高中数学 （主干知识+典例精析）8.7抛 物 线课件 理 新人教B版.ppt

第七节抛物线 三年15考高考指数 1 掌握抛物线的定义 几何图形 标准方程及简单几何性质 2 理解数形结合的思想 3 了解抛物线的简单应用 1 抛物线的定义 标准方程 几何性质是高考的重点 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的转化是高考的热点 有时与其他知识交汇命题 2 多以选择题和填空题为主 属中 低档题目 有时也会在解答题中出现 属中 高档题目 1 抛物线的定义点的轨迹是抛物线应满足的三个条件 1 在平面内 2 动点到定点f距离与到定直线l的距离 3 定点 定直线上 相等 不在 即时应用 1 思考 在抛物线的定义中 若定点f在定直线l上 动点的轨迹是什么 提示 若定点f在定直线l上 则动点的轨迹为过点f与定直线l垂直的一条直线 2 若动点p到点f 0 2 的距离与它到直线y 2 0的距离相等 则点p的轨迹方程为 解析 由抛物线的定义知 点p的轨迹是以点f 0 2 为焦点 y 2为准线的抛物线 其方程为 x2 8y 答案 x2 8y 2 抛物线的标准方程和几何性质 离心率 顶点坐标 范围 对称轴 准线方程 焦点坐标 性质 图形 x2 2py p 0 标准方程 y轴 y轴 y 0 y 0 o 0 0 e 1 x2 2py p 0 即时应用 1 思考 抛物线y2 2px p 0 上任意一点m x0 y0 到焦点f的距离与点m的横坐标x0有何关系 若抛物线方程为x2 2py p 0 结果如何 提示 由抛物线的定义得 mf x0 若抛物线方程为x2 2py p 0 则 mf y0 2 抛物线y 4x2的焦点坐标为 解析 抛物线y 4x2的标准方程为所以2p 再由抛物线的焦点在y轴的非正半轴上 所以抛物线的焦点坐标为 0 答案 0 3 顶点在原点 对称轴是x轴 且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是 解析 因为抛物线顶点与焦点的距离等于6 所以又因为顶点在原点 对称轴是x轴 所以抛物线方程为 y2 24x 答案 y2 24x 抛物线的定义及其应用 方法点睛 利用抛物线的定义可解决的常见问题 1 轨迹问题 用抛物线的定义可以确定动点与定点 定直线距离有关的轨迹是否为抛物线 2 距离问题 涉及抛物线上的点到焦点的距离 到准线的距离问题时 注意利用两者之间的转化在解题中的应用 提醒 注意一定要验证定点是否在定直线上 例1 1 若点p到直线x 1 0的距离比它到点m 2 0 的距离小1 则点p的轨迹为 2 设p是抛物线y2 4x上的一动点 抛物线的焦点为f 求点p到a 1 1 的距离与点p到直线x 1的距离之和的最小值 若b 3 2 求 pb pf 的最小值 解题指南 1 本题可化为动点到定点的距离与到定直线的距离相等 即轨迹为抛物线 2 注意到直线x 1为抛物线的准线 利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等 即可解决 规范解答 1 因为点p到直线x 1 0的距离比它到点m 2 0 的距离小1 所以点p到直线x 2的距离与它到点m 2 0 的距离相等 且m 2 0 不在直线x 2上 故轨迹为抛物线 答案 抛物线 2 由于a 1 1 f 1 0 p是抛物线上的任意一点 则 ap pf af 从而知点p到a 1 1 的距离与点p到f 1 0 的距离之和的最小值为所以点p到a 1 1 的距离与点p到直线x 1的距离之和的最小值也为 如图所示 自点b作bq垂直于抛物线的准线于点q 交抛物线于点p1 此时 p1q p1f 那么 pb pf p1b p1q bq 4 即最小值为4 q o f p1 b 3 2 y x 互动探究 1 本例 1 中 m 2 0 改为 m 2 0 结果如何 2 本例 2 中 b 3 2 改为 b 1 5 结果如何 解析 1 本例 1 中 m 2 0 改为 m 2 0 则说明动点p到定点m 