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谈小学数学课改热点问题一、张奠宙谈小学数学本质问题2009年第2期人民教育有一篇华东师大张奠宙教授与浙江杭州现代小学数学教育研究中心主任唐彩斌关于小学“数学本质”的对话1、0为什么是自然数？0是自然数有许多理由。首先，人的经验是，从无到有第二，更重要的是书写的需要，没有0，就写不出10，20，30，100。所以，0，1，29这10个数字是最基本的。第三，0的出现可以保证自然数集有单位元a+0=0+a=a。如果0不是自然数，那么5-5岂不是不能减了？从数学史看，在1、29等自然数形成之后很久人们才发明了0。0的意义极大，使十进位值制成为可能是其最大的价值，进而使四则运算极为简化。张教授指出的第二、第三个理由都是从自然数公理系统角度来说的，即是说：只有把0包括在内，自然数系统才能具备严密的逻辑结构。请注意：和后文的几个问题一样，张教授始终强调从数学内部发展需要的角度看数学新知识的引入，而这正是当前我们数学教师的一个薄弱点。2、感受100万粒米有多大有没有必要？数学教学要关注的是100万这个数的结构。至于说100万粒米有多大，知不知道无所谓。主要精力要放在100万的结构，即如何形成100万上面。例如，我们可以设计这样的活动：从一个单位立方体出发，10个构成一排，10排构成一个正方形，10个正方形叠起来构成一个立方体，即1000。再以这个立方体作为新单位，10个一排构成万，10排形成新的正方形构成10万，最后，10个新正方形构成新的立方体，就是100万。这个过程是每个人都要弄明白的。这种做法的好处有二：第一了解十进位值制，第二发展空间想象能力。但说“100万粒米有多大知不知道无所谓”我不赞成：这是让学生感知“大数”的一种做法，而在现代社会感知“大数”是每个老百姓都应有的数学素养之一。3、分数究竟该如何定义？用份数的定义来引入分数是非常自然的。但这样说还没有体现引进分数的本质：分数是一个不同于自然数的新数。份数定义还停留在“几份”的思考上，还没有越出自然数的范围。1份，3份，是分数还是自然数？因此必须尽快过渡到分数的“商”定义：即分数是正整数a除以正整数b的商，记为a/b。当除得尽时（整除），答案仍是“老朋友”自然数。关键在于除不尽的情况，这时得到的就是我们要结识的新朋友分数。这个概念我们现在注意得不够，而这恰恰是我们学习分数的本质所在。比如1/4，1除以4的商是多大呢？它一定比1小，却又比0大。我们可以在数射线（即数轴）上标出它的位置：它在0和1之间，这样一画，分数是“我们的新朋友”的特性就显示出来了。原来的自然数离散地分布在数射线上，现在的分数密密麻麻地填在射线上。商的分数的定义比份数的定义要深入一步，体现了引进分数的必要性。目前的教材只是说“分数和除法之间的关系”，未免不得要领。分数的第三个定义是比的定义：比和除，本来是一个问题的两个方面，用比的概念之后，分数就可以扩大它的应用范围，使我们的视野更广阔。（随后举例：对一个被分割为四等份且其中一份涂成黑色的圆，宽广的视野可以看出1/4、3/4、1/2、4/1、1/3、3/1等分数）我也希望老师们能把份数和比的定义联系起来思考。“分数的商定义”最大的必要性是：使数从自然数集扩大到非负有理数集。所以分数最重要的本质是“它是一个数”即“是一个数值”，它比自然数更能准确地刻画事物的“量”特性，实现数学“量化思想方法”的意义。正因为此，历史上人们才努力制定了分数的运算定义与运算规则，并使其内涵自然数的运算定义与运算规则。“分数的比定义”价值在于可用其定量研究两个以上事物在量方面的结构关系，实现数学“结构化思想方法”的意义。如果只停留在“分数的份数定义”，不但局限了分数的价值，而且会给学生解决分数问题造成阻碍。4、什么是代数？代数的思想方法，其核心是基于含有x的“式”的运算来求得未知数，最后解决数学问题。从数的运算到“式”的运算，实行对消和还原，是算术和代数的根本区别。小学学习逆向思维不要搞得太难。太多了，反而会干扰未来方程的学习。（指小学“简易方程”内容不要教的太难，这点我很赞成）5、小学几何内容为什么要增加？直观几何，就是对平面图形、立体图形的认识求面积、体积的问题，属于度量几何。在实施新课程之前，小学数学主要包括这两部分内容。后来增加了以下三个方面的内容。第一是演绎几何，比如说垂直、平行、线段、射线这些名词都属于演绎几何的范畴。第二是运动几何，如平移、旋转和对称，是小学生需要和可以接受的内容。第三是坐标几何。我想小学数学当中，直观几何最根本的或者最核心的内容就是用平面来描述立体。空间图形平面化，通过平面图形想象空间物体是直观几何的重要内容。我认为：第一，对小学而言，最重要的还是直观几何与度量几何，演绎几何、坐标几何与运动几何不能要求太高，初知即可；第二，在直观几何中最重要的是在脑海里直接想象平面和空间图形（即不是张教授说的“通过平面图形”来想象），其次才是想象平面与空间图形的互换，但不能要求太高。6、什么是面积、体积？“物体表面或平面图形的大小叫面积”，“物体占有空间的大小叫做物体的体积”这些只是对面积、体积的描述，不是严格的定义。