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ac bd 2 ac bd ac bd 2 柯西不等式的向量形式定理2 设 是两个向量 则 当且仅当 是 或存在实数k 使 k 时 等号成立 注意 柯西不等式的向量形式中 取等号 的条件是 0或存在实数k 使 k 零向量 利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式 构造柯西不等式的基本形式 从而利用柯西不等式证明 但应注意等号成立的条件 1 已知a2 b2 1 x2 y2 1 求证 ax by 1证明 由柯西不等式得 ax by 2 a2 b2 x2 y2 1 ax by 1 例2 求函数y 3sin 4cos 的最大值 思路点拨 函数的解析式是两部分的和 若能化为ac bd的形式就能用柯西不等式求其最大值 变形凑成柯西不等式的结构特征 是利用柯西不等式求解的先决条件 有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式 但只要适当添加上常数项或和为常数的各项 就可以应用柯西不等式来解 这也是运用柯西不等式解题的技巧 而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的 但在运用过程中 每运用一次前后等号成立的条件必须一致 不能自相矛盾 否则就会出现错误 多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一 4 已知2x2 y2 1 求2x y的最
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