高中数学 33排序不等式课件 新人教A版选修45.ppt

课标要求 1 了解排序不等式的数学思想和背景 2 了解排序不等式的结构与基本原理 3 理解排序不等式的简单应用 核心扫描 1 排序不等式的简单应用是本节考查的重点 2 常与不等式的有关知识综合考查 难点 第三节排序不等式 自学导引1 顺序和 乱序和 反序和的概念设a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn为两组实数 c1 c2 cn是b1 b2 bn的任一排列 则称ai与bi i 1 2 n 的相同顺序相乘所得积的和为顺序和 和为乱序和 相反顺序相乘所得积的和为反序和 a1b1 a2b2 anbn a1c1 a2c2 ancn a1bn a2bn 1 anb1 2 排序不等式 排序原理 设a1 a2 an b1 b2 bn为两组实数 c1 c2 cn是b1 b2 bn的任一排列 则 当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn时 反序和等于顺序和 此不等式简记为 顺序和 a1bn a2bn 1 anb1 a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn 反序和 乱序和 试一试 某班学生要开联欢会 需要买价格不同的礼品4件 5件及2件 现在选择商店中有单价为3元 2元和1元的礼品 问有多少不同的购买方案 在这些方案中哪种花钱最少 哪种花钱最多 提示有多少种不同的购买方案 实质上就是礼品和单价有多少种不同的对应关系 与单价3元对应的礼品可以是4件的礼品 也可以是5件或2件的礼品共有三种对应关系 与单价2元对应的只还有剩下的2种 与单价一元对应的只有一种 由乘法分步计数原理知共有3 2 1 6种不同的购买方案 根据生活的实际经验 花钱最少的方案应是最贵的礼品买最少的件数 最便宜的礼品买最多的件数 即1 5 2 4 3 2 19元 花钱最多的方案应是 单价最高的礼品买最多的件数 单价最低的礼品买最少的件数 即1 2 2 4 3 5 25元 基础自测1 顺序和 反序和 乱序和的大小关系是 答案反序和 乱序和 顺序和2 已知两组数1 2 3和4 5 6 若c1 c2 c3是4 5 6的一个排列 则1c1 2c2 3c3的最大值是 最小值是 解析由反序和 乱序和 顺序和知 顺序和最大 反序和最小 故最大值为32 最小值为28 答案3228 3 有4人各拿一只水桶去接水 设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s 4s 3s 7s 每个人接完水后就离开 则他们等候的总时间最短为 s 解析由题意知 等候的时间最短为3 4 4 3 5 2 7 41 答案41 思维启迪 由题目可获取以下信息 a b c r 求证一个与排序有关的不等式 题目中没有给出a b c三个数的大小顺序 且a b c在不等式中的 地位 是对等的 解答本题时不妨设a b c 再利用排序不等式加以证明 规律方法 1 在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系 对于没有给出大小关系的情况 要根据各字母在不等式中地位的对称性 限定一种大小关系 2 排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时 所得两两乘积之和最大 反向单调 一增一减 时 所得两两乘积之和最小 规律方法利用排序不等式证明不等式 关键是构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组 规律方法求最小 大 值 往往所给式子是顺 反 序和式 然后利用顺 反 序和不小 大 于乱序和的原理构造出适当一个或二个乱序和从而求出其最小 大 值 方法技巧需对所证不等式中的字母的大小顺序加以讨论的情况 示例 设x 0 求证 1 x x2 xn 2n 1 xn 思路分析 由题目可获取以下主要信息 x 0 xi xj的位置关系不对等 故解答本题时不能直接限定其大小关系 故要进行分类讨论 证明 1 当x 1时 1 x x2 xn 由排序原理 顺序和 反序和 得1 1 x x x2 x2 xn xn 1 xn x xn 1 xn 1 x xn 1 即1 x2 x4 x2n n 1 xn 又因为x x2 xn 1为序列1 x x2 xn的一个排列 于是再次由排序原理 乱序和 反序和 得1 x x x2 xn 1 xn xn 1 1 xn x xn 1 xn 1 x xn 1 得x x3 x2n 1 xn n 1 xn 将 和 相加得1 x x2 x2n 2n 1 xn 2 当0 x 1时 1 x x2 xn 但 仍然成立 于是