因为总是先有面积、体积的定义，才能谈大小。人的概念有两种，一种就是生活中自然形成的，比如说面积、体积，大家都明白，不必给出严格的定义（那是大学数学课程的内容）。现在的教材上，把体积说成“占有空间的大小”，要学生记住，实在没有必要。事实上，要理解“空间”，比理解体积更困难，往往是越解释越糊涂。这说明，对于这类定义不要太当真。在小学里，学生头脑里的体积直觉，已经够用了。7、小学里为什么要渗透平面坐标思想？坐标的核心思想就是确定位置吗？很多的教案都这样说，其实不准确。学习坐标确定位置，是地理学的研究目标。数学课程中更重要的是用坐标来表示几何图形。例如，两个坐标都一样的点（y=x），第一个坐标为1的点（x=1），等等，都能表示一类直线。同样也可以用坐标描绘一个矩形的“熊猫馆”。坐标思想的核心是“数形结合思想”，即几何图形可以转换为代数方程，反之代数方程也可转换为几何图形，当然在小学，主要只用于把点在平面的几何位置转换为平面坐标及其相反。张奠宙老师答疑 1.很多教师在“0” 的问题上有很多困惑。关于0为什么是自然数，自然数有两个性质:个数和序数。零作为自然数它怎么去表现序数的性质等问题。 答： 首先0 是自然数， 是国家规定。理由很多， 例如 5-5 = 0， 在自然数里应该成立等等。 个数是0， 容易接受。 现在0距离采访， 0消费， 从0 开始等等， 已经大量使用。 实际上， 有是从没有开始的。道生一，一生二， 在1之前存在“无”。 不好理解的是序数， 我们习惯上是第一名， 第二名 没有说第0名是最好的。 这是习惯问题。但一等奖之上还有特等奖呢。现在填报志愿，还有0志愿呢。所以，习惯归习惯， 道理归道理。0 是自然数好处多，不习惯的地方克服一点就是了。 兴许某一天， 第0名真的是最好的呢！（100年后） 2.在计算方面的问题，如算法多样化解决了学生做题多样性，但是在实际操作中学生确很难把握，特别是乘法分配律的问题学生很吃力。一年级数学,两个已知条件的关系是减,偏有同学逆思维用加法计算,这种做法对吗?如:小明有20元,要购买一个35元的书包,还需要多少钱?20+15=35(元)答:还需要15元。 答： 算法多样化， 但要一法为主。即通性通法， 有时显得笨拙， 却永远有效。不是越多样越好。 没有必要在自然数四则运算史“提倡”多样化。 允许、鼓励即可。 上述的逆向思维方法，不是通性通法。 通常要做减法。学生一定要懂得这是减法（不然听不懂别人的减法式子， 无法交流）。 至于它喜欢逆向思维， 常用逆向思维，也要允许。 3.在学生对数学不感兴趣时，如何去提高学生的兴趣及创新思维？ 答： 小学数学不难。 只要智力正常， 都能学会。 兴趣来自会做，即解答问题之后的愉悦。 用实际情景吸引， 也是办法， 但是往往对好学生有吸引力。对一般学生，会做题最根本。 4. 数学教学中如何更好的渗透实际生活问题，并提高解决问题的能力？ 答： 过分“实际”， 并不好。要在数学建模上下工夫。鸡兔同笼不实际， 却永远是好题目。 5. 综合与实践活动应如何分类和开展才能更适应儿童发展特点？ 我和唐采斌老师合写过一文， 尚未发表，附录在此。 6. 在我的教学中经常会顺势给学生讲一些超前的知识,这样做有什么利弊? 很好啊！只要学生愿意接受。 没有一种教学设计是死的，只准按一个进度教学， 过度统一， 把教学统死了。 数学学科德育的总体设计摘自张奠宙数学教学2006第6一个基点：热爱数学三个维度：人文精神、科学素养、道德品质六个层次（按数学本身、数学和数学以外领域联系的紧密程度排列）：第一层次：数学本身的文化内涵，以优秀的数学文化感染学生；第二层次：数学内容的美学价值，以特有的数学美陶冶学生；第三层次：数学课题的历史背景，以丰富的数学发展史激励学生；第四层次：数学体系的辩证因素，以科学的数学观指导学生；第五层次：数学周围的社会主义现实，以昂扬的斗志鼓舞学生；第六层次：数学教学的课堂环境，以优良的课堂文化塑造学生。张奠宙先生对数学能力的概括和我的理解在学习时有幸得到了张奠宙先生对数学能力提出的的观点。现在找来介绍给大家同时说一下我的看法,请大家多多指教.张先生认为，数学能力包括以下10个方面：（1）数形感觉与判断能力一个问题摆在面前，首先要判断它是不是数学问题?是哪一类数学问题?要能察觉其中的数学因素，例如方程求解、函数变化(微积分)、随机现象、几何描述、优化决策、计算算法等等这是要能够对数学的本质有所理解，从宏观上能够进行大体的判断(2)数据收集与分析数字化时代，数据无处不在能够收集数据、关注数据、分析数据、驾驭数据，用各种数学方法，特别是数理统计方法指导自己的行动决策(3)几何直观和空间想象能够感受物质存在的位置关系，构作几何图形，正确地加以描绘，并能体会其中的本质(4)数学表示与数学建模会使用数学原理、符号、公式抽象地表示客观事物的发展规律，能够将具体的数量关系抽象为可以运算的数学模型(5)数学运算和数学变换会按照运算规则熟练而准确地对数字和符号进行运算理解等价关系，全等、相似、不等、恒等、恒不等，同构。掌握几何变换以及变换中的不变量(6)归纳猜想与合情推理善于运用类比、联想、归纳等一般科学方法，观察数量关系，作出猜想。