高考数学 第十三章 第二节 圆周角定理与圆的切线课件 理 苏教版.ppt

第二节圆周角定理与圆的切线 1 圆周角定理 圆周角的度数等于其所对弧的 推论1 同弧 或等弧 所对的圆周角 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧 推论2 半圆 或直径 所对的圆周角等于 90 的圆周角所对的弧为 度数的一半 相等 相等 90 半圆 或弦为直径 2 切线的判定定理 过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的 推论 经过圆心且与切线垂直的直线必经过 经过切点且与切线垂直的直线必经过 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 切线长 切线 半径 切点 圆心 相等 3 弦切角定理 弦切角的度数等于其所夹弧的度数的 推论 同弧 或等弧 上的弦切角 同弧 或等弧 上的弦切角与圆周角 一半 相等 相等 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 经过半径端点且垂直于半径的直线一定是圆的切线 2 如果两条弧长相等 那么它们所对的圆心角一定相等 3 相等的圆周角所对的弧也一定相等 4 弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数 解析 1 错误 根据切线判定定理可知 错误 2 错误 必须说明在 同圆或等圆 中 所以错误 3 错误 必须说明在 同圆或等圆 中 所以错误 4 错误 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角 所夹的弧的度数等于所对圆心角的度数 即所夹弧的度数等于弦切角的度数的2倍 答案 1 2 3 4 考向1圆周角定理的应用 典例1 2012 江苏高考 如图 ab是圆o的直径 d e为圆上位于ab异侧的两点 连结bd并延长至点c 使bd dc 连结ac ae de 求证 e c 思路点拨 欲证 e c 需寻找一个中间量 因 b和 e是同弧所对圆周角 相等 又由ab是圆o的直径和bd dc可知ad是线段bc的中垂线 从而可得到 b c 即 b为中间量 规范解答 连结ad ab是圆o的直径 adb 90 ad bd 又 bd dc ad是线段bc的中垂线 ab ac b c 又 d e为圆上位于ab异侧的两点 b e e c 互动探究 当已知条件中含有 中点 条件时 可联想到 中线 中位线 等性质 上述证法是利用了等腰三角形中的 三线合一 如从中位线的角度考虑应如何证明 证明 连结od 因为bd dc o为ab的中点 所以od ac 于是 odb c 因为ob od 所以 odb b 于是 c b 又 e b 故 e c 拓展提升 1 圆周角定理的应用利用圆周角定理证明等量关系是一类重要的数学问题 在解决此类问题时 主要分析圆周角 圆心角 弧之间的关系 经常与三角形联系在一起进行考查 2 直径的应用在圆中 直径是一条特殊的弦 其所对的圆周角是直角 所对的弧是半圆 因此在圆中 通常遇直径则利用直径所对的圆周角是直角 转化为直角三角形解决问题 变式备选 如图 已知 半圆的直径ab 6cm cd是半圆上长为2cm的弦 当弦cd在半圆上滑动时 bc与ad相交于e ac和bd延长线相交于p 试证 p deb且 p的度数是定值 解析 方法一 ab为直径 pcb adb 90 又 pbc ebd pcb edb p deb ecd eab edc eba ced aeb 从而说明 p的度数是定值 方法二 根据条件可证 pce pde 180 从而p c e d四点共圆 也可得 p deb 利用圆内接四边形的性质可直接证明 pcd pba 从而得说明 p的度数是定值 考向2切线的性质与判定的应用 典例2 如图 已知ab是 o的直径 bc为 o的切线 切点为b oc平行于弦ad oa r 1 求证 cd是 o的切线 2 求ad oc的值 3 若求cd的长 思路点拨 1 要证cd是 o的切线 由于d在 o上 所以只需连结od 证od dc即可 2 求ad oc的值 一般是利用相似把ad oc转化为其他线段长的乘积 若其他两条线段长的乘积能求出来 则可完成 3 由ad oc的值 可求出oc 根据勾股定理即可求出cd 规范解答 1 连结od oc ad 1 2 a 3 又 oa od 1 a 2 3 od ob oc oc ocd ocb bc为 o的切线 odc obc 90 cd是 o的切线 2 连结bd ab为 o的直径 adb 90 obc 90 adb obc 又 a 3 adb obc ad oc ob ab 2r2 3 由 2 知ad oc 2r2 又知 ad oc是关于x的方程的两根 解此方程得 oc r oc 4r 拓展提升 圆的切线判定的三种方法 1 根据直线与圆有惟一公共点来判断 实为数形结合思想 2 已知该直线经过圆周上一点时 只要将此点与圆心连结 证此半径垂直于直线 此法实为判定定理 3 未知直线是否经过圆周上一点时 证圆心到直线的距离等于半径 此法的理论依据是直线与圆的位置关系的几何定义 变式训练 已知 如图 abc内接于 o 点d在oc的延长线上 cad 30 1 求证 ad是 o的切线 2 若od ab bc 5 求ad的长 解析 1 如图 连结oa 因为所以 b 30 故 o 60 又oa oc 所以 aco是等边三角形 故 oac 60 因为 cad 30 所以 oad 90 故ad是 o的切线 2 od ab oc垂直平分ab 则ac bc 5 oa 5 在 oad中 oad 90 所以 考向3弦切角定理的应用 典例3 2012 辽宁高考 如图 o和 o 相交于a b两点 过a作两圆的切线分别交两圆于c d两点 连结db并延长交 o于点e 证明 1 ac bd ab ad 2 ac ae 思路点拨 根据弦切角等于圆周角可证三角形相似 从而得对应边成比例 证明第 1 题 