1993年全国初中数学联赛试卷.doc

一九九三年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题（本题满分48分，每小题6分）1多项式x12x61除以x21的余式是（ ）A1 B1 Cx1 Dx12对于命题：.内角相等的圆内接五边形是正五边形.内角相等的圆内接四边形是正四边形以下四个结论中正确的是（ ）A、都对 B对、错 C错、对 D、都错3设x是实数，y|x1|x1|，下列四个结论：. y没有最小值 . 只有一个x使y取到最小值. 有有限多个(不止一个)x使y取到最小值 . 有无究多个x使y取到最小值其中正确的是（ ）A B C D4实数x1，x2，x3，x4，x5满足方程组其中a1,a2,a3,a4,a5是常数,且a1a2a3a4a5，则x1，x2，x3，x4，x5的大小顺序是（ ）Ax1x2x3x4x5 Bx4x2x1x3x5Cx3x1x4x2x5 Dx5x3x1x4x25不等式x1(x1)23x7的整数解的个数（ ）A等于4 B小于4 C大于5 D等于56在ABC中，A是钝角，O是垂心，AOBC，则cos(OBCOCB)的值是（ ） A.- B. C. D.-7锐角三角形ABC的三边是a，b，c，它的外心到三边的距离分别为m，n，p，那么mnp等于（ ） A.：Babc CcosAcosBcosC DsinAsinBsinC8可以化简为（ ） A. B. C. D.二、填空题（本题满分32分，每小题8分）1.当x变化时,分式的最小值是_.2放有小球的1993个盒子从左到右排成一行，如果最左面的盒里有7个小球，且每四个相邻的盒里共有30个小球，那么最右面的盒里有_个小球3若方程(x21)(x24)k有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则k=_4锐角三角形ABC中，A30，以BC边为直径作圆，与AB、AC分别交于D、E，边结DE，把三角形ABC分成三角形ADE与四边形DBCE，设它们的面积分别为S1、S2，则S1S2=_第二试一、设H是等腰三角形ABC的垂心在底边BC保持不变的情况下，让项点A至底边BC的距离变小，这时乘积SABCSHBC的值变小，变大，还是不变？证明你的结论二、在ABC中，BC5，AC12，AB13在边AB，AC分别取点D、E，使线段DE将ABC分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度三、已知方程x2bxc0及x2cxb0分别各有两个整数根x1，x2和x1，x2，且x1x20，x1x20(1)求x10，x20，x10，x20；(2)求证:b1cb1；(3)求b、c所有可能的值一九九三年全国初中数学联赛参考答案第一试一、选择题1A 2B 3D 4C 5A 6A 7C 8D二、填空题第二试一、解一 不妨设角A是锐角，边结AH并延长交BC于D点，延长BH，CH，分别交AC，AB于E，F，BHDAHE，HBDHAE因此，RtBDHRtADC，于是，SABCSHBC当A90时，同理可证上式也成立由于BC是不变的，所以当A点至BC的距离变小时，乘积SABCSHBC保持不变解二 作图如解一，再延长AD至G，使DGDH，并分别连结BG、GC，由HBDGBD知，CBGCBHCAG，因而，A，B，G，C四点共圆因此，SABCSHBC由于BC是不变的，所以当点A至BC的距离变小时，乘积SABCSHBC保持不变二、解由52122=132知ABC是直角三角形由余弦定理知：DE2x2y22xycosA(xy)22xy(1y)22xy(1cosA)达到最小值三、(1)假如x10，则由x1x20知x20对于已知两个方程用韦达定理得x1x2bx1x2，这与已知x1x20，x1x20矛盾因此x10，x20同理，x10，x22(2)由韦达定理及x10，x20，有c(b1)x1x2x1x21(x11)(x21)0，所以cb1对于方程x2cxb0进行同样讨论，得bc1综合以上结果有b1cb1(3)根据(2)的结果可分下列情况讨论：当cb1时，由韦达定理有x1x2x1x21，从而由此算