安徽省2019年中考数学复习第二讲空间与图形第五章四边形5.2矩形、菱形与正方形测试.docx

5.2矩形、菱形与正方形过关演练(30分钟70分)1.(2018山东滨州)下列命题,其中是真命题的为(D)A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.一组邻边相等的矩形是正方形【解析】一组对边平行,另一组对边相等的四边形也可以是等腰梯形,故A错误;对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故B错误;对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形,故C错误;一组邻边相等的矩形是正方形,故D正确.2.(2018湖北宜昌)如图,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线AC上的两点,EGAB,EIAD,FHAB,FJAD,垂足分别为G,I,H,J.则图中阴影部分的面积等于(B)A.1B.C.D.【解析】四边形ABCD是正方形,直线AC是正方形ABCD的对称轴,EGAB,EIAD,FHAB,FJAD,垂足分别为G,I,H,J.根据对称性可知,四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等,S阴影=S正方形ABCD=.3.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CEBD,DEAC.若AC=4,则四边形OCED的周长为(B)A.4B.8C.10D.12【解析】在矩形ABCD中,OC=OD=AC=2,又CEBD,DEAC,所以四边形OCED是菱形,菱形OCED的周长为42=8.4.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论:ACBD;OA=OB;ADB=CDB;ABC是等边三角形.其中一定成立的是(D)A.B.C.D.【解析】菱形的对角线互相垂直,ACBD,故正确;菱形的对角线互相平分但不一定相等,OA与OB不一定相等,故错误;菱形的每条对角线平分一组对角,ADB=CDB,故正确;在菱形ABCD中,AB=BC,只有当ABC=60时,ABC是等边三角形才成立,故错误.5.如图,在矩形ABCD中,O为AC的中点,过点O的直线分别与AB,CD交于点E,F,连接BF交AC于点M,连接DE,BO.若COB=60,FO=FC,则下列结论:FBOC,OM=CM;EOBCMB;四边形EBFD是菱形;MBOE=32.其中正确结论的个数是(C)A.1B.2C.3D.4【解析】连接BD,四边形ABCD是矩形,AC=BD,AC,BD互相平分,O为AC的中点,BD也过O点,OB=OC,COB=60,OB=OC,OBC是等边三角形,OB=BC=OC,OBC=60,在OBF与CBF中,OBFCBF(SSS),OBF与CBF关于直线BF对称,FBOC,OM=CM,故正确;OBC=60,ABO=30,OBFCBF,OBM=CBM=30,ABO=OBF,ABCD,OCF=OAE,OA=OC,易证AOECOF,OE=OF,OBEF,四边形EBFD是菱形,故正确;EOBFOBFCB,EOBCMB错误,故错误;OMB=BOF=90,OBF=30,MB=,OF=,OE=OF,MBOE=32,故正确.6.已知矩形的对角线AC与BD相交于点O,若AO=1,那么BD=2.【解析】四边形ABCD是矩形,AC=BD,AC=2AO.AO=1,AC=21=2,BD=2.7.如图,在平行四边形ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB.请你添加一个条件答案不唯一,如EDB=90或AB=BE等,使四边形DBCE是矩形.【解析】四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=BC,DE=AD,DE=BC,四边形DBCE是平行四边形,由矩形的判定条件可添加EDB=90或BE=CD或AB=BE等,可使四边形DBCE是矩形.8.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则BED=45.【解析】由题意得AB=AE,BAE=90+60=150,AEB=ABE=15,AED=60,BED=60-15=45.9.