江西省宜春市2019届高三数学4月模拟考试试题理（含解析）.docx

宜春市2019届高三模拟考试试卷数学（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，集合为函数的定义域，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题首先可以根据一元二次不等式解法求出集合，然后根据对数的相关性质求出集合，最后根据交集的相关性质即可得出结果。【详解】由题意可知，集合：，解得；集合：，解得，综上所述，故选D。【点睛】本题考查了交集的相关性质以及集合的取值范围的求解，能否求出集合以及集合的取值范围是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题。2.已知复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题首先可以根据共轭复数、复数的模的相关性质以及复数得出以及的值，然后通过两者相加即可得出结果。【详解】因为复数，所以复数的共轭复数，所以，故选C。【点睛】本题考查复数的相关性质，主要考查复数的共轭复数的计算方法以及复数的模的计算方法，考查计算能力，提高了学生对复数的理解，是简单题。3.在等比数列中，若，是方程的两根，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题首先可以根据“、是方程的两根”计算出的值，然后通过等比数列的相关性质得出，即可计算出的值。【详解】因为、是方程的两根，所以根据韦达定理可知，因为数列是等比数列，所以，故选B【点睛】本题考查等比数列的相关性质，主要考查等比数列中等比中项的灵活应用，若，则有，考查推理能力，体现了基础性，是简单题。4.如图，是民航部门统计的某年春运期间个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B. 深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D. 平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.【答案】D【解析】【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可【详解】由图可知，选项A、B、C都正确，对于D，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误故选：D【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题5.已知函数，设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性，先确定作用对象的大小关系再给出判断即可.【详解】函数是偶函数,所以).，即因为函数在)是单调递减函数，所以.故答案为B.【点睛】本题考查余弦函数的单调性，奇偶性，基础题.6.如图，在正方形中，是边上靠近点的三等分点，连接交于点，若 ，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意知，B,E,F三点共线，则用表示出根据E,C,A三点共线，可得到值，整理化简即可得到m和n值，从而可得答案.【详解】由题意知，B,E,F三点共线，是边上靠近点的三等分点，则又E,C,A三点共线则，即，则所以m=-1,n=,故m+n=故选：C【点睛】本题考查平面向量基本定理的简单应用，考查三点共线的应用，考查分析推理能力.7.三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】做出三棱锥的直观图P-ABC, 先求出以PBC所在平面为球的截面圆O1的半径，以ABC所在平面为球的截面圆O2的半径，球心H到ABC所在平面的距离，即可求得球的半径R，从而求得球的体积【详解】解析：三棱锥的直观图如图，以PAC所在平面为球的截面，则截面圆O1的半径为，以ABC所在平面为球的截面，则截面圆O2的半径为球心H到ABC所在平面的距离为，则球的半径R为，所以球的体积为4故选：A【点睛】本题考查了几何体的外接球体积计算，关键是找到球心，求出半径，属于中档题8.如图，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且始终平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由抛物线定义可得，从而的周长，确定点横坐标的范围，即可得到结论【详解】抛物线的准线，焦点，由抛物线定义可得，圆的圆心为，半径为4，的周长，由抛物线及圆可得交点的横坐标为2，故选 C.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定点横坐标的范围是关键，属于中档题.9.记设，则（ ）A. 存在B. 存在C. 存在D. 存在【答案】C【解析】【分析】求出f（x）的解析式，对t的范围进行讨论，依次判断各选项左右两侧函数的单调性和值域，从而得出答案详解】解：x2x3x2（1x），当x1时，x2x30，当x1时，x2x30，f（x）若t1，则|f（t）+f（t）|t2+（t）3|t2t3|t3t2，|f（t）f（t）|t2+t3|t2+t3，f（t）f（t）t2（t）3t2+t3，若0t1，|f（t）+f（t）|t3+（t）3|0，|f（t）f（t）|t3+t3|2t3，f（t）f（t）t3（t）32t3，当t1时，|f（t）+f（t）|1+（1）|0，|f（t）f（t）|1（1）|2，f（t）f（t）1（1）2，当t0时，|f（t）+f（t）|f（t）f（t），|f（t）f（t）|f（t）f（t），故A错误，B错误；当t0时，令g（t）f（1+t）+f（1t）（1+t）2+（1t）3t3+4t2t+2，则g（t）3t2+8t1，令g（t）0得3t2+8t10，641252，g（t）有两个极值点t1，t2，g（t）在（t2，+）上为减函数，存在t0t2，使得g（t0）0，|g（t0）|g（t0），故C正确；令h（t）（1+t）f（1t）（1+t）2（1t）3t32t2+5t，则h（t）3t24t+53（t）20，h（t）在（0，+）上为增函数，h（t）h（0）0，|h（t）|h（t），即|f（1+t）f（1t）|f（1+t）f（1t），故D错误故选：C【点睛】本题考查了函数单调性判断，分类讨论思想，属于中档题10.