高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.3 数学归纳法与贝努利不等式 2.3.2 数学归纳法的应用课件 北师大版选修45.ppt

3 2数学归纳法的应用 1 进一步掌握利用数学归纳法证明不等式的方法和技巧 2 了解贝努利不等式 并能利用它证明简单的不等式 1 用数学归纳法证明不等式运用数学归纳法证明不等式的两个步骤实际上是分别证明两个不等式 尤其是第二步 一方面需要我们充分利用归纳假设提供的 便利 另一方面还需要结合运用比较法 综合法 分析法 反证法和放缩法等其他不等式的证明方法 名师点拨从 n k 到 n k 1 的方法与技巧 在用数学归纳法证明不等式的问题中 从 n k 到 n k 1 的过渡 利用归纳假设是比较困难的一步 它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样 只需拼凑出所需要的结构来 而证明不等式的第二步中 从 n k 到 n k 1 只用拼凑的方法 有时也行不通 因为对不等式来说 它还涉及 放缩 的问题 它可能需要通过 放大 或 缩小 的过程 才能利用上归纳假设 因此 我们可以利用 比较法 综合法 分析法 等来分析从 n k 到 n k 1 的变化 从中找到 放缩尺度 准确地拼凑出所需要的结构 做一做1 1 设f k 是定义在正整数集上的函数 且f k 满足 当f k k2成立时 总可推出f k 1 k 1 2成立 那么下列命题总成立的是 a 若f 3 9成立 则当k 1时 均有f k k2成立b 若f 5 25成立 则当k42 对于任意的k 4 总有f k k2成立 答案 d 2 贝努利不等式对任何实数x 1和任何正整数n 有 1 x n 1 nx 做一做2 设n n 求证 3n 2n 分析 利用贝努利不等式来证明 证明 3n 1 2 n 根据贝努利不等式 有 1 2 n 1 n 2 1 2n 上式右边舍去1 得 1 2 n 2n 3n 2n成立 题型一 题型二 题型三 题型一用数学归纳法证明不等式 分析 利用数学归纳法证明 题型一 题型二 题型三 反思在利用数学归纳法证明不等式时 要注意对式子的变形 通过放缩 比较 分析 综合等证明不等式的方法 得出要证明的目标不等式 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型二利用贝努利不等式证明不等式 分析 用求商比较法证明an 1 an 其中要用贝努利不等式 题型一 题型二 题型三 反思本题在证明的过程中 综合运用了求商比较法 放缩法 并且恰当地通过贝努利不等式证明不等式成立 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型三归纳 猜想 证明 例3 已知函数g x x2 2x x 1 f x a b x ax bx 其中a b r a 1 b 1 a b 且ab 4 对于任意n n 试判断f n 与g 2n 的大小关系 并证明你的结论 分析 欲比较f n 与g 2n 的大小 需求出f n 与g 2n 关于n的表达式 解 f n a b n an bn g 2n 4n 2n 1 当n 1时 f 1 0 g 2 0 有f 1 g 2 当n 2时 f 2 a b 2 a2 b2 2ab 8 g 22 42 23 8 有f 2 g 22 题型一 题型二 题型三 当n 4时 f 4 a b 4 a4 b4 4a3b 4ab3 6a2b2 4ab a2 b2 6a2b2 4ab 2ab 6a2b2 14a2b2 224 g 24 44 25 224 有f 4 g 24 由此猜想当1 n 2 n n 时 f n g 2n 当n 3 n n 时 f n g 2n 下面用数学归纳法证明 1 当n 3时 由上述计算知猜想成立 题型一 题型二 题型三 2 假设当n k k 3 k n 时 猜想成立 则f k g 2k 即 a b k ak bk 4k 2k 1 则当n k 1时 f k 1 a b k 1 ak 1 bk 1 a b a b k a ak b bk a b a b k ak bk akb abk 反思利用数学归纳法解决探索型不等式问题的思路是 先通过观察 判断 猜想得出结论 然后用数学归纳法证明结论 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 1 2 3 4 5 答案 c 1 2 3