(2018浙江金华)如图,小靓用七巧板拼成一幅装饰图,放入长方形ABCD内,装饰图中的三角形顶点E,F分别在边AB,BC上,三角形的边GD在边AD上,则的值是.【解析】设七巧板的边长为x,则AB=x+x,BC=x+x+x=2x,.10.(10分)(2018呼和浩特)如图,已知A,F,C,D四点在同一条直线上,AF=CD,ABDE,且AB=DE.(1)求证:ABCDEF;(2)若EF=3,DE=4,DEF=90,请直接写出使四边形EFBC为菱形时,AF的长度.解:(1)ABDE,A=D,AF=CD,AF+FC=CD+FC,即AC=DF,AB=DE,ABCDEF.(2)AF=.提示:连接BE交AD于点O.在RtEFD中,DEF=90,EF=3,DE=4,DF=5,四边形EFBC是菱形,BECF,EO=,OF=OC=,CF=,AF=CD=DF-FC=5-.11.(10分)如图,已知四边形ABCD为矩形,AD=20 cm,AB=10 cm.M点从D到A,P点从B到C,两点的速度都为2 cm/s;N点从A到B,Q点从C到D,两点的速度都为1 cm/s.若四个点同时出发.(1)判断四边形MNPQ的形状;(2)四边形MNPQ能为菱形吗?若能,请求出此时运动的时间;若不能,说明理由.解:(1)四边形MNPQ是平行四边形.理由如下:在矩形ABCD中,BC=AD=20 cm,CD=AB=10 cm,且A=B=C=D=90.设运动时间为t秒,则AN=CQ=t cm,BP=DM=2t cm.BN=DQ=(10-t)cm,CP=AM=(20-2t)cm.由勾股定理,得NP=,MQ=,NP=MQ.同理可得MN=PQ.四边形MNPQ是平行四边形.(2)能.理由如下:当四边形MNPQ为菱形时,有NP=QP,解得t=5.即四边形MNPQ为菱形时,运动时间是5 s.12.(10分)如图,正方形ABCD中,点O为两条对角线的交点.(1)如图1,点M,N分别在AD,CD边上,MON=90,求证:OM=ON;(2)如图2,若AE交CD于点E,DFAE于点F,在AE上截取AG=DF,连接OF,OG,那么OFG是哪种特殊三角形,证明你的结论;(3)如图3,若AE交BC于点E,DFAE于点F,连接OF,求DFO的度数.解:(1)连接OA,OD,则OA=OD,四边形ABCD是正方形,AOD=90,OAM=ODN=45,MON=90,AOD-MOD=MON-MOD,AOM=DON,AOMDON(ASA),OM=ON.(2)OFG为等腰直角三角形.证明:连接OA,OD,则OA=OD,四边形ABCD是正方形,AOD=90,OAD=ODC=45,DFAE,DAE+ADF=ADF+FDE=90,DAE=FDE,OAG=ODF.AG=DF,OAGODF(SAS),OG=OF,AOG=DOF,GOF=GOD+DOF=GOD+AOG=90,OFG为等腰直角三角形.(3)如图,在AE上截取AG=DF,连接OA,OD,OG,其中OA与DF交于点H,则AO=DO,AFD=AOD=90,AHF=DHO,GAO=FDO,OAGODF(SAS),OG=OF,AOG=DOF,GOF=GOA-FOA=DOF-FOA=AOD=90,GFO=45,DFAE,DFO=45.名师预测1.如图,在ABC中,点E,D,F分别在边AB,BC,CA上,且DECA,DFBA.下列四个判断中,不正确的是(D)A.四边形AEDF是平行四边形B.如果BAC=90,那么四边形AEDF是矩形C.如果AD平分BAC,那么四边形AEDF是菱形D.如果ADBC,那么四边形AEDF是菱形【解析】由DECA,DFBA,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形,可得四边形AEDF是平行四边形,故A正确;又有BAC=90,根据有一角是直角的平行四边形是矩形,可得四边形AEDF是矩形,故B正确;如果AD平分BAC,那么EAD=FAD,又有DFBA,可得EAD=ADF,FAD=ADF,AF=FD,那么根据邻边相等的平行四边形是菱形,可得四边形AEDF是菱形,故C正确;如果ADBC且AB=AC,那么AD平分BAC,可得四边形AEDF是菱形,只有ADBC,不能判断四边形AEDF是菱形,故D错误.2.