如图，正方形的四个顶点，及抛物线和,若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论【详解】A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，1），正方体的ABCD的面积S224，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：S21dx2（x3）2（1）02，则由几何槪型概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是故选：B【点睛】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键11.已知为椭圆的左顶点，该椭圆与双曲线的渐近线在第一象限内的交点为，若直线垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用渐近线与直线垂直的关系，求出交点，代入椭圆方程可得.【详解】因为直线直线垂直于双曲线的另一条渐近线，所以直线的方程为，联立，可得交点，代入椭圆方程整理得，即有，故离心率为.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求解.圆锥曲线离心率的求解主要是寻求之间的关系式，结合离心率的定义可得.12.已知点是单位正方体的对角面上的一动点，过点作垂直于平面的直线，与正方体的侧面相交于、两点，则的面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意和正方体的特征，分析点P动的过程中，x随着y变化情况作出轨迹图象，数形结合能求出结果【详解】解：由题意知，MN平面BB1D1D，其轨迹经过B，D1和侧棱AA1，CC1的中点E，F，如图，设正方体中心为O1,当P点在线段BO1上运动时，MN随BP的增大而线性增大，所以BMN的面积表达式应是开口向上的二次函数图像递增的一部分; 当P点在线段D1O1上运动时, MN随D1P的增大而线性减小，所以BMN的面积表达式应是开口向下的二次函数图像递减的一部分.所以当MN与EF重合时，BMN的面积取最大值，此时，BMBN，MN，SBMN故选：A【点睛】本题考查了函数图象的变化，根据几何体的特征和条件进行分析两个变量的变化情况，再用图象表示出来，考查了作图和读图能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题二、填空题（将答案填在答题纸上）13.设变量满足约束条件，则的最大值是_【答案】8【解析】【分析】由约束条件作出可行域，将目标函数去绝对值后化为直线方程的斜截式，结合可行域求出最大值【详解】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，令，可得，平移直线，由图象可得，当直线经过可行域内的点时，直线在轴上的截距最小，此时取得最大值，且，当直线经过可行内的点时，直线在轴上的截距最大，此时取得最小值，且，所以，故，因此的最大值为8. 故答案为8.【点睛】本题考查了简单的线性规划，解答的关键是正确作出可行域，是中档题14.已知是数列的前项和，若，则_【答案】【解析】【分析】由an+Sn2n，an+1+Sn+12n+1，两式相减可得2an+1an2n即可计算【详解】解：an+Sn2n，an+1+Sn+12n+1，两式相减可得2an+1an2n则（2a2a1）（2a3a2）（2a100a99）21222329924950【点睛】本题考查了数列的递推式，属于中档题15.某外商计划在个候选城市中投资个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过个，则该外商不同的投资方案有_种【答案】60【解析】试题分析：每个城市投资1个项目有种，有一个城市投资2个有种，投资方案共 种.考点：排列组合.16.函数，若对恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意可得f（x）+f（x）2，f（sin+cos）+f（sin2t）2对R恒成立可转化为，可令xsin+cos，则f（sin2）+f（sin+t）f（1+cos2）+f（1cos2），可得f（sin+t）f（1+cos2）恒成立，可令xsin+cos，则可得f（sin2t）f（1sincos）恒成立，再由f（x）的单调性和参数分离，转化为求最值，即可得到所求范围【详解】解：f（x）x3+2019x2019x+1，可得f（x）x3+2019x2019x+1，则f（x）+f（x）2，f（sin+cos）+f（sin2t）2，即为f（sin+cos）+f（sin2t）2f（x）+f（x），f（sin+cos）+f（sin2t）2对R恒成立，可令xsin+cos，则f（sin+cos）+f（sin2t）f（sin+cos）+f（1sincos），可得f（sin2t）f（1sincos）恒成立，由于f（x）在R上递增，f（x）的图象向右平移个单位可得f（x）的图象，则f（x）在R上递增，可得sin2t1sincos恒成立，即有tsin2+sin+cos1，设g（）sin2+sin+cos1（sin+cos）2+（sin+cos）2再令sin+cosm，则msin（），则m，则g（m）m2+m2，其对称轴m，故当m时，g（m）取的最大值，最大值为22则t，故答案为：（，+）【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，以及函数的单调性和对称性，考查化简整理的运算能力，属于难题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在中，角的对边分别是，.（1）求角的大小；（2）为边上的一点，且满足，锐角三角形面积为，求的长.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1)本题首先可以根据正弦定理将转化为，然后通过两角和的正弦公式将转化为，最后通过角的取值范围即可得出结果；(2)本题首先可以根据解三角形面积公式以及锐角三角形的面积为计算出并求出的值，然后在三角形中通过余弦定理以及正弦定理计算出的值以及的值，最后在三角形中通过正弦定理即可计算出的值。【详解】（1）因为，所以，解得，所以，因为，所以，解得。