(7)逻辑思考与演绎证明。逻辑分类、排序、关系、流程数学证明和科学证实的区别。演绎证明的价值.(8)数学联结与数学洞察返璞归真，掌握数学的本质，提炼为数学思想方法欣赏数学的魅力(9)数学计算和算法设计对数字与符号依一定算法进行运算的能力，对大量数据进行处理的能力，是公民生活的实际需要(10)理性思维与构建体系.掌握数学的理性思维特征，不迷信权威，不感情用事，不含糊马虎。在日常生活中能够数学地思考问题，并和别人进行数学交流。最终形成比较完整的数学思想体系。更进一步地，张先生提出，作为一般的数学能力的数学创新能力也可分为以下10点：(1)提出数学问题和质疑能力。具有能疑、善思、敢想的品质(2)建立新的数学模型并用于实践的能力(3)发现数学规律的能力。包括提出定义，定理，公式(4)推广现有数学结论的能力放松条件或加强结论(5)构作新数学对象(概念、理论、关系)的能力(6)将不同领域的知识进行数学联结的能力。(7)总结已有数学成果达到新认识水平的能力。(8)巧妙地进行逻辑联接作出严密论证的能力(9)善于运用计算机技术展现信息时代的数学风貌。(10)知道什么是“好的数学，什么是“不大好”的数学。我的思考: 从我们课改以来,我们的课程专家一直在告诉我们,我们要让学生学习的数学是有用的数学,那就是体现在生产生活中能有用.这方面的能力正是张先生提到的10种能力上都有所体现,其中我觉得,第一个数感,第二个收集处理数据的能力,第9个数学计算与算法设计的能力更是在我们的新课程中得到了前所未有的体现,这也正说明我们新课改的思想与教育大家是英雄所见略同. 另外,我们课程专家告诉我们,数学是清楚的.清楚的前提,清楚的推理,得出清楚的结论.我们学习数学就是要让我们能够形成合理清晰的推理思想.这是很重要的.也就是我们所说数学是让人聪明的学科.张先生总结的第6个,第7个,第10个能力正是这一思想的体现,如果能形成以上三种能力,我们说数学使人聪明,可谓落到实处了.再有,数学是自然的,数学是要提高能力的,数学做为基础学科,对于整个科学技术的发展有着举足轻重的作用.因此要培养学生更高层次的数学能力也是高中数学教学的一个重要任务.在这一点上,张先生提到第3,4,5,8,几种能力对于进入大学后继续深入学习数学,能够从事更高层的数学学习与研究都是有比较重要意义的.在我们新课程中各知识模块的关联与设计上我们可以看到这课程安排的思想.由此,我更加认为我们新课程是设计的很科学与很有深度的. 能够正确的认识数学重要的能力对于我们从事高中教学来说据有得要的意义,使我们看到我们努力的方向,我们不再是仅为了让学生考高分,而真正是为了提高学生的数学素质,数学不在是一门单调,枯燥的学科,而是一门能让你一生幸福,成才成家的大学科,是一个培养聪明人的学科,还有什么更比这个意义呢?我喜欢这个工作,我要让我和我的学生在教学相长中都变的聪明起来,让我们的学生能更多的为国家的基础研究贡献力量.这是多么有意义的事啊. 培养数学能力需要有新的数学教学模式。我们的常规教学模式：复习导入讲授巩固作业，是为“传授知识”而设计的。它符合传授知识的客观规律，有重要的价值但是它的形式是封闭的。我们的任务是从封闭到开放，给学生以主动思考的空间。比如我们提倡新的数学教学5环节：复习回顾创设情景师生互动巩固反思作业质疑，也许更适宜于发展学生的数学能力。除了上述的常规模式之外，我们应当尝试一些特殊的数学教学模式例如：(1)开放题教学模式；(2)探究式教学模式(研究性课题)；(3)活动式教学模式(4)数学作文(5)长作业教学等等。这只是一些简单的思考，请大家多指教。二、吴正宪谈小学数学有效教学问题。问题一：开展数学课堂实效研究有何现实意义？ 回顾五年来新课程改革所走过的路，我们曾和孩子们共同在课堂生活中共同分享过兴奋、快乐和幸福，但是，我们也有过困惑和不安随着课程改革的不断深入，我们愈加有了冷静的思考。理性客观地反思过去，实事求是地面对今天，以平和的心态，科学研究的精神来分析当今课堂教学中的问题，并提出有效的教学策略，是我们应该采取的态度。 课程改革的今天，大家不约而同地把问题讨论聚焦在“课堂教学实效性”的研究上，这是大家的心声，这是课堂教学发展的需要。有的老师曾问我：“现在又提出实效性”是不是又要完全回到原来的课堂教学状态中呢？研究实效性到底有什么现实意义？ 研究讨论“实效性”，不是要走回头路，而是在继承发展、改革创新的基础上回顾反思新课程改革以来课堂教学的问题，有的放矢地改进教学。研究“实效性”它的意义在于通过触及课堂教学更深层面的实质问题，唤起广大教师研究探索的热情，使教师在“实效性”的大讨论中更有针对性地反思自己的课堂教学，提高对课堂教学实效本质的再认识，提升教学水平和教学能力。通过课堂教学实效性的落实使每个学生在每节课上有所得、有所获，为学生和谐、全面、可持续发展注入后劲。我想在研究实践的过程中也必然促进教师自身的专业成长。 问题二：课堂实效具体指什么？它包括哪些方面？ 课堂教学的实效主要指课堂教学整体的效果。我想它至少应该包括以下几个具体方面的问题。如制定的教学目标是否符合学生和教学内容的实际，定位是否准确？教学内容的选择是否符合学生的认知规律，是否充分有效地利用了教学资源？