又，（1）在直线上，；（2）由，得：，且等号不同时取得，故，即，恒成立，即，令，则，时，从而，在，递增，的最小值是（1），；（3）由题意，设曲线上存在两点，满足题意，则，只能在轴的两侧，不妨设，则，是以为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，是否存在，等价于该方程且是否有根，当时，方程可化为，化简得：，此时方程无解，当时，方程可化为，即，设，则，显然，时，即在递增，的值域是（1），即，当时方程总有解，即对于任意正实数，曲线上总存在两点，使得是以为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查函数恒成立以及心理问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题选做题（请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，圆的半径垂直于直径，为上一点，的延长线交