如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH,若BEEC=21,则线段CH的长是(B)A.3B.4C.5D.6【解析】设CH=x,BEEC=21,BC=9,EC=3,由折叠的性质知EH=DH=9-x,在RtECH中,由勾股定理得(9-x)2=32+x2,解得x=4.3.如图,在正方形ABCD中,M,N是对角线AC上的两个动点,P是正方形四边上的任意一点,且AB=4,MN=2,设AM=x,若PMN是等腰三角形,则下列说法:当x=0(即M,A两点重合)时,P点有6个;当P点有8个时,x=2-2;当PMN是等边三角形时,P点有4个;当0x4-2时,P点最多有9个.其中说法正确的是(B)A.B.C.D.【解析】如图1,当x=0(即M,A两点重合)时,P点有6个,故正确;如图2,当P点有8个时,0x4-2,故错误;如图3,当PMN是等边三角形时,P点有4个,故正确;当0x4-2时,P点最多有8个,故错误.4.如图,四边形ABCD为矩形,过点D作对角线BD的垂线,交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF,DF=4.设AB=x,AD=y,则x2+(y-4)2的值为16.【解析】在矩形ABCD中,CD=AB=x,在RtBDE中,BDE=90,点F为BE的中点,所以BF=EF=DF=4,所以x2+(y-4)2=CD2+CF2=DF2=16.5.如图,在菱形ABCD中,AC交BD于点O,DEBC于点E,连接OE,若ABC=140,则OED=20.【解析】在菱形ABCD中,ABC=140,DBC=70.DEBC,BDE=20,O是BD的中点,OED=ODE=20.6.如图,正方形ABCD的面积为12,ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线上有一点P,使PD+PE最小,则这个最小值为2.【解析】连接BD交AC于点O,在正方形ABCD中,点D与点B关于AC对称,则BE与AC的交点为点P,此时PD+PE最小,为BE的长.因为正方形ABCD的面积为12,所以AB=2,在等边ABE中,BE=AB=2,所以PD+PE的最小值为2.7.在ABCD中,过点D作DEAB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.(1)求证:四边形BFDE是矩形;(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF平分DAB.证明:(1)四边形ABCD是平行四边形,DCAB,又DF=BE,四边形BFDE是平行四边形.DEAB,DEB=90,四边形BFDE是矩形.(2)四边形DEBF是矩形,BFC=90,CF=3,BF=4,BC=5,AD=BC=5,AD=DF,DAF=DFA,在ABCD中,DCAB,DFA=FAB,DAF=FAB,即AF平分DAB.8.如图,在平行四边形ABCD中,AC=6 cm,BD=8 cm,点P从点A出发以每秒1 cm的速度沿射线AC移动,点Q从点C出发以每秒1 cm的速度沿射线CA移动.(1)经过几秒,以P,Q,B,D为顶点的四边形为矩形?(2)若BCAC,垂足为C,求(1)中矩形的边BQ的长.解:(1)当时间t=7秒时,四边形BPDQ为矩形.理由:如图所示,当t=7秒时,PA=QC=7,AC=6,CP=AQ=1,PQ=BD=8.四边形ABCD为平行四边形,AC=6,BD=8,AO=CO=3,BO=DO=4,OQ=OP=4,四边形BPDQ为平行四边形,PQ=BD=8,四边形BPDQ为矩形.(2)由(1)得OB=4,OC=3,CQ=7,BCAC,BCA=90,BC2+CQ2=BQ2,OC2+BC2=OB2,BQ=2 (cm).9.如图,四边形ABCD为菱形,点E为对角线AC上的一个动点,连接DE并延长交射线AB于点F,连接BE.(1)如图1,求证:AFD=EBC;(2)如图2,若DE=EC,且BEAF,求DAB的度数;(3)若DAB=90,当BEF为等腰三角形时,求EFB的度数.解:(1)四边形ABCD是菱形,CD=CB,ACD=ACB,在DCE和BCE中,DCEBCE,CDE=EBC,CDAB,CDE=AFD,AFD=EBC.(2)四边形ABCD是菱形,AD=AB,DAC=BAC,AE=AE,DAEBAE,DE=EB,DE=EC,EB=EC,ACD=ACB=CBE,AD=CD,ACD=CAD=BAC,CBE=DAB,BEAF,ADBC,DAB+ABC=180,即DAB+90+DAB=180