教学中是否通过为学生创设现实的有价值、有意义且富有挑战性的学习环境，调动起学生学习兴趣和求知欲望，促进学生积极主动地探索知识？教学环节的设计是否关注了学生参与学习的过程，是否进行了有效地自主学习、探究学习、合作学习？课堂教学中是否通过有效地评价与调控，因材施教，促进不同学生的反思与进步？帮助学生体验成功，建立自信？课堂教学是否关注基础知识、基本技能的落实？教学中教师采取的教学手段和方式是否有利于每个学生在原有的基础上有所提高？是否为学生的发展注入了后劲？ 问题三：课堂实效与教学质量、课堂效率之间有怎样的关系？ 追求高质量的教学质量、讲求高质量的课堂效率是落实课堂教学实效性的基本保证。换句话说具有实效性的课堂教学一定是追求高质量的教学过程；具有实效性的课堂教学一定是讲求高效率的教学过程。高质量的课堂教学即要关注教师教的质量，又要关注学生学的质量，二者缺一不可。 高质量的课堂教学必须讲求课堂教学的高效率。教师要有“课堂成本意识”要处理好“投入”与“产出”、“长效”与“短时”、“可持续发展”与“暂时利益”的关系。提高学生学习质量不能以牺牲学生身体健康为代价，靠加班加点、题海战术、机械训练的方法是不可取的。这样的教学即使获得了暂时利益，比如学生的考试成绩暂时提高了，但学生的身心疲惫，失去兴趣和热情，这不是我们提倡的“实效性”。教师要在单位时间里高质量地完成教学任务，必须用关注学生全面可持续发展的理念实施教学。问题四：落实了“数学化”课堂是否就是实效好的课堂？ 小学数学教学的实效性应该体现在让学生有机会真正经历“数学化”的过程；但是不能说只要经历了“数学化”就是落实了课堂教学的实效性。经历“数学化”是落实课堂教学实效性的重要方面，但不是唯一的途径。经历数学化的过程是数学教学有实效性的基础，但不是数学课堂实效性的必然。落实实效性好的课堂必须关注学生的全面发展，必须落实课程目标，而不只是关注学生的数学智慧。我们要通过课堂教学让学生理解数学内涵，使学生在亲身经历对现实进行数学化的过程，学会用数学眼光观察生活，学会在现实生活中发现数学信息，用数学符号描述现象，进行数学建模。学生在这个过程中不是单纯地获取知识，而是探究数学知识的同时感受体验数学思想和方法，经历“数学化”的学习过程，享受获得富有生命活力的优质的数学教育。凡事要有度，把握好度不是一件容易的事，要用心慢慢体验！在教学中用心的去悟 问题五：课堂实效是否可以根据三维教学目标分成相应的三维实效？ 课堂教学的实效性首先取决于课堂教学目标制定的有效性。课堂教学目标制约着课堂的进程与发展，新课程观念的核心是以促进全体学生全面发展。新课程的教学目标是多元的，它不仅关注学生基础知识、基本技能的掌握，还要关注学生的学习过程和方法，关注影响学生终身发展的情感、态度、价值观。我认为课堂教学的实效性的实质即学生获得发展。因此，要把知识技能、过程方法与情感态度价值观三者有机地整合于教学之中，这正是促进学生发展的真正内涵。教学中，我们首先根据学生实际，教学实际制定出切实可行的目标，要处理好三维目标的关系，如何整体落实三维目标，我想说三层意思：一是，与时俱进地选择好教学内容，扎扎实实地为学生的基础知识、基本技能定好位，打好桩。二是，以满腔的热情、智慧的头脑，敏锐的触角关注学生的学习过程和学习结果。唤起学生的智慧，启迪学生的思维，使学生自觉不自觉地运用数学思想、方法创造性地解决问题。三是，小心翼翼地呵护孩子的学习热情，想尽办法调动学生地积极性、主动性，全力以赴地保护好孩子的自尊心、自信心，让学生在学习中体验数学的价值，不断地建立正确的价值观。问题六：课堂教学中，教师对生成性资源的把握非常重要，请您谈谈如何预设基础性生成资源？如何把握稍纵即逝的偶发性资源？ 的确，教师对生成性资源的把握很重要。我们为什么要关注课堂生成呢？我看还是得从关注学生谈起，学生是富有个性的生命体，他们的生活背景不同，认知个性不同，课堂上孩子们会以自己独特的视角观察问题，他们看问题的角度会各俱情态。特别是在学习过程中会自然生成许多资源，如果我们没有关注生成的意识，一些偶发性的资源就会一纵即逝，使真正的问题得不到有效地处理和解决，这样课堂的质量就会大打折扣。因此，教师首先要对课堂生成资源有关注的意识，读懂生成资源对学生发展的价值。 我想用这样的几句话来概括对“课堂生成”的一点认识：精心地预设生成；宽容地接纳生成；理性地认识生成；机智地筛选生成；巧妙地运用生成。问题七：请您分别谈谈如何提供课堂上情境创设、合作学习、自主探究的实效性？ 谈到课堂教学的实效性大家都不约而同地谈到一个问题-数学学习情境的创设。 新课程改革以来，“创设情境”成为我们小学数学课堂中一道亮丽的风景线。一些生动活泼、有趣新颖且富有思考价值、具有挑战性的有意义的课堂学习情境令教师们眼界大开，大家顿悟“原来学生可以在如此丰富多彩的数学世界中学习研究数学。但是一些看似表面热闹，形式多变、牵强附会、毫无数学思考价值的学习情况真的令人不安和担忧。大量的精力放在情境的设计上，大块的课堂时间在“非数学活动中”溜走。我们不得不反思，这样的学习情境能为学生的数学学习带来什么？我们不得不自问：什么是有效的学习情境？ 数学学习为什么要关注学习情境的创设？