2 0 的距离与它到定直线x 2的距离相等 且点m在定直线上 所以点p的轨迹为一条直线 2 因为点b的坐标为 1 5 且抛物线方程为y2 4x 所以该点在抛物线外 要求使 pb pf 最小的点p 只需bf连线与抛物线相交 其交点即为所求p点 此时 最小值即 bf 的 bf 5 反思 感悟 1 本题 1 是利用抛物线的定义来求解 在求轨迹或轨迹方程时一定要注意圆锥曲线的定义 这样能起到事半功倍的效果 2 与抛物线有关的最值问题 一般情况下都与抛物线的定义有关 将点到准线的距离转化为点到焦点的距离 或将到焦点的距离转化为到准线的距离 变式备选 若动圆与圆m x 2 2 y2 1外切 又与直线x 1 0相切 求动圆圆心的轨迹方程 解析 方法一 设动圆半径为r 动圆圆心坐标为o x y 因动圆与圆 x 2 2 y2 1外切 则o 到 2 0 的距离为r 1 动圆与直线x 1 0相切 则o 到直线x 1 0的距离为r 所以o 到 2 0 的距离与到直线x 2的距离相等 故o 的轨迹是以 2 0 为焦点 直线x 2为准线的抛物线 其方程为y2 8x 方法二 设动圆圆心坐标为o x y 动圆半径为r 据题意有 化简得y2 8x 即动圆圆心的轨迹方程为y2 8x 抛物线的标准方程与性质 方法点睛 1 求抛物线的标准方程的方法及注意事项 1 方法 求抛物线的标准方程常用待定系数法 因为未知数只有p 所以 只需一个条件确定p值即可 2 注意事项 因为抛物线方程有四种标准形式 因此求抛物线方程时 需先定位 再定量 抛物线的标准方程及其性质的应用由抛物线的方程可求x y的范围 从而确定开口方向 由方程可判断其对称轴 求p值 确定焦点坐标等 提醒 抛物线方程中的参数p 0 其几何意义是焦点到准线的距离 例2 2011 山东高考 设m x0 y0 为抛物线c x2 8y上一点 f为抛物线c的焦点 以f为圆心 fm 为半径的圆和抛物线c的准线相交 则y0的取值范围是 a 0 2 b 0 2 c 2 d 2 解题指南 本题可先求抛物线的准线 由圆与准线相交知动圆半径的范围 再由抛物线方程求得点m纵坐标的取值范围 规范解答 选c 设圆的半径为r 因为f 0 2 是圆心 抛物线c的准线方程为y 2 由圆与准线相交知416 即有解得y0 2或y02 反思 感悟 1 解答本题的关键是直线与圆相交 圆的半径大于圆心到直线的距离 2 当点在曲线上时 点的坐标适合曲线方程 这一条件在求最值 范围 解方程中应用比较广泛 但容易被忽视 变式训练 将两个顶点在抛物线y2 2px p 0 上 另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n 则 a n 0 b n 1 c n 2 d n 3 解析 选c 根据抛物线的对称性 正三角形的两个顶点一定关于x轴对称 且过焦点的两条直线倾斜角分别为30 和150 这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点 如图 所以正三角形的个数n 2 变式备选 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与圆x2 y2 6x 7 0相切 则p的值为 a b 1 c 2 d 4 解析 选c 由y2 2px 得抛物线准线方程圆x2 y2 6x 7 0可化为 x 3 2 y2 16 由圆心到准线的距离等于半径得 所以p 2 直线与抛物线的位置关系 方法点睛 直线与抛物线的位置关系的判定设直线方程ax by c 0与抛物线方程y2 2px p 0 联立 消去x得到关于y的方程my2 ny l 0 m 0 1 直线与抛物线的对称轴平行或重合 两者相交 m 0 0 2 相交 m 0 0 1 相切 m 0 0 0 相离 2 直线与抛物线相交的几个结论已知抛物线y2 2px p 0 过其焦点的直线交抛物线于a b两点 设a x1 y1 b x2 y2 则有以下结论 1 ab x1 x2 p或 ab 为ab所在直线的倾斜角 