高中数学 第二章 2.3.2 离散型随机变量的方差课件 新人教A版选修23.ppt

2 3 2离散型随机变量的方差 一 方差 标准差的定义及方差的性质1 方差及标准差的定义设离散型随机变量x的分布列为 1 方差 2 标准差为 2 方差的性质d ax b 判断 正确的打 错误的打 1 离散型随机变量的方差越大 随机变量越稳定 2 若a是常数 则d a 0 3 离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度 a2d x 提示 1 错误 离散型随机变量的方差越大 随机变量越不稳定 2 正确 因为e a a 所以d a 0 3 正确 由离散型随机变量的方差的几何意义可知 其反映了随机变量偏离于期望的平均程度 答案 1 2 3 二 两个常见分布的方差1 若x服从两点分布 则d x 2 若x b n p 则d x 思考 两点分布的方差同二项分布的方差存在什么关系 提示 由于两点分布是特殊的二项分布 故两点分布的方差同二项分布的方差存在特殊与一般的关系 p 1 p np 1 p 知识点拨 1 对随机变量x的方差 标准差的理解 1 随机变量x的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的 2 随机变量x的方差和标准差都反映了随机变量x取值的稳定性和波动 集中与离散程度 3 d x 越小 稳定性越高 波动越小 4 标准差与随机变量本身有相同的单位 所以在实际问题中应用更广泛 2 随机变量的方差和样本方差之间的关系 3 剖析方差的性质当a b均为常数时 随机变量 a b的方差d d a b a2d 特别地 1 当a 0时 d b 0 即常数的方差等于0 2 当a 1时 d b d 即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身 3 当b 0时 d a a2d 即随机变量与常数之积的方差 等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积 类型一离散型随机变量的方差及标准差的计算 典型例题 1 同时抛掷两枚均匀的硬币10次 设两枚硬币同时出现反面的次数为 则d 2 已知 的分布列为 1 求 的方差及标准差 2 设y 2 e 求d y 解题探究 1 两枚硬币同时出现反面的次数 服从什么分布 2 方差与标准差是如何计算的 方差运算具有什么性质 探究提示 1 两枚硬币同时出现反面的次数2 1 方差d x1 e 2 p1 x2 e 2 p2 x3 e 2 p3 xn e 2 pn 标准差为 2 方差的运算性质 d a b a2d 解析 1 选a 两枚硬币同时出现反面的概率为故因此 2 1 因为所以所以 2 因为y 2 e d y d 2 e 22d 4 384 1536 互动探究 在题1的条件不变的情况下 求 两枚硬币不同时出现同面的次数 的方差 解题指南 不同时出现同面的次数 解析 不同时出现同面的概率为由题意可知 同时抛掷两枚均匀的硬币10次 不同时出现同面的次数故 拓展提升 求离散型随机变量的方差的类型及解决方法 1 已知分布列型 非两点分布或二项分布 直接利用定义求解 具体如下 求均值 求方差 2 已知分布列是两点分布或二项分布型 直接套用公式求解 具体如下 若x服从两点分布 则d x p 1 p 若x b n p 则d x np 1 p 3 未知分布列型 求解时可先借助已知条件及概率知识先求得分布列 然后转化成 1 中的情况 4 对于已知d x 求d ax b 型 利用方差的性质求解 即利用d ax b a2d x 求解 类型二方差的应用 典型例题 1 有甲 乙两种水稻 测得每种水稻各10株的分蘖数据 计算出样本方差分别为d x甲 11 d x乙 3 4 由此可以估计 a 甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐b 乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐c 甲 乙两种水稻分蘖整齐程度相同d 甲 乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 2 已知甲 乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环 且甲射中10 9 8 7环的概率分别为0 5 3a a 0 1 乙射中10 9 8环的概率分别为0 3 0 3 0 2 设甲射击时射中的环数变量为 乙射击时射中的环数变量为 1 求 的分布列 2 求 的均值与方差 并以此比较甲 乙的射击技术 解题探究 1 样本方差的大小与样本的稳定性有什么关系 2 题2中如何求a的值 如何分析甲 乙的射击技术差异 探究提示 1 样本方差越大 小 样本的稳定性越差 好 2 利用分布列的性质求a的值 通过e 与e d 与d 分别说明甲 乙的射击技术平均水平及其稳定性差异 解析 1 选b 因为d x甲 d x乙 所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 2 1 依据题意 0 5 3a a 0 1 1 解得a 0 1 因为乙射中10 9 8环的概率分别为0 3 0 3 0 2 所以乙射中7环的概率为1 0 3 0 