2019年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.5空间向量运算的坐标表示练习新人教A版.docx

3.1.5空间向量运算的坐标表示1.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是(D)(A)a+b=(10,-5,-6) (B)a-b=(2,-1,-6)(C)ab=10 (D)|a|=6解析:a+b=(10,-5,-2),a-b=(-2,1,-6),ab=22,|a|=6,所以选项A,B,C错误.故选D.2.已知向量a=(x,2,4),b=(3,y,12),且ab,则x+y的值为(C)(A)1 (B)6 (C)7 (D)15解析:因为ab,所以存在实数使得,b=a,所以解得x=1,y=6.所以x+y=7.故选C.3.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则pq等于(A)(A)-1 (B)1 (C)0 (D)-2解析:因为p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1)所以pq=10+03+(-1)1=-1.故选A.4.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是(D)(A)1(B)(C)(D)解析:由题意得,(ka+b)(2a-b)=(k-1,k,2)(3,2,-2)=3(k-1)+2k- 4=0,所以k=.故选D.5.已知向量a=(0,2,1),b=(-1,1,-2),则a与b的夹角为(C)(A)0(B)45(C)90(D)180解析:设a与b的夹角为,由向量夹角定义可得cos =0,又0180,所以=90.故选C.6.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则ABC的形状是(C)(A)等腰三角形(B)等边三角形(C)直角三角形(D)等腰直角三角形解析:=(3,4,-8),=(5,1,-7),=(2,-3,1),所以|=,|=,|=,所以|2+|2=75+14=89=|2.所以ABC为直角三角形.故选C.7.已知a=(sin ,cos ,tan ),b=(cos ,sin ,),且ab,则等于(D)(A)- (B)(C)2k-(kZ) (D)k-(kZ)解析:因为ab=2sin 2cos +1=sin 2+1=0,所以2=2k-(kZ),=k-(kZ).故选D.8.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为(A)(A) (B) (C)4 (D)8解析:因为cos=,所以sin=,所以面积S=|a|b| sin=,故选A.9.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|a+b|=且0,则=.解析:因为a=(0,-1,1),b=(4,1,0),所以a+b=(4,1-,),因为|a+b|=,所以,16+(1-)2+2=29,所以2-6=0,所以=3或=-2,因为0,所以=3.答案:310.与a=(2,-1,2)共线且满足ax=-18的向量x= .解析:因为x与a共线,所以设x=a=(2,-,2),又ax=-18,所以4+4=-18,所以=-2,所以x=(-4,2,-4).答案:(-4,2,-4)11.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若,=(x-1,y,-3),且BP平面ABC,则= .解析:因为,所以=0,即13+51+(-2)z=0,所以z=4,因为BP平面ABC,所以,即解得x=,y=-,于是=(,-,-3).答案:(,-,-3)12.若=(-4,6,-1),=(4,3,-2),|a|=1,且a,a,则a=.解析:设a=(x,y,z),由题意有代入坐标可解得或答案:(,)或(-,-,-)13.已知向量a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4),c=(2,x,-4).(1)判断a,b的位置关系;(2)若ac,求|c|;(3)若bc,求c在a方向上的投影.解:(1)因为a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4),所以b=(-2,-4,4)=-2(1,2,-2)=-2a.所以ab.(2)因为ac,所以=,解得x=4,所以c=(2,4,-4),从而|c|=6.(3)因为bc,所以bc=0.所以(-2,-4,4)(2,x,-4)=-4-4x-16=0,解得x=-5.所以c=(2,-5,-4).所以c在a方向上的投影为|c|cos=|c|=0.14.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).(1)若,求点D的坐标;(2)问是否存在实数,使得=+成立?若存在,求出,的值;若不存在,说明理由.解:(1)设D(x,y,z),则=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0).因为,所以解得即D(-1,1,2).(2)依题意=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2).假设存在实数,使得=+成立,则有(-1,0,2)=(-1,1,0)+(0,-1,2)=(-,-,2),所以故存在=1,使得=+成立.15.棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的 中点.(1)求证:EFCF;(2)求与所成角的余弦值;(3)求|的长.解:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),E(0,0,), C(0,1,0),F(,0),G（1,1,）,所以=(,-).=(,-,0),=(1,0,),=(0,-1,).(1)因为=+(-)+(-)0=0,所以,即EFCF.(2)因为=1+0+(-)=,|=,=,所以cos=.(3)|=.16.在空间坐标中,点B是A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影,O为坐标原点,则|OB|等于(B)(A)(B)(C)2(D)解析:因为点B是A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影,所以B点的坐标是(0,2,3)所以|OB|等于.故选B.17.将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,若点P满足=-+,则|的值为(A)(A) (B)2 (C) (D)解析:设BD中点为O,连接OA,OC,则OC平面ABD,以O为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(,0,0),B(0,0),C(0,0,),D(0,-,0),所以=(,-,0),=(0,-,),=(0,-,0),所以=-+=(,-,0)-(0,-,)+(0,-,0)=(,-,-),所以|=.故选A.18.已知a=(3,2-x,x),b=(x,2,0),且a与b的夹角为钝角,则实数x的取值范围是 .解析:因为a,b的夹角为钝角,所以ab0,即3x+2(2-x)+0x=4+x0,所以x-4.又当夹角为时,存在0,使a=b,所以此方程组无解,实数x的取值范围是(-,-4).答案:(-,-4)19.已知M1(2,5,-3),M2(3,-2,-5),设在线段M1M2上的一点M满足=4,则向量的坐标为 .解析:设M(x,y,z),则=(1,-7,-2),=(3-x,-2-y,-5-z).又因为=4,所以所以答案:(,-,-)20.已知关于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有两个实根,且向量a=(-1,1,3),b=(1,0,-2),c=a+tb.(1)当|c|取最小值时,求t的值;(2)在(1)的情况下,求b和c夹角的余弦值.解:(1)因为关于x的方程x2-(t-2)x+t2+3