（2）因为锐角三角形的面积为，所以，因为三角形为锐角三角形，所以，在三角形中，由余弦定理可得：，所以，三角形中，所以，在三角形中，解得。【点睛】本题考查解三角形的相关性质，主要考查解三角形的相关公式的灵活使用，考查推理能力与计算能力，是中档题。18.如图，在梯形中，四边形为矩形，平面平面，.（1）求证：平面；（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角为，试求的取值范围.【答案】(1)详见解析；(2).【解析】【分析】(1)由题意结合勾股定理和余弦定理可证得BCAC，结合面面垂直的性质定理可得BC平面ACFE.(2)以CA,CB,CF所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由题意可得平面MAB的一个法向量n1=(1,-)，平面FCB的一个法向量n2=(1,0,0)，则 cos=，结合三角函数的性质可得cos,.【详解】(1)在梯形ABCD中,ABCD,AD=DC=CB=1,ABC=60,AB=2,AC2=AB2+BC2-2ABBCcos 60=3,AB2=AC2+BC2,BCAC.又平面ACFE平面ABCD,平面ACFE平面ABCD=AC,BC平面ABCD,BC平面ACFE.(2)由(1)知,可分别以CA,CB,CF所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,令FM=(0),则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(,0,1),=(-,1,0),=(,-1,1).设n1=(x,y,z)为平面MAB的法向量,由,得,取x=1,则n1=(1,-)为平面MAB的一个法向量,易知n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量, cos=.0, 当=0时,cos有最小值, 当=时,cos有最大值,cos,.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理及其应用，空间直角坐标系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半径的圆与直线相切，过点的直线与椭圆相交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）若原点在以线段为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由离心率公式和直线与圆相切的条件，列出方程组求出a、b的值，代入椭圆方程即可；（2）联立直线与椭圆方程，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，即可直线斜率的取值范围【详解】解（1）由可得，又.故椭圆的方程为.（2）由题意知直线方程为.联立得.由，得.设，则.原点在以线段为直径的圆外， ，由，解得.当原点在以线段为直径的圆外时，直线的斜率.【点睛】本题考查椭圆方程，考查向量的运算，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、数量积的合理运用，属于中档题20.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率上一年度未发生有责任道路交通事故下浮上两年度未发生有责任道路交通事故下浮上三年度未发生有责任道路交通事故下浮上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故上浮上一个年度发生有责任交通死亡事故上浮某机构为了解某一品牌普通座以下私家车的投保情况，随机抽取了辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型数量以这辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）按照我国机动车交通事故责任强制保险条例汽车交强险价格的规定，记为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损元，一辆非事故车盈利元:若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；若该销售商一次购进辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值.【答案】(1)见解析；(2) 50万元【解析】【分析】（1）由题意可知X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a由统计数据分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望（2）由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，由此能求出三辆车中至多有一辆事故车的概率设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为-5000，10000由此能求出Y的分布列和数学期望，由此能求出该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望.【详解】（1）由题意可知：的可能取值为由统计数据可知：，所以的分布列为：（2）由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为：.设为给销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为所以的分布列为：所以所以该销售商一次购进辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为万元.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21.已知函数，曲线与在原点出切线相同.（1）求的单调区间和极值；（2）若时，求的取值范围.【答案】(1) 的单调递减区间为，单调递增区间为.的极小值为，无极大值； (2) 【解析】【分析】（1）求出f（x）的导数，根据f（0）=g（0），求出a的值从而解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间函数的极值即可；（2）设，通过讨论k的范围，求出k的