第8讲 立体几何 向量与向量方法.doc

第8讲 立体几何 向量与向量方法二、空间向量.1、（1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.（2）共线向量定理：对空间任意两个向量， 的充要条件是存在实数（具有唯一性），使；（3）共面向量：若向量使之平行于平面或在内，则与的关系是平行，记作.（4）共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对x、y使.空间任一点O和不共线三点A、B、C，则是PABC四点共面的充要条件.（简证：P、A、B、C四点共面）注：是证明四点共面的常用方法.2、 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z使 (这里隐含x+y+z1).注：设四面体ABCD的三条棱，其中Q是BCD的重心，则向量用即证.3、 （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.令=(a1,a2,a3),，则； ； (用到常用的向量模与向量之间的转化：)空间两点的距离公式：.（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果那么向量叫做平面的法向量. （3）向量的应用：利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（方向相同，则为补角，反方，则为其夹角）.证直线和平面平行定理：已知直线平面，且CDE三点不共线，则a的充要条件是存在有序实数对使.（常设求解若存在即证毕，若不存在，则直线AB与平面相交）.二、例题分析：1、若与共线，与共线，则与共线.（） 当时，不成立向量共面即它们所在直线共面.（） 可能异面若，则存在小任一实数，使.（）与不成立若为非零向量，则.（）这里用到之积仍为向量2、（海南宁夏卷理13）已知向量，且，则= _.解：由题意3、（四川延考文12）在正方体中，是棱的中点，则与所成角的余弦值为（）A B C D 解：如图以D为坐标系原点,为单位长，分别为轴建立坐标系，易见，所以，选B.（如果连结,用余弦定理解三角形也可以求得答案.）4、设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足=0，=0，=0,则BCD是（ ）A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定选B 提示：=0ACAB.同理可得ACAD,ABAD.设AB=a，AC=b，AD=c.则BC=,CD=,BD=.cosBCD=0,故BCD为锐角.同理CBD、BDC亦为锐角.则BCD为锐角三角形.5、如图所示，已知线段AB在平面内，线段AC，线段BDAB,且与所成角是30.如果AB=a,AC=BD=b,求C、D间的距离.解析:由AC,可知ACAB.过D作DD,D为垂足,则DBD=30,=120,|2=(+)2=|2+|2+|2+2+2+2=b2+a2+b2+2b2cos120=a2+b2.CD=.小结： |2=提供了向量与实数相互转化的工具，运用此公式，可以使线段长度问题转化为两个相等向量的数量积的问题，此题若考虑用常规方法转化到三角形当中求解，较繁锁.6、设,=,=，且|=1，|=2，|=3，（1）求|+|；（2）求|+2-|；（3）求-与的夹角.解：|+|2=2+2+2+2+2+2=1+4+9+0+23+223=17+6. |+|=.| +2-|=. .注意：向量作为沟通“数”和“形”的桥梁，是利用数学结合解题的一种重要载体学习者要逐步掌握向量运算的各种几何意义，才能较好的利用效率这一工具来灵活解题请注意以下的知识技能：（）利用来证明线线平行或诸点共线问题；（）利用来求证线线垂直；（）利用，即=，解决两直线的夹角问题；（）利用|2=，解决线段长度问题，或利用（其中，是与同方向的单位向量）,求在上的射影长.7、试用向量方法证明不等式：+(a，b，c为正实数).证明:如图，构造三棱锥ABCD，且每个顶角均为60，且|=a,| |=b,| |=c,则=|-|=|,=|-|=|,=|-|=|.在三角形BCD中,| |+|, +.8、如图：已知正三棱柱ABCABC的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点.(1)求异面直线AB与BC的夹角；(2)在直线CC上求一点N，使得MNAB；若AB的中点为P，BC的中点Q，求证：PQ/面ABC.(1)解法一：因为 又因为ABCABC是正三棱柱， ，且 ， 由题意，2.从而得：4 cos ，即异面直线AB与BC的夹角为arccos.解法二：以A点为坐标原点，AA为z轴，AC为y轴，建立空间直角坐标系， 由题意：A(0，0，0)，B(，0)，B(，2)，C(0，1，2).则，.由夹角公式：cos. . 即异面直线AB与BC的夹角为arccos.(2)解法一：设由题意可得： ， ， ，也就是. 4x0 x ，即当时，ABMN. 解法二：同解法一，建立空间直角坐标系，有A(0，0，0)，B(，0)，M(，0)，N(0，1，z) 2z0解得z， N(0，1，) 即CN时，ABMN.（3）（待定系数法）由上知：，；同理得：，则，又因为，.设，得：，得x=0,y=,所以所以PQ与面ABC共面，又因为，所以PQ/面ABC. 指津：本题是运用向量方法解决了异面直线求角、直线垂直及线面的平行证明等问题.这里把向量的普通方法和坐标方法作了对比.图形中，平行、垂直、角、距离等问题如何向量化、坐标化、代数化是运用好向量工具的关键，而空间直角坐标系的建立，点、向量坐标的确定和公式的运用，需要学习者认真体会、积累.建立空间直角坐标系一般需要图形中三条两两垂直的线段，本题中存在吗？是如何处理的？本题可以运用传统方法（纯几何方法）解决吗？，学习者不妨自己给出解答并与向量方法加以比较.随着新教材的推广使用，运用向量法解决空间图形中的角、距离，线线、线面及面面的平行、垂直等问题已成为新高考命题的热点，如何入手解题，运用传统方法还是向量方法，应根据具体情况来定，多种方法灵活使用，合理使用，才能达到理想效果.9、（安徽卷理18）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点（）证明：直线；（）求异面直线AB与MD所成角的大小； （）求点B到平面OCD的距离。方法一（综合法） （1）取OB中点E，连接ME，NE又 （2） 为异面直线与所成的角（或其补角）作连接，所以 与所成角的大小为（3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作 于点Q，又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，所以点B到平面OCD的距离为方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设平面OCD的法向量为,则即 取,解得(2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为10、 如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a.D为A1C1中点.E为B1C的中点.(1)求直线BE与A1C所成角的大小.(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF平面B1DF.若存在,求出|;若不存在，说明理由.本题所给几何体比较特殊，故可以根据题中条件，建立适当的坐标系解题.解：(1)如图9-4所示，以B为原点,BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立空间直角坐标系Oxyz，则B（0，0，0），C（0， a，0），A(，0，0)，A1(a，0，3a)易求得D(a, a,3a),E(0, ,a) ，=(a,- ,3a),=(0, a, a),设直线BE与A1C所成的角为，cos=、=,则=arccos.(2)假设存在点F，使CF平面B1DF，不妨设AF=b，F（a，0，b），=(a,- a,b),=(a,0,b-3a),=( a, a,0).=a2-a2=0,恒成立. 由=2a2+b(b-3a)=0可得b=a或b=2a.故在线段AA1上存在点F，当|=a或2a时，CF面B1DF.注：利用向量求两条异面直线的夹角时，要注意两条