高三数学一轮复习 8.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件 .ppt

第四节直线与圆 圆与圆的位置关系 知识梳理 1 直线与圆的位置关系与判断方法 2 圆与圆的位置关系设圆o1 x a1 2 y b1 2 r12 r1 0 圆o2 x a2 2 y b2 2 r22 r2 0 d r1 r2 无解 d r1 r2 一组实数解 r1 r2 d r1 r2 一组实数解 无解 考点自测 1 思考 给出下列命题 如果直线与圆组成的方程组有解 则直线与圆相交或相切 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解 则两圆外切 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和 则两圆相交 从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程 过圆o x2 y2 r2外一点p x0 y0 作圆的两条切线 切点为a b 则o p a b四点共圆且直线ab的方程是x0 x y0y r2 其中正确的是 a b c d 解析 选d 正确 直线与圆组成的方程组有一组解时 直线与圆相切 有两组解时 直线与圆相交 错误 因为除外切外 还可能内切 错误 因为除小于两半径和还需大于两半径差的绝对值 否则可能内切或内含 错误 只有当两圆相交时 方程才是公共弦所在的直线方程 正确 由已知可得o p a b四点共圆 其方程为即x2 y2 x0 x y0y 0 又圆o方程 x2 y2 r2 得 x0 x y0y r2 而两圆相交于a b两点 故直线ab的方程是x0 x y0y r2 2 直线3x 4y 1 0与圆 x 2 2 y 3 2 9的位置关系为 a 相交b 相切c 相离d 不确定 解析 选a 因为圆心 2 3 到直线3x 4y 1 0的距离所以直线与圆相交 3 半径为6的圆与x轴相切 且与圆x2 y 3 2 1内切 则此圆的方程是 a x 4 2 y 6 2 6b x 4 2 y 6 2 6c x 4 2 y 6 2 36d x 4 2 y 6 2 36 解析 选d 依题意 设圆心为 x 6 由两圆内切 得所以x 4 所以圆的方程为 x 4 2 y 6 2 36 4 过原点且倾斜角为60 的直线被圆x2 y2 4y 0截得的弦长为 a b 2c d 解析 选d 圆心坐标为 0 2 直线方程为作出草图 数形结合 构造直角三角形 圆心在y轴 直径为4 所求弦过原点且与x轴正方向所成的角为60 弦长 4cos30 5 圆o1 x2 y2 2x 0和圆o2 x2 y2 4y 0的位置关系是 解析 圆o1的圆心为 1 0 半径r1 1 圆o2的圆心为 0 2 半径为r2 2 故两圆的圆心距 o1o2 而r2 r1 1 r1 r2 3 则有r2 r1 o1o2 r1 r2 故两圆相交 答案 相交 考点1直线与圆的位置关系 典例1 1 2013 安徽高考 直线被圆x2 y2 2x 4y 0截得的弦长为 a 1b 2c 4d 2 2013 天津高考 已知过点p 2 2 的直线与圆 x 1 2 y2 5相切 且与直线ax y 1 0垂直 则a a b 1c 2d 3 2013 湖北高考 已知圆o x2 y2 5 直线l xcos ysin 1设圆o上到直线l的距离等于1的点的个数为k 则k 解题视点 1 由圆的半径 弦心距 半弦长组成直角三角形 利用勾股定理即可 2 根据圆的切线的性质确定切线的斜率 再由两直线垂直求a的值 3 根据直线与圆的位置关系 求圆心到直线的距离 同半径的一半相比较 规范解答 1 选c 由 x 1 2 y 2 2 5得圆心 1 2 半径圆心到直线的距离在半径 弦心距 半弦长组成的直角三角形中 弦长 2 选c 因为点p 2 2 为圆 x 1 2 y2 5上的点 由圆的切线性质可知 圆心 1 0 与点p 2 2 的连线与过点p 2 2 的切线垂直 因为圆心 1 0 与点p 2 2 的连线的斜率k 2 故过点p 2 2 的切线斜率为所以直线ax y 1 0的斜率为2 因此a 2 3 半径为圆心到直线l的距离故数形结合得k 4 答案 4 规律方法 直线与圆相交弦长的求法 1 几何法 求圆心到直线的距离d 再利用公式 2 代数法 直线方程与圆的方程联立 消去x 或y 利用公式 或 求解 变式训练 2013 昆明模拟 已知点p a b ab 0 是圆o x2 y2 r2内一点 直线l的方程为ax by r2 0 那么直线l与圆o的位置关系是 a 相离b 相切c 相交d 不确定 解析 选a a2 b2 r2 所以直线l与圆o相离 加固训练 1 2014 丽水模拟 若圆心在x轴上 半径为的圆c位于y轴左侧 且被直线x 2y 0截得的弦长为4 则圆c的方程是 a x 2 y2 5b