度高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 第二课时 函数的最大（小）值课件 新人教A版必修1.ppt

第二课时函数的最大 小 值 课标要求 1 理解函数的最大 小 值及其几何意义 2 会求一些简单函数的最大值或最小值 3 体会数形结合思想 分类讨论思想在求解最值问题中的应用 自主学习 新知建构 自我整合 情境导学 导入如图所示是某市房管局公布的2013年10月 2014年9月该市房价走势图 想一想1 从导入图中能否得出2013年10月 2014年9月房价的最大值 在2014年5月 房价达到最大值 约为27000元 想一想2 从导入图中能否得出2013年10月 2014年9月房价的最小值 在2013年12月 房价达到最小值 约为25400元 知识探究 1 最大值 1 定义 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 对于任意的x i 都有f x m 存在x0 i 使得 那么 称m是函数y f x 的最大值 2 几何意义 函数y f x 的最大值是图象最点的坐标 探究 若函数f x m 则m一定是函数的最大值吗 答案 不一定 只有定义域内存在一点x0 使f x0 m时 m才是函数的最大值 否则不是 f x0 m 纵 高 2 最小值 1 定义 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 对于任意的x i 都有f x m 存在x0 i 使得 那么 称m是函数y f x 的最小值 2 几何意义 函数y f x 的最小值是图象最点的坐标 f x0 m 低 纵 自我检测 b 1 最小值 函数y x2 2x 1在 0 3 上的最小值为 a 0 b 4 c 1 d 以上都不对2 最大值 函数f x 3 x2的最大值为 a 3 b 2 c 0 d 4 a b 4 最值的应用 若函数y ax 1在 1 2 上的最大值与最小值的差为2 则实数a的值是 答案 2 5 最值 函数f x 在 2 上的图象如图所示 则函数的最小值为 最大值为 答案 不存在3 题型一 图象法求最值 课堂探究 典例剖析 举一反三 1 画出函数的图象并写出函数的单调区间 2 根据函数的图象求出函数的最小值 解 1 函数的图象如图所示 由图象可知f x 的单调递增区间为 0 和 0 无递减区间 2 由函数图象可知 函数的最小值为f 0 1 方法技巧利用图象求函数最值的方法 画出函数y f x 的图象 观察图象 找出图象的最高点和最低点 写出最值 最高点的纵坐标是函数的最大值 最低点的纵坐标是函数的最小值 即时训练1 1 作出函数y x 2 x 1 的图象 说明函数的单调性 并判断是否存在最大值和最小值 题型二 单调性法求最值 例2 已知函数f x 1 判断函数在区间 1 上的单调性 并用定义证明你的结论 2 求该函数在区间 2 4 上的最大值和最小值 方法技巧 1 由函数单调性结合函数图象找出最高 低 点的纵坐标即为函数的最大 小 值 2 分段函数的最大 小 值是函数整体上的最大 小 值 1 判断f x 在 3 5 上的单调性 并证明 2 求f x 在 3 5 上的最大值和最小值 备用例2 已知函数f x 1 1 证明 函数f x 在定义域上是增函数 2 求函数f x 在 3 0 上的最大值与最小值 3 求函数的值域 题型三 二次函数的最值 例3 已知函数f x 3x2 12x 5 当自变量x在下列范围内取值时 求函数的最大值和最小值 1 x r 解 f x 3x2 12x 5 3 x 2 2 7 1 当x r时 f x 3 x 2 2 7 7 当x 2时 等号成立 即函数f x 的最小值为 7 无最大值 2 0 3 3 1 1 解 2 函数f x 3 x 2 2 7的图象如图所示 由图可知 函数f x 在 0 2 上递减 在 2 3 上递增 并且f 0 5 f 2 7 f 3 4 所以在 0 3 上 f x max f 0 5 f x min f 2 7 3 由图象可知 f x 在 1 1 上单调递减 f x max f 1 20 f x min f 1 4 变式探究 1 若本例函数解析式不变 求此函数在 0 a 上的最大值和最小值 解 1 由题意知a 0 f x 3x2 12x 5 3 x 2 2 7 故此函数的对称轴为x 2 当0 a 2时 f x min f a 3a2 12a 5 f x max f 0 5 当2 a 4时 f x min f 2 7 f x max f 0 5 当a 4时 f x min f 2 7 f x max f a 3a2 12a 5 2 若将函数 f x 3x2 12x 5 变为 f x x2 2ax 2 则函数在 1 1 上的最小值如何 解 2 f x x2 2ax 2 x a 2 2 a2 其图象开口向上 对称轴为x a a 1时 f x 在 1 1 上单调递增 f x min f 1 3 2a 1 a 1时 f x min f a 2 a2 方法技巧二次函数f x ax2 bx c在 m n 上的最值情况如下 设f x x2 4tx 5t2在区间 t 1 t 1 上的最大值是m t 最小值是m t 试求m t 与m t 的解析式 解 因为f x x2 4tx 5t2 x 2t 2 t2 所以函数f x 的对称轴方程是x 2t 当2t t 1 即t 1时 函数f x 在 t 1 t 1 上单调递增 所以m t f t 1 2t2 2t 1 m t f t 1 2t2 2t 1 当t 1 2t t 1 且f t 1 f t 1 即 1 t 0时 f x 在x 2t处取最小值 即m t t2 此