2018中考数学题型专项研究12讲：2018中考数学题型专项研究第11讲：相似三角形的判定与性质

更多资料见微信公众号：数学第六感；小编微信：AA-teacher第11讲相似三角形的判定与性质1有关相似三角形的计算问题(如边、角、周长、面积等)2用相似三角形解决实际问题3证明两个三角形相似或有关相似三角形的证明1对应关系判断错误2忽视分类讨论而出错3错记相似三角形的面积比而出错1求证两三角形相似，方法有：(1)对应的两个角相等(经常用到)；(2)三组对应边成比例；(3)两组对应边成比例，并且相应的夹角相等；(4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；(5)对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形(定义)2相似三角形的对应角相等，对应边成比例，相似比边长比周长比对应高的比对应中线的比对应角平分线的比；面积比相似比的平方3做题时灵活运用相关知识1有关相似三角形的计算问题：熟悉并掌握相似三角形的性质，在求解过程中能够找出边或角的对应关系，适当的运用方程、转化、分类等数学思想2用相似三角形解决实际问题：首先将实际问题转化为相似三角形的模型，再判断说明两个三角形相似及利用相似三角形的性质求解3证明两个三角形相似或有关相似三角形的证明：熟悉并掌握相似三角形的判定方法，注意总结归纳相似三角形的一些基本模型【典例解析】【例题1】（2017山东泰安）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，MEAM，ME交AD的延长线于点E若AB=12，BM=5，则DE的长为（）A18BCD【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；LE：正方形的性质【分析】先根据题意得出ABMMCG，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据MCGEDG即可得出结论【解答】解：四边形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，MC=125=7MEAM，AME=90，AMB+CMG=90AMB+BAM=90，BAM=CMG，B=C=90，ABMMCG，=，即=，解得CG=，DG=12=AEBC，E=CMG，EDG=C，MCGEDG，=，即=，解得DE=故选B【例题2】（2017毕节）如图，在ABCD中 过点A作AEDC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且AFE=D（1）求证：ABFBEC；（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质；T7：解直角三角形【分析】（1）由平行四边形的性质得出ABCD，ADBC，AD=BC，得出D+C=180，ABF=BEC，证出C=AFB，即可得出结论；（2）由勾股定理求出BE，由三角函数求出AE，再由相似三角形的性质求出AF的长【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，AD=BC，D+C=180，ABF=BEC，AFB+AFE=180，C=AFB，ABFBEC；（2）解：AEDC，ABDC，AED=BAE=90，在RtABE中，根据勾股定理得：BE=4，在RtADE中，AE=ADsinD=5=4，BC=AD=5，由（1）得：ABFBEC，即，解得：AF=2ADFDEC，【例题3】（2017湖北江汉）在RtABC中，ACB=90，点D与点B在AC同侧，DACBAC，且DA=DC，过点B作BEDA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME（1）如图1，当ADC=90时，线段MD与ME的数量关系是MD=ME；（2）如图2，当ADC=60时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当ADC=时，求的值【考点】SO：相似形综合题【分析】（1）先判断出AMFBME，得出AF=BE，MF=ME，进而判断出EBC=BEDECB=45=ECB，得出CE=BE，即可得出结论；（2）同（1）的方法即可；（3）同（1）的方法判断出AF=BE，MF=ME，再判断出ECB=EBC，得出CE=BE即可得出MDE=，即可得出结论【解答】解：（1）如图1，延长EM交AD于F，BEDA，FAM=EBM，AM=BM，AMF=BME，AMFBME，AF=BE，MF=ME，DA=DC，ADC=90，BED=ADC=90，ACD=45，ACB=90，ECB=45，EBC=BEDECB=45=ECB，CE=BE，AF=CE，DA=DC，DF=DE，DMEF，DM平分ADC，MDE=45，MD=ME，故答案为MD=ME；（2）MD=ME，理由：如图2，延长EM交AD于F，BEDA，FAM=EBM，AM=BM，AMF=BME，AMFBME，AF=BE，MF=ME，DA=DC，ADC=60，BED=ADC=60，ACD=60，ACB=90，ECB=30，EBC=BEDECB=30=ECB，CE=BE，AF=CE，DA=DC，DF=DE，DMEF，DM平分ADC，MDE=30，在RtMDE中，tanMDE=，MD=ME（3）如图3，延长EM交AD于F，BEDA，FAM=EBM，AM=BM，AMF=BME，AMFBME，AF=BE，MF=ME，延长BE交AC于点N，BNC=DAC，DA=DC，DCA=DAC，BNC=DCA，ACB=90，ECB=EBC，CE=BE，AF=CE，DF=DE，DMEF，DM平分ADC，ADC