3 0 2 0 2 所以 的分布列分别为 2 结合 1 中 的分布列可得 e 10 0 5 9 0 3 8 0 1 7 0 1 9 2 e 10 0 3 9 0 3 8 0 2 7 0 2 8 7 d 10 9 2 2 0 5 9 9 2 2 0 3 8 9 2 2 0 1 7 9 2 2 0 1 0 96 d 10 8 7 2 0 3 9 8 7 2 0 3 8 8 7 2 0 2 7 8 7 2 0 2 1 21 由于e e 说明甲平均射中的环数比乙高 又因为d d 说明甲射中的环数比乙集中 比较稳定 拓展提升 利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤 1 比较均值 离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平 因此 在实际决策问题中 需先计算均值 看一下谁的平均水平高 2 在均值相等的情况下计算方差 方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动 集中与离散的程度 通过计算方差 分析一下谁的水平发挥相对稳定 3 下结论 依据方差的几何意义做出结论 变式训练 有甲 乙两种建筑材料 从中各取等量样品检查它们的抗拉强度 收集数据如下 其中x甲 x乙分别表示甲 乙两种材料的抗拉强度 在使用时要求抗拉强度不低于120 试比较甲 乙两种建筑材料的质量状况 解题指南 要比较两种材料的质量 需先比较其抗拉强度的期望 然后再看其方差 解析 e x甲 110 0 1 120 0 2 125 0 4 130 0 1 135 0 2 125 e x乙 100 0 1 115 0 2 125 0 4 130 0 1 145 0 2 125 d x甲 110 125 2 0 1 120 125 2 0 2 125 125 2 0 4 130 125 2 0 1 135 125 2 0 2 50 d x乙 100 125 2 0 1 115 125 2 0 2 125 125 2 0 4 130 125 2 0 1 145 125 2 0 2 165 由此可见 e x甲 e x乙 d x甲 d x乙 故两种材料的抗拉强度的平均值相等 其稳定程度甲明显比乙强 所以说材料甲的质量较好 规范解答 方差的实际应用 典例 条件分析 规范解答 1 当n 16时 y 16 10 5 80 1分当n 15时 y 5n 5 16 n 10n 80 3分得 4分 2 i x可取60 70 80 5分p x 60 0 1 p x 70 0 2 p x 80 0 7 7分x的分布列为 8分 e x 60 0 1 70 0 2 80 0 7 76 d x 162 0 1 62 0 2 42 0 7 44 9分 ii 购进17枝时 当天的利润为y 14 5 3 5 0 1 15 5 2 5 0 2 16 5 1 5 0 16 17 5 0 54 76 4 11分由76 4 76 得 应购进17枝 12分 失分警示 防范措施 1 建模信息的提取熟读题设信息 把实际问题数学模型化是解决该类问题的关键 如本例的函数模型的建立用到了分段函数的建模思想 2 理解期望 方差的实际意义期望 方差是随机变量的数字特征 能够反映数据的整体情况 理解期望 方差的实际意义是求解此类问题的关键 如本例 2 ii 类题试解 2013 孝感高二检测 为防止风沙危害 某地决定建设防护绿化带 种植杨树 沙柳等植物 某人一次种植了n株沙柳 各株沙柳成活与否是相互独立的 成活率为p 设 为成活沙柳的株数 数学期望e 3 标准差为 1 求n p的值并写出 的分布列 2 若有3株或3株以上的沙柳未成活 则需要补种 求需要补种沙柳的概率 解析 由题意知 服从二项分布b n p 1 由得从而 的分布列为 2 记 需要补种沙柳 为事件a 则p a p 3 得或 1 下面说法中正确的是 a 离散型随机变量 的期望e 反映了 取值的概率的平均值b 离散型随机变量 的方差d 反映了 取值的平均水平c 离散型随机变量 的期望e 反映了 取值的波动水平d 离散型随机变量 的方差d 反映了 取值的波动水平 解析 选d 由于离散型随机变量 的期望e 反映的是随机变量的平均取值水平 而不是概率的平均值 故a错 而d 则反映随机变量的集中 或稳定 的程度 即波动水平 2 若x b n p 且e x 1 6 d x 1 28 则 a n 8 p 0 2b n 4 p 0 4c n 5 p 0 32d n 7 p 0 45 解析 选a 由e x np 1 6 d x np 1 p 1 28 可知1 p 0 8 所以p 0 2 n 8 3 设一随机试验的结果只有a和且p a m 令随机变量则 的方差d 等于 a mb 2m 1 m c m m 1 d m 1 m 解析 选d 随机变量 的分布列为 所以e 0 1 m 1 m m 所以d 0 m 2 1 m 1 m 2 m m 1 m 4 已知随机变量 则 的标准差为 解析 答案 5 有两台自动包装机甲与乙 包装质量分别为随机变量 1 2 已知e 1 e 2 d 1 d 2 则自动包装机 的质量较好 解析 均值仅体现了随机变量取值的平均大小 如果两个随机变量的均值相等 还要看随机变量的取值如何在均值周围变化 方差大说明随机变量取值较分散 方差小 说明取值较集中 故乙的质量较好