数学学习需要什么样的学习情境？怎样创设数学学习情境？ 这些问题是值得我们很好思考和研究的。三、特级教师钱守望谈如何上好一节数学课怎样才能上好一节数学课呢？经过十几年的探索与实践，我从中悟出了几点粗浅的体会我认为一节成功的数学公开课应该具备“新”“趣”活”“实“美”的特点，即：新：理念新、思路新、手段新 、趣：引发兴趣、保持兴趣、提高兴趣 ；活：教法灵活、教材用活、学生学活；实：内容充实、训练扎实、目标落实；美：风格美、氛围美、感受美； 新就是不步人后尘，不因循守旧，不照搬别人的教案，努力把课讲出新意来，在某些方面有所突破。具体来讲，主要体现在以下几个方面： 1理念新即先进的教育教学思想 教师的教育观念决定着教师的行为。实施素质教育，关键是端正教育教学思想，打破传统的教育观念的束缚，围绕“一切为了学生，为了一切学生，为了学生的一切”树立新的质量观、教育观和学生观。教育观念的更新包括多方面的内容，对于小学数学教师来说主要涉及以下几个方面。 一是关于学生的观念。 全日制义务教育数学课程标准（实验稿）在基本理念第一条就指出：数学课程应突出体现义务教育的普及性、基础性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现：人人学有价值的数学；人人都能获得必要的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。具体来讲就是： (1)每一个学生都可以学习数学。虽然学生的智力水平、经验背景和学习习惯存在差异，但每一个智力正常的儿童，都可以学习大纲规定的数学内容，都有条件按教学要求学好数学。(2)不同的学生学习不同水平的数学。学生之间的差异是客观存在的，教师应当承认学生的差异，并向不同的学生提出有差别的学习要求，而不是让每一个学生都按同一个水平发展，学习完全一样的数学知识和达到同样程度的数学水平。 (3)允许学生以不同的速度学习数学。教学需要按一定的进度完成，但并不是每一个学生都按同样的速度完成所学的内容。可以允许一部分学生用较快的速度学习，也允许一些学生用较长一点的时间达到相应的要求。 (4)学生可以用自己的方法学习数学。认识和理解数学问题可以有不同的方法教师可以引导学生用适当的方法理解数学问题，同时，教师也应当允许学生用自己的方法去探索和解决问题。有的方法从成人的角度看是好的，而不同的学生可能有不同的感受。可以引导学生对不同的方法加以比较，但不应把某一种方法强加给学生作为必须使用的方法。二是关于教学的观念。 为了使素质教育的要求真正落到实处，在当前的小学数学教学改革中，应当提倡以下一些关于教学的观念。 （l）让学生在活动中学习。学生的数学学习过程不能只是接受现成的数学知识，而是一个以学生已有的知识和经验为基础的主动建构的过程。一节好的数学课，教师应十分关注学生的学习过程，向学生展示知识的发生发展过程。学生的亲身体验和感知有利于获得感性经验，从而实现其认识的内化，促成理解力和判断力的发展，学生正是通过摆弄学具获得关于客体的表象，进而上升为理性认识。教师要尽量给予学生更多的操作实践机会，提供丰富的材料，使学生可以亲自进行实验，体验成功和失败。（2）让学生在合作交流中学习。现代心理学研究表明，教学中学生之间的互动能提高学生的学业成绩和社交能力，改善人际关系，形成良好的学习品质。在课堂教学中，如果想要增进教师与学生、学生与学生之间的相互作用，讨论和以小组为单位的学习是最恰当的选择。如果教师希望帮助学生形成更独立的更有责任心的学习方式，小组讨论的策略也是帮助教师实现这一目标的最佳选择之一。在设计教学计划和组织课堂教学中，要经常给学生提供合作与交流的机会，使学生在合作的过程中学习别人的方法和想法，表达自己对问题的看法，从而学会从不同的角度认识数学；养成与别人合作与交流的习惯。教师要在交流和研讨中营造一种民主的氛围，使学生由被动地听讲变为主动参与，敢于发表自己独特的见解，并学会倾听、尊重他人的意见。（3）让学生在不断“反思”中学习。由于数学对象的抽象性、数学活动的探索性决定了小学生不可能一次性地直接把握数学活动的本质，必须要经过多次的反复思考、深入研究和自我调整才可能洞察数学活动的本质特征。就小学数学课堂教学而言，反思的内容主要有：对自己的思考过程进行反思，对解题思路、分析过程、运算过程、语言的表述进行反思，对所涉及的数学思想方法反思等。当学生在探索过程中遇到障碍或出现错误时，教师可以提出一些针对性的、具有启发性的问题引导学生主动地反思探索过程；当数学活动结束后，要引导学生反思整个探索过程和所获得结论的合理性，以获得成功的体验。 三是关于教师作用的观念。教师要用自己对课程与教学的专业理解。创造性地组织教学，成为课程与教学的决策者。教师应成为课堂教学过程的组织者、指导者和参与者。 学生在教学活动中处于主体地位，教师则应当成为学生学习活动的促进者，而并非单纯的知识传授者，教师可以创设有趣的情境以刺激学生的动机，教师也可以提出适当的问题以启发学生的思考。在数学教学的过程中，教师不应成为”居高临下”的指导者，而应成为一个“平等的”参与者；教师也不应成为正确与错误的“最高裁定者”，而应成为一个鼓励者和有益的启发者。