运用三角形相似及比例的性质证明第 2 题 规范解答 1 由ac与圆o 相切于点a 得 cab adb 同理 acb dab 从而 acb dab 所以 ac bd ab ad 2 由ad与圆o相切于点a 得 aed bad 又 ade bda 从而 ead abd 所以 ae bd ab ad 又由 1 知 ac bd ab ad 所以ac bd ae bd ac ae 互动探究 本题第 1 题的结论提示了考生 利用比例线段证第 2 题 如无此暗示 连结ce 则线段ae和ac在 ace中 能否利用 等角对等边 的方法证之 解析 由条件可得 bad aeb ceb cab adb 从而 abe bad adb aeb ceb aec 又 abe ace 故 aec ace 故ac ae 拓展提升 圆周角 圆心角 弦切角的关系弦切角定理能得到一个重要推论 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 从而 圆周角 圆心角 弦切角 之间存在着密切的关系 所以通常利用这种关系 证两三角形相似 计算角的度数或由比例线段计算边长 提醒 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 这一结论在实际应用中比定理本身更为常用 变式备选 如图 ab是半圆o的直径 c是圆周上一点 异于a b 过c作圆o的切线l 过a作直线l的垂线ad 垂足为d ad交半圆于点e 求证 cb ce 证明 连结ac be 在dc延长线上取一点f 因为ab是半圆o的直径 c为圆周上一点 所以 acb 90 即 bcf acd 90 又因为ad l 所以 dac acd 90 所以 bcf dac 又因为直线l是圆o的切线 所以 ceb bcf 又因为 dac cbe 所以 cbe ceb 所以ce cb 1 2012 新课标全国卷 如图 d e分别为 abc边ab ac的中点 直线de交 abc的外接圆于f g两点 若cf ab 证明 1 cd bc 2 bcd gbd 证明 1 因为d e分别为ab ac的中点 所以de bc 又已知cf ab 故四边形bcfd是平行四边形 所以cf bd ad 又cf ad 连结af 所以adcf是平行四边形 故cd af 因为cf ab 所以bc af 故cd bc 2 因为fg bc 故gb cf 由 1 可知bd cf 所以gb bd 而 dgb efc dbc 故 bcd gbd 2 2013 南通模拟 如图 已知ad为圆o的直径 直线ba与圆o相切于点a 直线ob与弦ac垂直并相交于点g 与弧ac相交于m 连结dc ab 10 ac 12 1 求证 ba dc gc ad 2 求bm 解析 1 因为ac ob 所以 agb 90 又ad是圆o的直径 所以 dca 90 又因为 bag adc 所以rt agb rt dca 所以又因为og ac 所以gc ag 所以即ba dc gc ad 2 因为ac 12 所以ag 6 因为ab 10 所以由 1 知 rt agb rt dca 所以所以ad 15 即圆的直径2r 15 又因为ab2 bm bm 2r 即bm2 15bm 100 0 解得bm 5或bm 20 舍去 即bm的长为5 3 如图 已知 abc中 ac bc cab 定值 o的圆心o在ab上 并分别与ac bc相切于点p q 1 求 poq 2 设d是ca延长线上的一个动点 de与 o相切于点n 点e在cb的延长线上 试判断 doe的大小是否保持不变 并说明理由 解析 1 连结oc op oq ac bc分别切 o于p q op ca oq cb ca cb aco bco co ab cop cab coq cba cab poq cop coq 2 2 doe保持不变 由cd de ce都与 o相切得 ode cde oed ced doe 180 ode oed 180 180 180 180 2 180 doe为定值 4 2013 徐州模拟 如图 在rt abc中 c 90 be平分 abc交ac于点e 点d在ab上 de eb 1 求证 ac是 bde的外接圆的切线 2 若ae 6 求ec的长 解析 1 取bd的中点o 连结oe be平分 abc cbe obe 又 ob oe obe beo cbe beo bc oe c 90 oe ac ac是 bde的外接圆的切线 2 设 o的半径为r 则在 aoe中 oa 2oe a 30 aoe 60 cbe obe 30 5 如图 abc内接于 o ab ac 直线mn切 o于点c 弦bd mn ac与bd相交于点e 1 求证 abe acd 2 若ab 6 bc 4 求ae 解析 1 在 abe和 acd中 ab ac abe acd 又 bae edc bd mn edc dcn 直线mn是圆o的切线 dcn cad bae cad abe acd 2 bd mn ebc bcm bcm bdc ebc bdc bac bc cd 4 又 bec bac abe ebc abe abc acb bc be 4 设ae x 易证 abe dce 又ae ec be ed ec 6 x 6 如图 已知 c是以ab为直径的半圆o上一点 ch ab于点h 直线ac与过b点的圆o的切线相交于点d e为ch中点 连结ae并延长交bd于点f 直线cf交直线ab于点g 1 求证 f是bd的中点 2 求证 cg是 o的切线 证明 1 ch ab db ab aeh afb ace adf he ec bf fd f是bd中点 2 连结cb oc ab是直径 acb 90 bcd为直角三角形 bcf cbf 90 cba cab aco ocf 90 cg是 o的切线 7 如图 o1与 o2交于a b两点 点o1在 o2上 o2的弦o1c交ab o1于d e 求证 2 e为 abc的内心 证明 1 连结o1b 由o1a o1b可得 o1ad o1ca 又 ao1d是公共角 o1ad o1c