2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)理数.docx

2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=-2,-1,0,1,2,B=x|(x-1)(x+2)0,则AB=() A.-1,0B.0,1C.-1,0,1D.0,1,22.若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=()A.-1B.0C.1D.23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是()A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.845.设函数f(x)=1+log2(2-x),x0时,xf (x)-f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(-1,0)D.(0,1)(1,+)第卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=.14.若x,y满足约束条件x-y+10,x-2y0,x+2y-20,则z=x+y的最大值为.15.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.16.设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.()求sinBsinC;()若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:6273819295857464537678869566977888827689B地区:7383625191465373648293486581745654766579()根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);A地区B地区456789()根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.19.(本小题满分12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.()在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);()求直线AF与平面所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.()证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;()若l过点m3,m,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=emx+x2-mx.()证明: f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增;()若对于任意x1,x2-1,1,都有|f(x1)-f(x2)|e-1,求m的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,O为等腰三角形ABC内一点,O与ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.()证明:EFBC;()若AG等于O的半径,且AE=MN=23,求四边形EBCF的面积.23.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1:x=tcos,y=tsin(t为参数,t0),其中0cd,则a+bc+d;()a+bc+d是|a-b|c-d|的充要条件.答案一、选择题1.A因为B=x|(x-1)(x+2)0=x|-2x1,A=-2,-1,0,1,2,故AB=-1,0.选A.2.B(2+ai)(a-2i)=-4i4a+(a2-4)i=-4i,4a=0,a2-4=-4,解得a=0.3.D由柱形图可知:A、B、C均正确,2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少,所以排放量与年份负相关,D不正确.4.B设an的公比为q,由a1=3,a1+a3+a5=21得1+q2+q4=7,解得q2=2(负值舍去).a3+a5+a7=a1q2+a3q2+a5q2=(a1+a3+a5)q2=212=42.5.C-21,f(log212)=2log212-1=2log26=6.f(-2)+f(log212)=9.6.D如图,由已知条件可知,截去部分是以ABC为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥D-ABC.设正方体的棱长为a,则截去部分的体积为16a3,剩余部分的体积为a3-16a3=56a3.它们的体积之比为15.故选D.评析本题主要考查几何体的三视图和体积的计算,考查空间想象能力.7.C设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b=3-72=-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|=(1-1)2+(3+2)2=5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-226,则|MN|=|(-2+26)-(-2-26)|=46.8.B开始:a=14,b=18,第一次循环:a=14,b=4;第二次循环:a=10,b=4;第三次循环:a=6,b=4;第四次循环:a=2,b=4;第五次循环:a=2,b=2.此时,a=b,退出循环,输出a=2.评析熟悉“更相减损术”对理解框图所确定的算法有帮助.9.CSOAB是定值,且VO-ABC=VC-OAB,当OC平面OAB时,VC-OAB最大,即VO-ABC最大.设球O的半径为R,则(VO-ABC)max=1312R2R=16R3=36,R=6,球O的表面积S=4R2=462=144.评析点C是动点,如果以ABC为底面,则底面面积与高都是变量,因此转化成以OAB为底面(SOAB为定值),这样高越大,体积越大.10.B当点P与C、D重合时,易求得PA+PB=1+5;当点P为DC的中点时,有OPAB,则x=2,易求得PA+PB=2PA=22.显然1+522,故当x=2时, f(x)没有取到最大值,则C、D选项错误.当x0,4时, f(x)=tan x+4+tan2x,不是一次函数,排除A,故选B.11.D设双曲线E的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M在第一象限内,则易得M(2a,3a),又M点在双曲线E上,于是(2a)2a2-(3a)2b2=1,解得b2=a2,e=1+b2a2=2.12.A令g(x)=f(x)x,则g(x)=xf (x)-f(x)x2,由题意知,当x0时,g(x)0,从而f(x)0;当x(1,+)时,g(x)0,从而f(x)0.又g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=f(x)x=g(x),g(x)是偶函数,当x(-,-1)时,g(x)0;当x(-1,0)时,g(x)0,从而f(x)0(0(0)时,考虑构造函数g(x)=f(x)x.二、填空题13.答案12解析由于a,b不平行,所以可以以a,b作为一组基底,于是a+b与a+2b平行等价于1=12,即=12.14.答案32解析作出可行域,如图:由z=x+y得y=-x+z,当直线y=-x+z过点A1,12时,z取得最大值,zmax=1+12=32.15.答案3解析设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)(1+1)4=(a+1)16,又奇数次幂项的系数和为12f(1)-f(-1),12(a+1)16=32,a=3.评析二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法.16.答案-1n解析an+1=Sn+1-Sn,Sn+1-Sn=Sn+1Sn,又由a1=-1,知Sn0,1Sn-1Sn+1=1,1Sn是等差数列,且公差为-1,而1S1=1a1=-1,1Sn=-1+(n-1)(-1)=-n,Sn=-1n.三、解答题17.解析()SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.()因为SABDSADC=BDDC,所以BD=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由()知AB=2AC,所以AC=1.评析本题考查正弦定理,余弦定理的应用,以及三角形的面积公式.属常规题,中等偏易.18.解析()两地区用户满意度评分的茎叶图如下:A地区B地区4683513646426245568864373346992865183217552913通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.()记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;CB2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1CB2CA2.P(C)=P(CB1CA1CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).由所给数据得CA1,CA2,CB1,CB2发生的频率分别为1620,420,1020,820,故P(CA1)=1620,P(CA2)=420,P(CB1)=1020,P(CB2)=820,P(C)=10201620+820420=0.48.19.解析()交线围成的正方形EHGF如图:()作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=6,所以AH=10.以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE=(10,0,0),HE=(0,-6,8).设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,则nFE=0,nHE=0,即10x=0,-6y+8z=0,所以可取n=(0,4,3).又AF=(-10,4,8),故|cos|=|nAF|n|AF|=4515.所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为4515.评析本题背景常规,设问新颖,鼓励动手试验、创新尝试、独立思考.对空间想象力有较高要求.20.解析()设直线l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故xM=x1+x22=-kbk2+9,yM=kxM+b=9bk2+9.于是直线OM的斜率kOM=yMxM=-9k,即kOMk=-9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.()四边形OAPB能为平行四边形.因为直线l过点m3,m,所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0,k3.由()得OM的方程为y=-9kx.设点P的横坐标为xP.由y=-9kx,9x2+y2=m2得xP2=k2m29k2+81,即xP=km3k2+9.将点m3,m的坐标代入l的方程得b=m(3-k)3,因此xM=k(k-3)m3(k2+9).四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即xP=2xM.于是km3k2+9=2k(k-3)m3(k2+9),解得k1=4-7,k2=4+7.因为ki0,ki3,i=1,2,所以当l的斜率为4-7或4+7时,四边形OAPB为平行四边形.评析本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,设问常规,但对运算能力要求较高,考查学生的思维能力.21.解析()f (x)=m(emx-1)+2x.若m0,则当x(-,0)时,emx-10, f (x)0.若m0, f (x)0;当x(0,+)时,emx-10.所以, f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增.()由()知,对任意的m, f(x)在-1,0单调递减,在0,1单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意x1,x2-1,1,|f(x1)-f(x2)|e-1的充要条件是f(1)-f(0)e-1,f(-1)-f(0)e-1,即em-me-1,e-m+me-1. 设函数g(t)=et-t-e+1,则g(t)=et-1.当t0时,g(t)0时,g(t)0.故g(t)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增.又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e1时,由g(t)的单调性,g(m)0,即em-me-1;当m0,即e-m+me-1.综上,m的取