2017年辽宁省本溪高中、大连育明高中、大连二十四中联考高考数学模拟试卷（理科）（含解析）

2017年辽宁省本溪高中、大连育明高中、大连二十四中联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合，且，则的值为A1BC1或D1或或02（5分）设是虚数单位），则的虚部为ABCD3（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的，分别为8，12，则输出的A4B2C0D144（5分）已知函数的图象的一个对称中心是点，则函数的图象的一条对称轴是直线ABCD5（5分）已知等差数列的公差，且，成等比数列，若，是数列前项的和，则的最小值为A4B3CD6（5分）对于任意，函数的值总大于0，则的取值范围是AB或CD或7（5分）已知，是平面上不共线的三点，是的重心，动点满足，则一定为的A边中线的三等分点（非重心）B边的中点C边中线的中点D重心8（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的是A8BC12D169（5分）设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为AB，CD10（5分）已知为坐标原点，双曲线的两条渐近线分别为，右焦点为，以为直径作圆交于异于原点的点，若点在上，且，则双曲线的离心率等于ABC2D311（5分）已知，则与的值最接近的是A0.99818B0.9999C1.0001D2.000212（5分）已知函数，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是A，B，C，D，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）抛物线的准线方程是，则的值为 14（5分）如图，平面四边形中，将其沿对角线折成四面体，使平面平面四面体顶点在同一个球面上，则该球的体积为15（5分）已知的三个内角，的对边依次为，外接圆半径为1，且满足，则面积的最大值为 16（5分）已知函数，方程有四个实数根，则的取值范围三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知、分别是的三个内角、的对边，（1）求的大小；（2）若等差数列中，设数列的前项和为，求证：18（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点（）若，求证：平面平面；（）若平面平面，且，点在线段上，试确定点的位置，使二面角大小为，并求出的值19（12分）已知从“神十”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的若该研究所共进行四次实验，设表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值（）求随机变量的分布列及的数学期望；（）记“不等式的解集是实数集”为事件，求事件发生的概率（A）20（12分）已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为（1）求椭圆的方程；（2）过点作互相垂直的两条直线，且交椭圆于，两点，直线交圆于，两点，且为的中点，求的面积的取值范围21（12分）已知函数，其中为实数（）求函数的极值；（）设，若对任意的、，恒成立，求实数的最小值请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分10分）22（10分）已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为为参数），将曲线上的所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍，得到曲线（1）写出曲线的参数方程和曲线的普通方程；（2）已知点，曲线与曲线相交于，求选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）23已知，且（）求的最小值；（）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围2017年辽宁省本溪高中、大连育明高中、大连二十四中联考高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合，且，则的值为A1BC1或D1或或0【考点】18：集合的包含关系判断及应用【专题】11：计算题【分析】利用，写出的子集，求出各个子集对应的的值【解答】解：； ； 当时，当时，当时，故的值是0；1；故选：【点评】本题考查等价转化的数学思想方法、分类讨论的数学思想方法、写出集合的子集2（5分）设是虚数单位），则的虚部为ABCD【考点】：复数的运算【专题】11：计算题【分析】把代入后，利用共轭复数对分母实数化进行化简，整理出实部和虚部即可【解答】解：，的虚部是，故选：【点评】本题考查了复数的混合运算，主要利用共轭复数对分母实数化进行化简，是基础题3（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的，分别为8，12，则输出的A4B2C0D14【考点】：程序框图【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；：算法和程序框图【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的，的值，即可得到结论【解答】解：由，不满足，则变为，由，则变为，由，则输出的故选：【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题4（5分）已知函数的图象的一个对称中心是点，则函数的图象的一条对称轴是直线ABCD【考点】：两角和与差的三角函数；：正弦函数的奇偶性和对称性【专题】56：三角函数的求值【分析】由对称中心可得，代入由三角函数公式化简可得，令解可得对称轴，对照选项可得【解答】解：的图象的一个对称中心是点，解得，令可得，函数的对称轴为，结合四个选项可知，当时符合题意，故选：【点评】本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数对称性，属中档题5（5分）已知等差数列的公差，且，成等比数列，若，是数列前项的和，则的最小值为A4B3CD【考点】83：等差数列的性质【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列【分析】由题意得，求出公差的值，得到数列的通项公式，前项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值【解答】解：，、成等比数列，得或（舍去），令，则当且仅当，即时，的最小值为4故选：【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题6（5分）对于任意，函数的值总大于0，则的取值范围是AB或CD或【考点】：二次函数的性质与图象【专题】11：计算题【分析】把二次函数的恒成立问题转化为在，上恒成立，再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出的取值范围【解答】解：原题可转化为关于的一次函数在，上恒成立，只需或故选：【点评】本题的做题方法的好处在于避免了讨论二次函数的对称轴和变量间的大小关系，而一次函数在闭区间上的最值一定在端点处取得，所以就把解题过程简单化了7（5分）已知，是平面上不共线的三点，是的重心，动点满足，则一定为的A边中线的三等分点（非重心）B边的中点C边中线的中点D重心【考点】：向量数乘和线性运算【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；：平面向量及应用【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用向量加法的平行四边形法则以及共线的向量的加法法则，即可得出正确的结论【解答】解：如图所示：设 