2思路新即构思新颖，实用高效的教学思路 同样的教材，同样的学生，同样的40分钟，同样的教师，由于教学设计思路不同，课堂教学效果却大不相同。 例如，著名特级教师吴正宪老师在教学“分数的初步认识”一课时，是这样引入的： 吴老师从孩子们熟悉的生活中单刀直入开始了知识的学习。“有4个桃子，平均分2个人，每人得到几个？”“啪啪”学生用两下整齐的掌声回答了问题。“有2个桃子，平均分2个人，每人得到几个？”“啪”吴老师不仅不慢地说：“只有一个桃子，平均分2个人，每人得到几个？”同学们你看看我，我看看你，面面相觑。突然有几个同学用右手尖点了一下右手心，“半个”，还有的同学两手心相对并不合上，表示“半个”。熟悉的生活一下子吸引了孩子们的注意力，有的同学不由自主地说：“半个”。吴老师继续说：“对，半个。半个该怎么写呢？小朋友们，能用你喜欢的方法来表示一个桃子的一半吗？”教室里立刻热闹起来，有的同学接过老师手中的粉笔，跑到黑板前画图、写汉字。吴老师认真地看着同学们的板书，孩子们用不同的方式表示着自己心中的“一半”。 在这里，吴老师借助孩子们熟悉的生活引出分数知识，化抽象为具体、予枯燥以趣味，使学生体会到分数来源于生活。新颖的设计，一下子激发了学生的学习兴趣，调动了学生们已有的知识经验，体现了在学生原有生活经验和认知的基础上进行学习的建构主义教学理念。 又如，在教学“圆柱的体积”时，我是这样进行的；教师首先让学生大胆猜想，圆柱体的体积可能等于什么？大部分学生猜测圆柱体的体积可能等于底面积X高。然后给每组同学提供不同的学习材料，让他们自己想办法加以验证。有的组将圆柱体玻璃容器中的水倒入长方体的容器中，再分别测量出长方体容器中水的长、宽、高，计算出了圆柱体玻璃容器中水的体积。有的组将圆柱体木块浸入长方体容器的水中，通过计算上升水的体积计算出了圆柱体木块的体积。然后让学生比较报告单上圆柱体的底面积、高与体积的关系，使学生确自己的猜想是正确的。最后让学生看书自学，按照书中介绍的方法利用手中的学具自己推导出圆柱体的体积公式。 通过长期的教学实践，我深深地体会到,教学只有根据学生的年龄特点和认知发展水平，努力改变教学内容的呈现方式和学生的学习方式，才能把适合教师讲解的内容尽可能变成适合学生探讨研究问题的素材。要尽可能给学生多一点思考的时间，多一点活动的余地，多一点表现自己的机会，多一点体验成功的愉悦，让学生自始至终参与到知识形成的全过程中来，使学生成为数学学习的主人；让学生“动”起来，让课堂”活”起来。这样才能促使学生逐步从“学会”到“会学”，最后达到“好学”的境界。 3手段新即重视现代化手段的运用 投影作为一种较为普及的电教手段，具有简单易行、生动形象、图像清晰、色彩艳丽、可静可动、信息量大等特点。在小学数学教学中，根据教学内容灵活地运用这一手段，对于激发学生学习兴趣，突破教学难点，提高课堂教学效率都是很有好处的。 例如，直线和射线是小学数学中两个很抽象的概念，学生很难理解。过去只能靠语言的形象描述或借助生活中的现象作比喻式解说，学生总是想象不出直线和射线中“无限长”的含义。为此，教学时我设计了两组抽拉片，屏幕上先出现一个亮点，然后向一端延伸，成为一条亮线。教师慢慢抽拉，亮线越来越长。教师一边抽拉，一边叙述“像这样无止境地抽拉下去，亮线将无止境地延长。”借助这样动态的演示，学生头脑中就会出现”无限长”的图景。讲直线时，教师将双向抽拉片向两个方向抽拉，帮助学生想象向两个方向无限延长的情景。因为整个演示的过程学生看得清楚，所以教学效果很好。趣就是激发学生的学习兴趣。大家都知道”兴趣是最好的老师”，孔子也曾说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”由此可见，培养学生的学习兴趣，让学生在愉快的气氛中学习，是调动学生学习积极性，提高以学质量的至关重要的条件，也是减轻学生过重负担的根本措施。 1导入新课时引发学习兴趣。 导人新课是一节课的重要环节，俗话说“良好的开端是成功的一半”，教学的导入就好比提琴家上弦，歌唱家定调，第一个音定准了，就为整个演奏或歌唱奠定了基础。好的导入能集中学生的注意力，引起学生的认知冲突，打破学生的心理平衡，使学生很快进入学习状态。为此，我经常从教材的特点出发，通过组织有趣的小游戏，讲述生动的小故事，或提出一个激起思维的数学问题等方法导入新课。2讲授新课时保持学习兴趣。 学习本身就是一项艰苦的脑力劳动在学习过程中，既需要学生的自身努力，也需要对学习过程产生兴趣。即变“苦学”为“乐学”，变“要我学”为“我要学”。为了保持学生的学习兴趣，我的做法是：（l）重视运用教具、学具和电化教学手段，让学生的多种感官都参与到教学活动之中。（2）营造良好的教学氛围，建立和谐的师生关系，使学生在轻松愉快的环境中学习。（3）创设良好的教学情境，通过富有启发性的问题，通过组织学生相互交流，通过让学生不断体验到成功的欢乐保持学生的学习兴趣。 3巩固练习时提高学习兴趣。 巩固练习是帮助学生掌握新知、形成技能、发展智力、培养能力的重要手段。心理实验表明：学生经过近30分钟的紧张学习之后，注意力已经渡过了最佳时期。此时，学生易疲劳，学习兴趣降低，学困生的表现尤为明显。