2019年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算练习新人教A版.docx

3.1.3空间向量的数量积运算1.下列命题中,不正确的有(D)=|a|;m(a)b=(m)ab;a(b+c)=(b+c)a;a2b=b2a.(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个解析:正确,不正确,因为等式左边表示与b共线的向量,右边表示与a共线的向量,两者方向不一定相同.故选D.2.正方体ABCDABCD中,等于(D)(A)30(B)60(C)90(D)120解析:因为BDBD,所以AB,BD的夹角即为AB,BD的夹角.因为ABD为正三角形,所以ABD=60.由向量夹角的定义可知=120,即=120.故选D.3.若a,b均为非零向量,则ab=|a|b|是a与b共线的(A)(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件解析:若ab=|a|b|,则=0,所以a与b共线;反之,若a与b共线,则=0或180,ab=|a|b|.故选A.4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,有下列命题:(+)2=3;(-)=0;与的夹角为60.其中正确命题的个数是(B)(A)1 (B)2 (C)3 (D)0解析:,均正确;不正确,因为与夹角为120.5.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值为(B)(A)- (B) (C) (D)解析:如图,由图知直线AM与CN所成角等于,=+,=+,所以=(+)(+)=+=,|=,|=.所以cos=.6.已知|a|=1,|b|=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为(D)(A)60(B)30(C)135 (D)45解析:因为a-b与a垂直,所以(a-b)a=0,所以aa-ab=|a|2-|a|b|cos=1-1cos=0,所以cos=.因为0180,所以=45.7.已知四边形ABCD为矩形,PA平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不为零的是(A)(A)与 (B)与(C)与 (D)与解析:因为PA平面ABCD,所以PACD,故=0,排除D;因为ADAB,PAAD,又PAAB=A,所以AD平面PAB,所以ADPB,故=0,排除B;同理=0,排除C.故选A.8.设a,b,c是任意的非零空间向量,且它们互不共线,给出下列命题:(ab)c-(ca)b=0;|a|-|b|a-b|;(ba)c-(ca)b一定不与c垂直;(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的是(D)(A) (B) (C) (D)解析:根据向量数量积的定义及性质,可知ab和ca是实数,而c与b不共线,故(ab)c与(ca)b不一定相等,故错误;因为(ba)c-(ca)bc=(ba)c2-(ca)(bc),所以当ab,且ac或bc时,(ba)c-(ca)bc=0,即(ba)c-(ca)b与c垂直,故错误;易知正确.故选D.9.已知PA平面ABC,ABC=120,PA=AB=BC=6,如图,则PC等于.解析:因为=+,所以|2=(+)2=+2+2+2= 36+36+36+0+0+2|cos 60=108+266=144.所以PC=12.答案:1210.已知a,b是异面直线,点A,Ba,点C,Db,ACb,BDb,且AB=2, CD=1,则a,b所成的角是 .解析:=+,所以=(+)=|2=1,所以cos=,所以异面直线a,b所成角是60.答案:6011.设|m|=1,|n|=2,2m+n与m-3n垂直,a=4m-n,b=7m+2n,则向量a,b的夹角= 解析:因为(2m+n)(m-3n),所以(2m+n)(m-3n)=0.化简得mn=-2,又|a|=6.|b|=3.所以ab=(4m-n)(7m+2n)=28|m|2-2|n|2+mn=18.所以cos=1.所以=0答案:012.已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都等于1,且两两夹角都是60,则对角线AC1的长是 .解析:设=a,=b,=c,则a2=b2=c2=1,所以ab=ac=bc=|a|2cos 60=,所以=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2bc+2ac+2ab=6,所以|=.答案:13.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,求异面直线A1B与AC所成 的角.解:不妨设正方体的棱长为1,设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,ab=bc=ca=0,=a-c,=a+b.所以=(a-c)(a+b)=|a|2+ab-ac-bc=1.而|=|=,所以cos=,所以=60.因此,异面直线A1B与AC所成的角为60.14.如图,直三棱柱ABCABC中,AC=BC=AA,ACB=90,D,E分别为AB,BB的中点.(1)求证:CEAD;(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值.(1)证明:设=a,=b,=c,根据题意,|a|=|b|=|c|且ab=bc=ca=0,所以=b+c,=-c+b-a.所以=-c2+b2=0.所以,即CEAD.(2)解:因为=-a+c,所以|=|a|.又|=|a|.=(-a+c)(b+c)=c2=|a|2,所以cos=,即异面直线CE与AC所成角的余弦值为.15.如图,正三棱柱ABCA1B1C1中,底面边长为.(1)设侧棱长为1,求证:AB1BC1;(2)设AB1与BC1的夹角为,求侧棱的长.(1)证明:=+,=+.因为BB1平面ABC,所以=0,=0.又ABC为正三角形,所以=-=-=.因为=(+)(+)=+=|cos+=-1+1=0,所以AB1BC1.(2)解:由(1)知=|cos+=-1.又|=|,所以cos=,所以|=2,即侧棱长为2.16.设A,B,C,D是空间中不共面的四点,且满足=0,= 0,=0,则BCD是(B)(A)钝角三角形 (B)锐角三角形(C)直角三角形 (D)不确定解析:=(-)(-)=-+=0,同理,可证0,0.所以BCD的每个内角均为锐角,故BCD是锐角三角形.17.已知在正四面体ABCD中,所有棱长都为1,ABC的重心为G,则DG的长为(D)(A)(B)(C)(D)解析:如图,连接AG并延长交BC于点M,连接DM,因为G是ABC的重心,所以AG=AM,所以=,=+=+=+(-)=+(+)-=(+),而(+)2=+2+2+2= 1+1+1+2(cos 60+cos 60+cos 60)=6,所以|=.故选D.18.如图,在一个直二面角AB的棱上有两点A,B.AC,BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD=.解析:由=+=+2+2+2=36+16+64=116,|=2.答案:219.在正方体ABCDA1B1C1D1中,下面给出的结论:|+|2=3|2;(-)=0;与的夹角为60;此正方体体积为|.则错误结论的序号是(填出所有错误结论的序号).解析:因为|+|=|=|,故正确;因为(-)=(+)(-)=+ +-=0,故正确;AD1与A1B两异面直线的夹角为60,但与的夹角为120,注意方向;因为=0,故错误.答案:20.在棱长为1的正方体ABCDABCD中,E,F分别是DD,DB的中点,G在棱CD上,CG=CD,H为CG的中点.(1)求EF,CG所成角的余弦值;(2)求FH的长.解:设=a,=b,=c,则ab=bc=ca=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1.(1)因为=+=-c+(a-b)=(a-b-c),=+=-c-a,所以=(a-b-c