的中点是，是三角形的重心，在边的中线上，是中线的三等分点，不是重心故选：【点评】本题考查了平面向量的应用问题，也考查了三角形的重心的应用问题，是综合性题目8（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的是A8BC12D16【考点】：由三视图求面积、体积【专题】11：计算题；33：函数思想；35：转化思想；：空间位置关系与距离【分析】根据三视图得出该几何体是在棱长为4的正方体中的三棱锥，画出图形，求出各个面积即可【解答】解：根据题意，得；该几何体是如图所示的三棱锥，且该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，所以，在三棱锥中，在三角形中，作于，连结，则，故选：【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是由三视图还原为几何体，是中档题9（5分）设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为AB，CD【考点】：简单线性规划【专题】16：压轴题；31：数形结合【分析】根据，我们可以判断直线的倾斜角位于区间，上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数对应的直线与直线垂直，且在直线与直线交点处取得最大值，由此构造出关于的不等式组，解不等式组即可求出 的取值范围【解答】解：故直线与直线交于点，目标函数对应的直线与直线垂直，且在点，取得最大值其关系如下图所示：即，解得又解得故选：【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中根据平面直线方程判断出目标函数对应的直线与直线垂直，且在点取得最大值，并由此构造出关于的不等式组是解答本题的关键10（5分）已知为坐标原点，双曲线的两条渐近线分别为，右焦点为，以为直径作圆交于异于原点的点，若点在上，且，则双曲线的离心率等于ABC2D3【考点】：双曲线的性质【专题】31：数形结合；34：方程思想；：转化法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出双曲线的渐近线的方程和圆的方程，联立方程求出，的坐标，结合点在渐近线上，建立方程关系进行求解即可【解答】解：双曲线的渐近线方程，圆的方程为，将代入，得，即，则或，当时，即，设，则，则，则，即，即，即，则，则，故选：【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件建立方程组关系，求出交点坐标，转化为，的关系是解决本题的关键考查学生的计算能力11（5分）已知，则与的值最接近的是A0.99818B0.9999C1.0001D2.0002【考点】：正弦函数的定义域和值域【专题】56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质【分析】把区间，平均分成10000份，每一个矩形的宽为，第个的矩形的高为，则表示这20000个小矩形的面积之和，且这10000个小矩形的面积之和略大于与、所围成的面积再根据定积分的定义求得与、所围成的面积为 1，可得的值略大于1，结合所给的选项，得出结论【解答】解：把区间，平均分成10000份，每一个矩形的宽为，第高为，则表示这20000个小矩形的面积之和，且这10000个小矩形的面积之和略大于与、所围成的面积再根据定积分的定义，与、所围成的面积为，故的值略大于1，结合所给的选项，故选：【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，定积分的定义，体现了转化的数学思想，属于基础题12（5分）已知函数，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是A，B，C，D，【考点】：对数函数的图象与性质【专题】51：函数的性质及应用【分析】由已知，得到方程在上有解，构造函数，求出它的值域，得到的范围即可【解答】解：由已知，得到方程在上有解设，求导得：，在有唯一的极值点，（e），（1），且知（e），故方程在上有解等价于从而的取值范围为，故选：【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程在上有解二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）抛物线的准线方程是，则的值为【考点】：抛物线的性质【专题】11：计算题；34：方程思想；：演绎法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由于抛物线即的准线方程为，可得，即可求得【解答】解：抛物线即的准线方程为，由题意可得，解得故答案为【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法，属于基础题14（5分）如图，平面四边形中，将其沿对角线折成四面体，使平面平面四面体顶点在同一个球面上，则该球的体积为【考点】：球的体积和表面积【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】由题意可知，四面体顶点在同一个球面上，的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的体积【解答】解：平面四边形中，将其沿对角线折成四面体，使平面平面四面体顶点在同一个球面上，和都是直角三角形，的中点就是球心，所以，球的半径为：；所以球的体积为：；故答案为：【点评】本题是基础题，考查四面体的外接球的体积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力15（5分）已知的三个内角，的对边依次为，外接圆半径为1，且满足，则面积的最大值为【考点】：正弦定理；：余弦定理【专题】11：计算题；58：解三角形【分析】利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据不为0，可得出的值，然后利用余弦定理表示出，根据的值，得出，再利用正弦定理表示出，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出的最大值，进而由的值及的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