为了保持较好的学习状态，提高学生的练习兴趣；除了注意练习的目的性、典型性、层次性和针对性以外，我们还要特别注意练习形式的设计。低年级经常采用的游戏活动，高年级主要是提出一些富有思考性的问题或创设一种情境。教学不仅是师生双方信息交流的过程，同样是情感交流的过程。教师精心设计教学，积极激发学生的情趣，必然激活和加速学生的认知活动。教师对学生真挚的爱；积极的鼓励，会心的微笑，殷切的期待，教师为学生创造的愉说、和谐的课堂气氛，必然会给学生创设良好的心理条件，有利于健康的心理素质的培养。 活即教学方法灵活、把教材用活、把学生教活。 1教学方法灵活。 小学数学教学方法多种多样，每一种教学方法都有其特点和适用范围，不存在任何情况下对任何学生都有效的”万能”的教学方法。因此，要从实际出发，选择恰当的教学方法，而且随着教学改革的不断深入，还要创造新的教学方法，以适应时代的要求。教学方法是教学过程这一整体结构中的一个要素，它和其他要素如教学任务、教材、教学手段、教学对象等都是相互联系、相互影响的。小学数学教学方法的选择，必须从这些方面综合考虑。从教学任务来看，感知新教材时，以演示法、实验法为主；理解新教材时，以谈话法、讲解法为主；形成技能技巧时，以练习法为主。从教学内容来看，几何初步知识教学，以演示法、实验法为主；应用题教学，一般以谈话法辅之以讲解法。对不同的新教材，教学方法亦不同，新旧知识联系紧密的可用谈话注、引导发现法等；教学崭新的起始概念，一般用实验法、探究研讨法。从教学对象来看，低年级多用演示法、实验法；中年级多用启发谈话或引导发现法、探究研讨法；高年级可适当用讲解法、自学辅导法。一般来讲，年级越高，教学方法也应该越开放。此外，教学方法的选择，还要视不同班级情况而定。有的班级学生思维相当活跃，可考虑采用引导发现法；有的自我评价能力较强，可以加强独立作业；有的抽象概括能力较为突出，那就可以减少直观手段；有的阅读课本习惯较强，也可适当采用自学辅导法。从教学设备来看，有电化教学设备的学校，就应充分利用幻灯、投影、录音、录像、电影、计算机辅助教学等手段。此外，教师的教学风格不同，所选用的教学方法也会有所不同。 “教学有法，但无定法，贵在得法”，教学中要注意多种方法的有机结合，坚持“一法为主，多法配合”，逐步做到教学时间用得最少，教学效果最好，达到教学方法的整体优化。但无论采用何种方法，教师都要坚持启发式教学，都要坚持在教师的指导下，通过动脑、动口、动手、动眼，让学生积极主动地参与学习活动，都要坚持面向全体、因材施教的教学原则，都要坚。持让学生把学习当成是一种“乐趣”，而不是一种“负担”。 2把教材用活。 修订版大纲提出“教学过程中，教师要充分发挥创造性，依据学生的年龄特点和认知水平，设计探索性和开放性的问题，给学生提供自主探索的机会。让学生在观察、操作、讨论、猜测、归纳、分析和整理的过程中，理解数学问题的提出、数学概念的形成和数学结论的获得以及数学知识的应用”。全日制义务教育数学课程标准（实验稿）在基本理念中也提出“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行现察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求”。“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”。这就要求教师在实际教学中应根据学生的认知规律和现有水平，在领会教材编写意图的同时，不受教材的约束和限制，学会灵活地处理教材，创造性地使用教材。大胆改革教材中的不合理因素，适当增补、调整教学内容，使教学内容向现实、有趣和富有挑战性转变。3把学生教活。（1）要鼓励学生敢于提出问题。问题是数学的心脏。一个有价值的问题往往能成为促使学生积极思考的动力。学生具有运用数学知识去解决问题的能力固然很重要，但是提出一个问题往往比解决一个问题更有意义、更具价值。学生能够提出问题，是敢于和善于揭示自己认知上的矛盾与冲突，积极探求未知的心理需求的具体表现，是一种难能可贵的学习品质。 （2）鼓励学生用自己的方法学习数学。让学生用自己的方法去探索问题和思考问题，鼓励学生用自己认为好的方法学习数学，对学生来说，这就是创新。在解决现实问题的各种思路中，有时确实存在某种方法比较简单，我们在教学中，常采取先发散后集中的策略，所谓集中就是比较各种方法，并说出哪种方法简单，但不能强加于人，要让学生自己比较、选择。（3）在教学中，教师要重视学生的思维训练，要重视教学思考方法的有机渗透，注意发展学生的潜能，精心安排好课堂练习，做到练有重点、练有层次，题型多样，针对性强。在教学中，特别要注意对中、差生的帮助，要创造机会让他们多回答一些问题，学生答错了，不应错过机会，要帮助他们学懂，把错误消灭在萌芽之中，答对了要给予肯定和表扬。就是说，对学生要有一个正确的评价。缺少评价的教学，是不容易调动起学生的积极性的，更谈不上把学生教聪明。（4）坚持学生主体性意识，让学生生动活泼、主动地发展。 小学数学教学中实施素质教育的一个十分重要的问题。