2 x1x2 3 y1y2 4 过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径 抛物线的通径长为2p 例3 已知抛物线c y2 2px p 0 过点a 1 2 1 求抛物线c的方程 并求其准线方程 2 是否存在平行于oa o为坐标原点 的直线l 使得直线l与抛物线c有公共点 且直线oa与l的距离等于 若存在 求直线l的方程 若不存在 说明理由 解题指南 1 用待定系数法求出抛物线方程及其准线方程 2 依题意设直线l的方程为y 2x t 联立直线与抛物线的方程 利用判别式限制参数t的范围 再由直线oa与直线l的距离等于列出方程 求出t的值 规范解答 1 将 1 2 代入y2 2px 得 2 2 2p 1 p 2 故所求的抛物线方程为y2 4x 其准线方程为x 1 2 假设存在符合题意的直线l 其方程为y 2x t 由得y2 2y 2t 0 因为直线l与抛物线c有公共点 所以 4 8t 0 解得t 另一方面 由直线oa与直线l的距离等于可得 t 1 由于 1 1 所以符合题意的直线l存在 其方程为y 2x 1 反思 感悟 1 求抛物线方程 一般是先设出抛物线方程 注意抛物线的开口方向 焦点的位置 用待定系数法求解 2 研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆 双曲线的位置关系的方法类似 一般是联立两曲线方程 但涉及抛物线的弦长 中点 距离等问题时 要注意 设而不求 整体代入 点差法 以及定义的灵活应用 变式训练 2012 大纲版全国卷 已知抛物线c y2 4x的焦点为f 直线y 2x 4与抛物线c交于a b两点 则cos afb a b c d 解析 选d 联立消y并整理得x2 5x 4 0 解得x 1或x 4 不妨设a在x轴上方 于是a b的坐标分别为 4 4 1 2 可求 ab af 5 bf 2 利用余弦定理 满分指导 直线与抛物线综合问题的规范解答 典例 12分 2011 福建高考 已知直线l y x m m r 1 若以点m 2 0 为圆心的圆与直线l相切于点p 且点p在y轴上 求该圆的方程 2 若直线l关于x轴对称的直线为l 问直线l 与抛物线c x2 4y是否相切 说明理由 解题指南 1 依题意写出点p坐标 根据切线特点求出点p坐标 从而求出圆的半径 然后写出圆的标准方程 也可根据条件设出圆的方程 然后根据直线与圆相切的条件列式求解 2 由l的方程求得l 的方程 将l 的方程与抛物线c的方程联立 得一元二次方程 然后依据对应判别式 来判定两者能否相切 规范解答 方法一 1 依题意 点p的坐标为 0 m 因为mp l 所以解得m 2 即点p坐标为 0 2 2分从而圆的半径故所求圆的方程为 x 2 2 y2 8 6分 2 因为直线l的方程为y x m 所以直线l 的方程为y x m 由得x2 4x 4m 0 8分 42 4 4m 16 1 m 当m 1 即 0时 直线l 与抛物线c相切 当m 1 即 0时 直线l 与抛物线c不相切 11分综上 当m 1时 直线l 与抛物线c相切 当m 1时 直线l 与抛物线c不相切 12分 方法二 1 设所求圆的半径为r 则圆的方程可设为 x 2 2 y2 r2 依题意 所求圆与直线l y x m相切于点p 0 m 则解得 4分所以所求圆的方程为 x 2 2 y2 8 6分 2 同方法一 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2011 新课标全国卷 已知直线l过抛物线c的焦点f 且与c的对称轴垂直 l与c交于a b两点 ab 12 p为c的准线上一点 则 abp的面积为 a 18 b 24 c 36 d 48 解析 选c 由题知 ab 2p 12 得p 6 又点p到直线ab的距离为p 6 2 2011 辽宁高考 已知f是抛物线y2 x的焦点 a b是该抛物线上的两点 af bf 3 则线段ab的中点到y轴的距离为 a b 1