形面积的最大值【解答】解：由，利用正弦定理可得：，即，即，（当且仅当时，取等号），面积为，则面积的最大值为：故答案为：【点评】此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题16（5分）已知函数，方程有四个实数根，则的取值范围【考点】53：函数的零点与方程根的关系【专题】51：函数的性质及应用【分析】函数是分段函数，通过求导分析得到函数在上为增函数，在上为增函数，在上为减函数，求得函数在上，当时有一个最大值，所以，要使方程有四个实数根，的值一个要在内，一个在内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解的取值范围【解答】解：，当时，恒成立，所以在，上为增函数；当时，由，得，当时，为增函数，当时，为减函数，所以函数在上有一个极大值为，要使方程有四个实数根，如图：令，则方程应有两个不等根，且一个根在内，一个根在内，再令，因为，则只需，即，解得：所以，使得函数，方程有四个实数根的的取值范围是故答案为【点评】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程有四个实数根时的取值情况，此题属于中高档题三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知、分别是的三个内角、的对边，（1）求的大小；（2）若等差数列中，设数列的前项和为，求证：【考点】：数列的求和；：余弦定理【专题】54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法；58：解三角形【分析】（1）过点作边上的高交与，通过，可知；（2）通过（1）及、可知公差，进而可得通项，分离分母得，并项相加即可【解答】（1）解：过点作边上的高交与，则、均为直角三角形，；（2）证明：由（1）知，设等差数列的公差为，【点评】本题考查等差数列的性质，考查三角形的角的大小，利用并项法是解决本题的关键，属于中档题18（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点（）若，求证：平面平面；（）若平面平面，且，点在线段上，试确定点的位置，使二面角大小为，并求出的值【考点】：平面与平面垂直；：二面角的平面角及求法【专题】：空间位置关系与距离【分析】由已知条件推导出，从而得到平面，由此能够证明平面平面以为坐标原点，分别以，为，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果【解答】证明：，为的中点，又底面为菱形，又，平面，又平面，平面平面平面平面，平面平面，平面以为坐标原点，分别以，为，轴，建立空间直角坐标系如图则由题意知：，0，0，设，则，平面的一个法向量是，0，设平面的一个法向量为，则，取，（9分）二面角大小为，解得，此时（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用19（12分）已知从“神十”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的若该研究所共进行四次实验，设表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值（）求随机变量的分布列及的数学期望；（）记“不等式的解集是实数集”为事件，求事件发生的概率（A）【考点】：互斥事件的概率加法公式；：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；：离散型随机变量的期望与方差【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：概率与统计【分析】（1）四次实验结束时，实验成功的次数可能为0，1，2，3，4，实验失败的次数可能为4，3，2，1，0，的可能取值为4，2，0分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和期望（2）的可能取值为0，2，4当时，不等式为对恒成立，解集为；当时，不等式为，解集为；时，不等式为，解集为，不为，由此能求出事件发生的概率（A）【解答】解：（1）四次实验结束时，实验成功的次数可能为0，1，2，3，4，相应地，实验失败的次数可能为4，3，2，1，0，所以的可能取值为4，2，0，所以的分别列为：024期望（6分）（2）的可能取值为0，2，4当时，不等式为对恒成立，解集为；当时，不等式为，解集为；时，不等式为，解集为，不为，所以（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机事件的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用20（12分）已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为（1）求椭圆的方程；（2）过点作互相垂直的两条直线，且交椭圆于，两点，直线交圆于，两点，且为的中点，求的面积的取值范围【考点】：椭圆的性质【专题】35：转化思想；：换元法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）求得圆的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程可得，的值，进而得到椭圆方程；（2）讨论两直线的斜率不存在和为0，求得三角形的面积为4；设直线，代入圆的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得的坐标，求得的长，再由直线的方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围【解答】解：（）因为椭圆的右焦点，圆的圆心，在椭圆上，代入椭圆，由解得：，所以椭圆的方程为；（）由题意可得的斜率不为零，当垂直轴时，的面积为，当不垂直轴时，设直线的方程为：，则直线的方程为：，由消去得，所以，则，又圆心到的距离得，又，所以点到的距离等于点到的距离，设为，即，所以面积，令，则，综上，面积的取值范围为【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查三角形的面积的范围，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及三角形的面积公式，运用换元法和函数的单调性，属于中档题21（12分）已知函数，其中为实数（）求函数的极值；（）设，若对任意的、，恒成立，求实数的最小值【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的极值；：利用导数研究函数的最值【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（）设，根据函数的单调性得到在，上为增函数，问题等价于设，根据函数的单调性求出的最小值即可【解答】解：（），令，得，列表如下：10极大值当时，取得极大值（1），无极小值；（4分）（）当时，在，恒成立，在，上为增函数，设，在，上恒成立，在，上为增函数，不妨设，则等价于：，即，（6分）设，则在，上为减函数，在，上恒成立，恒成立，（8分）