就是要着眼于21世纪人才素质的要求、在课堂教学中创造条件让学生自主性得到发展，培养有扎实的数学基础和较强的适应能力，又有独立的人格和创造精神的开拓型人才。在教学中，教师一定要时时处处站在学生的角度来思考教学方案，考虑课堂结构，把学生真正当成学习的主人，充分调动学生学习的主动性和积极性，使学生生动活泼、主动、有效地进行学习。尊重学生，建立和谐的师生关系。在教学活动中，只有对学生热爱、尊重、理解和信任，才能发挥学生学习的主动性、积极性。教师要善于用亲切的眼神、细微的动作、和蔼的态度、热情的话语来缩短师生心灵间的差距，使学生获得精神上的满足。尤其是后进学生，对他们更要少批评多鼓励，从而建立和谐民主的教学氛围，使学生产生与教师合作的欲望。 让学生充分参与学习。教学中，教师要尽量创设各种条件，让每个学生都有充分表现自己的机会，让他们积极参与、主动学习。这样也可以使学生敢于暴露自己学习中存在的问题，对一些疑难问题勇于发表自己的见解。 教给学生学习方法，让他们学会学习。 引导学生撑握一些基本的学习方法，让他们从小学会学习，这既是未来社会对基础教育的客观要求，也是素质教育必须完成的一项基本任务。这就要求教师在教学中要高度重视学习方法的教学，让学生切实掌握一些基本的学习方法，如实际操作、直观感知、抽象概括、演绎推理、迁移类推、系统整理知识等方法。通过这些方法的掌握。促进他们学习能力的发展和素质的全面提高。 实就是教学中要讲求实效，不走过场，不摆花架子，用足球场上的一句话来说，就是教学要“到位”，即努力做到教学内容充实，课堂训练扎实，教学目标落实。 1教学内容充实主要指以下几个方面： （l）合理地确定教学内容的广度和深度。所谓教学内容的广度。是指知识的范围或知识的量，从信息论的角度说就是一节课传输给学生的信息量。一节课的信息量过大，知识点过多，学生难以接受，而一节课的信息量过小，知识点过少，则浪费时间，不利于调动学生的积极性。 （2）明确教学的重点、难点和关键。当一节课的教学内容有几个知识点时，往往需要明确哪些是重点，哪些是难点，以免在教学时抓不住主要的内容，而在次要的或者学生容易接受的内容上多花时间，或者面面俱到平均使用力量，影响重点、难点的理解和掌握，而达不到预定的教学效果。 例如，一年级教学5的认识，由于学生入学前一般都能按实物点数，就不宜在主题画上用过多的时间练习数数，而应把5的组成和写数字5作为教学的重点。一般地说，数学的基本概念、法则、公式、性质都是教学的重点。确定教材的重点，生，对他们更要少批评多鼓励，从而建立和谐民主的教学氛围，使学生产生与教师合作的欲望。 让学生充分参与学习。教学中，教师要尽量创设各种条件，让每个学生都有充分表现自己的机会，让他们积极参与、主动学习。这样也可以使学生敢于暴露自己学习中存在的问题，对一些疑难问题勇于发表自己的见解。 教给学生学习方法，让他们学会学习。引导学生撑握一些基本的学习方法，让他们从小学会学习，这既是未来社会对基础教育的客观要求，也是素质教育必须完成的一项基本任务。这就要求教师在教学中要高度重视学习方法的教学，让学生切实掌握一些基本的学习方法，如实际操作、直观感知、抽象概括、演绎推理、迁移类推、系统整理知识等方法。通过这些方法的掌握。促进他们学习能力的发展和素质的全面提高（3）合理安排教学的顺序。关于小学数学的教学顺序，一般在教材中已经有所安排。但是教材中设计的教学顺序是最基本的，不可能太细。教学的往往还要根据教材的内在联系和学生的具体情况做更细致的安排。例如，一位教师教学面积的概念时，在教材设计的教学顺序的基础上做了以下几点补充： 教学面积的意义后，补充几个图形，让学生识别哪几个是线段围成的平面图形。 教学比较面积的大小时，先让学生把两个不同的长方形纸重叠起来；当学生感到不好比时，再让学生用小正方形分别去量两个长方形，说明用这种方法不仅可以找出哪个图形的面积大，而且知道大多少。 让两个学生用不是同样大的小正方形量同一个长方形的面积，得到两个不同的结果，说明必须用统一的正方形去量，从而引出统一的面积单位。由于教师做了以上的补充，使学生更清楚地理解了面积的概念、面积单位的作用和统一面积单位的必要性。 有时一部分知识可能有不同的教学顺序：这时教师就要考虑哪种顺序更便于学生理解和掌握，哪种顺序更可以节省教学时间，哪种顺序教学效果更好。 （4）要把数学教学和学生的生活实际联系起来，讲来源，讲用处，改变过去“掐头去尾只烧中段”的做法。让学生感到生活周围处处有数学，学起来有亲切感、真实感，要靠知识本身的魅力来吸引学生。 （5）教学过程中做到三个“延伸”。 一是由传授知识向传导方法甚至比专业知识还要重要。教学中教师的语言要做到： （1）注意语言的准确性和科学性。（2）注意语言的逻辑性和系统性。（3）注意语言的启发性和教育性。（4）注意语言的艺术性和示范性。 总之，语言的表达力是教师的重要基本功，要在教学实践中自觉地磨练。课前要结合教学内容，认真思考与组织好课堂教学语言，课后要及时小结语言运用的成功与不足。应该意识到每一节课都是一次语言表达能力的实际锻炼。只要有意识地加强语言的修养，并注意向其他教师学习运用语言的艺术，日久天长，定会形成自己的语言风格。 板书美。板书是一种书面语言。教学过程中，教师在黑板上书写的