=，MDE=，在RtMDE中， =tanMDE=tan【例题4】（1）阅读理解：如图，在四边形ABCD中，ABDC，E是BC的中点，若AE是BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证AEBFEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断AB、AD、DC之间的等量关系为AD=AB+DC；（2）问题探究：如图，在四边形ABCD中，ABDC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论（3）问题解决：如图，ABCF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且EDF=BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论【考点】SO：相似形综合题【分析】（1）延长AE交DC的延长线于点F，证明AEBFEC，根据全等三角形的性质得到AB=FC，根据等腰三角形的判定得到DF=AD，证明结论；（2）延长AE交DF的延长线于点G，利用同（1）相同的方法证明；（3）延长AE交CF的延长线于点G，根据相似三角形的判定定理得到AEBGEC，根据相似三角形的性质得到AB=CG，计算即可【解答】解：（1）如图，延长AE交DC的延长线于点F，ABDC，BAF=F，E是BC的中点，CE=BE，在AEB和FEC中，AEBFEC，AB=FC，AE是BAD的平分线，DAF=BAF，DAF=F，DF=AD，AD=DC+CF=DC+AB，故答案为：AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，证明：如图，延长AE交DF的延长线于点G，E是BC的中点，CE=BE，ABDC，BAE=G，在AEB和GEC中，AEBGEC，AB=GC，AE是BAF的平分线，BAG=FAG，ABCD，BAG=G，FAG=G，FA=FG，AB=CG=AF+CF；（3）AB=（CF+DF），证明：如图，延长AE交CF的延长线于点G，ABCF，AEBGEC，=，即AB=CG，ABCF，A=G，EDF=BAE，FDG=G，FD=FG，AB=CG=（CF+DF）【专项训练】一、选择题：1. 如图，把ABC沿着BC的方向平移到DEF的位置，它们重叠部分的面积是ABC面积的一半，若BC=，则ABC移动的距离是（）ABCD【分析】移动的距离可以视为BE或CF的长度，根据题意可知ABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以EC：BC=1：，推出EC的长，利用线段的差求BE的长【解答】解：ABC沿BC边平移到DEF的位置，ABDE，ABCHEC，=（）2=，EC：BC=1：，BC=，EC=，BE=BCEC=故选：D【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于证ABC与阴影部分为相似三角形2. （2017哈尔滨）如图，在ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DEBC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（）A =B =C =D =【考点】S9：相似三角形的判定与性质【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案【解答】解：（A）DEBC，ADEABC，故A错误；（B）DEBC，故B错误；（C）DEBC，故C正确；（D）DEBC，AGEAFC，=，故D错误；故选（C）3. （2017山东临沂）已知ABCD，AD与BC相交于点O若=，AD=10，则AO=4【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可【解答】解：ABCD，=，即=，解得，AO=4，故答案为：4【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键4. （2017绥化）如图，在ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知SAEF=4，则下列结论： =；SBCE=36；SABE=12；AEFACD，其中一定正确的是（）ABCD【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质【分析】根据平行四边形的性质得到AE=CE，根据相似三角形的性质得到=，等量代换得到AF=AD，于是得到=；故正确；根据相似三角形的性质得到SBCE=36；故正确；根据三角形的面积公式得到SABE=12，故正确；由于AEF与ADC只有一个角相等，于是得到AEF与ACD不一定相似，故错误【解答】解：在ABCD中，AO=AC，点E是OA的中点，AE=CE，ADBC，AFECBE，=，AD=BC，AF=AD，=；故正确；SAEF=4， =（）2=，SBCE=36；故正确；=，=，SABE=12，故正确；BF不平行于CD，AEF与ADC只有一个角相等，AEF与ACD不一定相似，故错误，故选D5. （2017湖北江汉）如图，矩形ABCD中，AEBD于点E，CF平分BCD，交EA的延长线于点F，且BC=4，CD=2，给出下列结论：BAE=CAD；DBC=30；AE=；AF=2，其中正确结论的个数有（）A1个B2个C3个D4个【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LB：矩形的性质【分析】根据余角的性质得到BAE=ADB，等量代换得到BAE=CAD，故正确；根据三角函数的定义得到tanDBC=，于是得到DBC30，故错误；由勾股定理得到BD=2，根据相似三角形的性质得到AE=；故正确；根据角平分线的定义得到BCF=45，求得ACF=45ACB，推出EAC=2ACF，根据外角的性质得到EAC=ACF+F，得到ACF=F，根据等腰三角形的判定得到AF=AC，于是得到AF=2，故正确【解答】解：在矩形ABCD中，BAD=90，AEBD，AED=90，ADE+DAE=DAE+BAE=90，BAE=ADB，CAD=ADB，BAE=CAD，故正确；BC=4，CD=2，tanDBC=，DBC30，故错误；BD=2，AB=CD=2，AD=BC=4，ABEDBA，即，AE=；故正确；CF平分BCD，BCF=45，ACF=45ACB，ADBC，DAC=BAE=ACB，EAC=902ACB，EAC=2ACF，EAC=ACF+F，ACF=F，AF=AC，AC=BD=2，AF=2，故正确；故选C二、填空题：6. （2017湖北随州）在ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE=或时，以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似【考点】S8：相似三角形的判定【分析】若A，D，E为顶点的三角形与ABC相似时，则=或=，分情况进行讨论后即可求出AE的长度【解答】解：当=时，A=A，AEDABC，此时AE=；当=时，A=A，ADEABC，此时AE=；故答案为：或7. （2017齐齐哈尔）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”如图，线段CD是ABC的“和谐分割线”，ACD为等腰三角形，CBD和ABC相似，A=46，则ACB的度数为113或92【考点】S7：相似三角形的性质；KH：等腰三角形的性质【分析】由ACD是等腰三角形，ADCBCD，推出ADCA，即ACCD，分两种情形讨论当AC=AD时，当DA=DC时，分别求解即可【解答】解：BCDBAC，BCD=A=46，ACD是等腰三角形，ADCBCD，ADCA，即ACCD，当AC=AD时，ACD=ADC=67，ACB=67+46=113，当DA=DC时，ACD=A=46，ACB=46+46=92，故答案为113或928. （2017内江）如图，四边形ABCD中，ADBC，CM是BCD的平分线，且CMAB，M为垂足，AM=AB若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是1【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KJ：等腰三角形的判定与性质【分析】延长BA、CD，交点为E依据题意可知MB=ME然后证明EADEBC依据相似三角形的性质可求得EAD和EBC的面积，最后依据S四边形AMCD=SEBCSEAD求解即可【解答】解：如图所示：延长BA、CD，交点为ECM平分BCD，CMAB，MB=ME又AM=AB，AE=ABAE=BEADBC，EADEBC=S四边形ADBC=SEBC=SEBC=SEAD=S四边形AMCD=SEBCSEAD=1故答案为：19. （2017内江）如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且DFE=45若PF=，则CE=【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LE：正方形的性质【分析】如图，连接EF首先求出DM、DF的长，证明DEFDPC，可得=，求出DE即可解决问题【解答】解：如图，连接EF四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA=2，DAB=90，DCP=45，AM=BM=1，在RtADM中，DM=，AMCD，=，DP=，PF=，DF=DP=PF=，EDF=PDC，DFE=DCP，DEFDPC，=，=，DE=，CE=CDDE=2=故答案为10. （2017呼和浩特）如图，在ABCD中，B=30，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F，点M是边AB的一个三等分点，则AOE与BMF的面积比为3：4【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质【分析】作MHBC于H，设AB=AC=m，则BM=m，MH=BM=m，根据平行四边形的性质求得OA=OC=AC=m，解直角三角形求得FC=m，然后根据ASA证得AOECOF，证得AE=FC=m，进一步求得OE=AE=m，从而求得SAOE=m2，作ANBC于N，根据等腰三角形的性质以及解直角三角形求得BC=m，进而求得BF=BCFC=mm=m，分别求得AOE与BMF的面积，即可求得结论【解答】解：设AB=AC=m，则BM=m，O是两条对角线的交点，OA=OC=AC=m，B=30，AB=AC，ACB=B=30，EFAC，cosACB=，即cos30=，FC=m，AEFC，EAC=FCA，又AOE=COF，AO=CO，AOECOF，AE=FC=m，OE=AE=m，SAOE=OAOE=m=m2，作ANBC于N，AB=AC，BN=CN=BC，BN=AB=m，BC=m，BF=BCFC=mm=m，作MHBC于H，B=30，MH=BM=m，SBMF=BFMH=mm=m2，=故答案为3：4三、解答题：1. （2017.江苏宿迁）如图，在ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足DEF=B，且点D、F分别在边AB、AC上（1）求证：BDECE