x 2 y2 5c x 5 2 y2 5d x 5 2 y2 5 解析 选b 设圆心为 a 0 a 0 因为截得的弦长为4 所以弦心距为1 则解得所以 所求圆的方程为 2 直线ax y 2a 0与圆x2 y2 9的位置关系是 a 相离b 相切c 相交d 不确定 解析 选c 直线ax y 2a 0 a x 2 y 0 即直线恒过点 2 0 因为点 2 0 在圆内 所以直线与圆相交 3 过圆x2 y2 1上一点作圆的切线与x轴 y轴的正半轴交于a b两点 则 ab 的最小值为 a b c 2d 3 解析 选c 设圆上的点为 x0 y0 其中x0 0 y0 0 则切线方程为x0 x y0y 1 分别令x 0 y 0得所以 4 过原点的直线与圆x2 y2 2x 4y 4 0相交所得弦的长为2 则该直线的方程为 解析 设所求直线方程为y kx 即kx y 0 由于直线kx y 0被圆截得的弦长等于2 圆的半径是1 因此圆心到直线的距离等于0 即圆心位于直线kx y 0上 于是有k 2 0 即k 2 因此所求直线方程是2x y 0 答案 2x y 0 5 已知直线y x b交圆x2 y2 1于a b两点 且 aob 60 o为原点 则实数b的值为 解析 如图易得所以答案 考点2圆与圆的位置关系 典例2 1 设两圆c1 c2都和两坐标轴相切 且都过点 4 1 则两圆心的距离 c1c2 a 4b c 8d 2 2014 金华模拟 两个圆x2 y2 2ax a2 4 0与x2 y2 4by 1 4b2 0恰有三条公切线 若a r b r ab 0 则的最小值为 解题视点 1 注意圆心的纵横坐标相等 两圆圆心距等于两圆圆心横坐标之差的绝对值的倍 2 两圆有三条公切线 说明两圆外切 从而得出a b的关系式 规范解答 1 选c 依题意 可设圆心坐标为 a a 半径为r 其中r a 0 因此圆的方程是 x a 2 y a 2 a2 由圆过点 4 1 得 4 a 2 1 a 2 a2 即a2 10a 17 0 则该方程的两根分别是圆心c1 c2的横坐标 c1c2 选c 2 两圆有三条公切线 说明两圆外切 两个圆的方程分别为 x a 2 y2 22 x2 y 2b 2 12 所以a b满足 3 即a2 4b2 9 所以等号当且仅当a2 2b2时成立 答案 1 规律方法 1 判断两圆位置关系的方法常用几何法 即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系 一般不用代数法 2 两圆公切线的条数 变式训练 1 若圆 x a 2 y b 2 b2 1始终平分圆 x 1 2 y 1 2 4的周长 则a b满足的关系是 a a2 2a 2b 3 0b a2 b2 2a 2b 5 0c a2 2a 2b 5 0d a2 2a 2b 5 0 解析 选c 两圆的公共弦必过 x 1 2 y 1 2 4的圆心 两圆相减得相交弦的方程为 2 a 1 x 2 b 1 y a2 1 0 将圆心坐标 1 1 代入可得a2 2a 2b 5 0 2 若 o x2 y2 5与 o1 x m 2 y2 20 m r 相交于a b两点 且两圆在点a处的切线互相垂直 则线段ab的长度是 解析 依题意得且 oo1a是直角三角形 oo1a的面积 因此 ab 答案 4 加固训练 1 圆c1 x2 y2 6x 4y 12 0与圆c2 x2 y2 14x 2y 14 0的位置关系是 a 相交b 内含c 外切d 内切 解析 选d 由已知 圆c1 x 3 2 y 2 2 1 圆c2 x 7 2 y 1 2 36 则 c1c2 5 6 1 故选d 2 2012 江苏高考 在平面直角坐标系xoy中 圆c的方程为x2 y2 8x 15 0 若直线y kx 2上至少存在一点 使得以该点为圆心 1为半径的圆与圆c有公共点 则k的最大值为 解析 如图 直线y kx 2上至少存在一点 使得以该点为圆心 1为半径的圆与圆c有公共点 只需保证圆心c到y kx 2的距离不大于2即可 而圆c的标准方程为 x 4 2 y2 1 圆心c 4 0 到直线y kx 2的距离由题意知整理得3k2 4k 0 解得故答案 考点3直线与圆的综合问题 考情 直线与圆的综合问题是本节在高考中的一个命题热点 主要以选择 填空题的形式出现 考查直线与圆的位置关系 点到直线的距离 有时也与函数 不等式交汇命题 高频考点通关 典例3 1 2013 江西高考 过点引直线l与曲线相交于a b两点 o为坐标原点 当 aob的面积取最大值时 直线l的斜率等于 2 2013 四川高考 已知圆c的方程为x2 y 4 2 4 点o是坐标原点 直线l y kx与圆c交于m n两点 求k的取值范围 设q m n 是线段mn上的点 且请将n表示为m的函数 解题视点 1 确定曲线的形状 利用几何法求得取最值时的情况 再求l的斜率 2 求解时要抓住直线与圆有两个交点 所以在求解k的取值范围时可以利用判别式进行求解 利用找到m n的关系 规范解答 1 选b 曲线表示以 0 0 为圆心 以1为半径的上半圆 设直线l的方程为即kx y 0 若直线与半圆相交 则k 0 圆心到直线的距离为弦长为 ab aob的面积为易知当时s最大 解得故 2 将y kx代入x2 y 4 2 4中 得 1 k2 x2 8kx 12 0 由 8k 2 4 1 k2 12 0 得k2 3 所以 k的取值范围是 因为m n在直线l上 可设点m n的坐标分别为 x1 kx1 x2 kx2 则 om 2 1 k2 x12 on 2 1 k2 x22 又 oq 2 m2 n2 1 k2 m2 由得即 由 式可知 所以因为点q在直线y kx上 所以代入中并化简 得5n2 3m2 36 由及k2 3 可知00 所以于是 n与m的函数关系为 通关锦囊 特别提醒 注意圆上的点的纵横坐标都有取值范围 关注题型 通关题组 1 2013 山东高考 过点 3 1 作圆 x 1 2 y2 1的两条切线 切点分别为a b 则直线ab的方程为 a 2x y 3 0b 2x y 3 0c 4x y 3 0d 4x y 3 0 解析 选a 由图象可知 a 1 1 是一个切点 根据切线的特点可知过点a b的直线与过点 3 1 1 0 的直线互相垂直 所以直线ab的方程为y 1 2 x 1 即2x y 3 0 2 2014 绍兴模拟 已知圆x2 y2 2x 6y 0 过点e 0 1 作一条直线与圆交于a b两点 当线段ab长最短时 直线ab的方程为 解析 因为圆x2 y2 2x 6y 0的圆心坐标为c 1 3 半径而圆心与点e的距离为所以点e 0 1 在圆的内部 当线段ab长最短时 则kab ab的方程为 y x 1 即x 2y 2 0 答案 x 2y 2 0 3 2014 潍坊模拟 已知m r 直线l mx m2 1 y 4m和圆c x2 y2 8x 4y 16 0 1 求直线l斜率的取值范围 2 直线l能否将圆c分割成弧长的比值为的两段圆弧 为什么 解析 1 直线l的方程可化为直线l的斜率因为 m 所以 k 当且仅当 m 1时等号成立 所以 斜率k的取值范围是 2 不能 由 1 知l的方程为y k x 4 其中 k 圆c的圆心为c 4 2 半径r 2 圆心c到直线l的距离为由 k 得即从而 若l与圆c相交 则圆c截直线l所得的弦所对的圆心角小于所以l不能将圆c分割成弧长的比值为的两段弧 加固训练 1 2013 阜阳模拟 已知p是直线l 3x 4y 11 0上的动点 pa pb是圆x2 y2 2x 2y 1 0的两条切线 a b为切点 c是圆心 那么四边形pacb面积的最小值是 解析 选b 由x2 y2 2x 2y 1 0得圆c的标准方程为 x 1 2 y 1 2 1 故圆心c 1 1 半径 ca cb 1 又s四边形pacb pa ca pb cb pa ca pa 因此要使s四边形pacb最小 只要 pa 最小 而 pa 所以只要 pc 最小 而 pc min 所以 pa min 所以 s四边形pacb min 2 2013 聊城模拟 已知点a 2 2 b 2 6 c 4 2 点p在圆x2 y2 4上运动 则pa2 pb2 pc2的最小值为 最大值为 解析 设p x y 则x2 y2 4 pa2 pb2 pc2 x 2 2 y 2 2 x 2 2 y 6 2 x 4 2 y 2 2 3 x2 y2 4y 68 80 4y 因为 2 y 2 所以72 pa2 pb2 pc2 88 即pa2 pb2 pc2的最大值为88 最小值为72 答案 7288 3 2013 福州模拟 已知圆c x 1 2 y2 8 设点q x y 是圆c上一点 1 求x y的取值范围 2 在直线x y 7 0上找一点p m n 使得过该点所作圆c的切线段最短 解析 1 设x y t 因为q x y 是圆上的任意一点 所以该直线与圆相交或相切 即解得 5 t 3 即x y的取值范围为 5 3 2 因为圆心c到直线x y 7 0的距离为所以直线与圆相离 又因为切线 圆心与切点的连线以及圆心与圆外的一点的连线组成一直角三角形且有半径为一定值 所以只有当过圆心向直线x y 7 0作垂线 过其垂足作圆的切线所得切线段最短 其垂足即为所求的点p 设过圆心作直线x y 7 0的垂线为x y c 0 又因为该线过圆心 1 0 所以 1 0 c 0 即c 1 而x y 7 0与x y 1 0的交点为 3 4 即所求的点为p 3 4 规范解答11 与圆有关的综合问题 典例 14分 2013 江苏高考 如图 在平面直角坐标系xoy中 点a 0 3 直线l y 2x 4 设圆c的半径为1 圆心在l上 1 若圆心c也在直线y x 1上 过点a作圆c的切线 求切线的方程 2 若圆c上存在点m 使 ma 2 mo 求圆心c的横坐标a的取值范围 审题 分析信息 形成思路 解题 规范步