2017学年湖北省襄阳四中高三（上）周测数学试卷（理科）（九）（含解析）

2016-2017学年湖北省襄阳四中高三（上）周测数学试卷（理科）（九）一.选择题1（5分）设全集是实数集，则图中阴影部分所表示的集合是ABCD2（5分）若复数满足，则的共轭复数ABCD3（5分）已知，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件4（5分）直线，及平面，下列命题正确的是A若，则B若，则C若，则D若，则5（5分）一物体在变力（力单位：，位移单位：作用下，沿与成方向作直线运动，则由运动到时作的功为ABCD6（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为A1B2C3D47（5分）函数的定义域为A，B，C，D，8（5分）若，则ABC或1D或9（5分）设，满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围为A，B，C，D，10（5分）在中，、分别为角、所对应的三角形的边长，若，则ABCD11（5分）已知函数，若成立，则的最小值为ABCD12（5分）定义：如果函数在，上存在，满足，则称函数是，上的“双中值函数”，已知函数是，上“双中值函数”，则实数的取值范围是A，B，C，D，二.填空题13（5分）已知，则在上的投影是14（5分）已知角的终边过点，则 15（5分）已知，是的三个内角，且，则的最小值为 16（5分）如图，已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为，点为是双曲线的右焦点，且满足，设，则该双曲线离心率的取值范围为 三.解答题17（10分）已知函数，（1）求它的振幅、周期和初相（2）该函数的图象是由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？（3）用五点法作出它一个周期范围的简图18（12分）2015年春，某地干旱少雨，农作物受灾严重，为了使今后保证农田灌溉，当地政府决定建一横断面为等腰梯形的水渠（水渠的横断面如图所示），为减少水的流失量，必须减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面的面积设计为定值，渠深为，则水渠壁的倾斜角为多大时，水渠中水的流失量最小？19（12分）如图，正方形的边长为2，分别为，的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于点，（1）求证：；（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长20（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上（）求椭圆的标准方程；（）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点、时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由21（12分）已知函数（1）讨论的单调性与极值点；（2）若，证明：当时，的图象恒在的图象上方；（3）证明：，22（12分）在直角坐标系中，圆的参数方程为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长2016-2017学年湖北省襄阳四中高三（上）周测数学试卷（理科）（九）参考答案与试题解析一.选择题1（5分）设全集是实数集，则图中阴影部分所表示的集合是ABCD【考点】图表达集合的关系及运算【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；：集合【分析】欲求出图中阴影部分所表示的集合，先要弄清楚它表示的集合是什么，由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合中的元素但不在集合中的元素组成的，即【解答】解：由图可知，图中阴影部分所表示的集合是，又，故选：【点评】本小题主要考查图表达集合的关系及运算、二次不等式、不等式的解法等基础知识，属于基础题2（5分）若复数满足，则的共轭复数ABCD【考点】：复数的运算【专题】35：转化思想；49：综合法；：数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：复数满足，则的共轭复数故选：【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）已知，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】12：应用题；35：转化思想；：定义法；：简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可【解答】解：若，满足，但不成立，故，则“”是“”的充分不必要条件，故选：【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键4（5分）直线，及平面，下列命题正确的是A若，则B若，则C若，则D若，则【考点】：空间中直线与平面之间的位置关系【专题】21：阅读型【分析】选项，根据线面垂直的判定定理可知缺少条件“相交直线”，选项，根据线面平行的判定定理可知缺少条件“平面外一直线”，选项，列举出所以可能，选项，根据线面垂直的性质定理进行判定【解答】解：选项，若，则，根据线面垂直的判定定理可知缺少条件“相交直线”，故不正确；选项，若，则，根据线面平行的判定定理可知缺少条件“平面外一直线”，故不正确；选项，若，则，也可能异面，故不正确；选项，若，则，该命题就是线面垂直的性质定理；故选：【点评】本题主要考查了线面垂直的判定和性质，以及线面平行的判定定理，考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力5（5分）一物体在变力（力单位：，位移单位：作用下，沿与成方向作直线运动，则由运动到时作的功为ABCD【考点】69：定积分的应用【专题】11：计算题【分析】由物理学知识知，变力所作的功对应“位移力”只要求，进而计算可得答案【解答】解：由于与位移方向成角如图：在位移方向上的分力，故选：【点评】本题属于物理学科的题，体现了数理结合的思想方法，属于基础题6（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为A1B2C3D4【考点】：程序框图【专题】11：计算题；28：操作型；：算法和程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：若输入的值为1，则，不满足退出循环的条件，故；，不满足退出循环的条件，故；，满足退出循环的条件，故输出的值为2，故选：【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答7（5分）函数的定义域为A，B，C，D，【考点】33：函数的定义域及其求法；：对数函数的定义域【专题】51：函数的性质及应用【分析】分式的分母不为0，对数的真数大于0，被开方数非负，解出函数的定义域【解答】解：要使函数有意义，必须：，所以，所以函数的定义域为：，故选：【点评】本题考查对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，考查计算能力8（5分）若，则ABC或1D或【考点】：同角三角函数间的基本关系【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值【分析】由已知得，两边同时平方，能求出的值【解答】解：，两边同时平方，得：，解得或，当时，不成立，故选：【点评】本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用9（5分）设，满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围为A，B，C，D，【考点】：简单线性规划【专题】59：不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由得，直线是斜率为，轴上的截距为的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则，的最大值为，最小值为，直线过点时，取得最大值为，经过点时取得最小值为，若，则，此时满足条件，若，则目标函数斜率，要使目标函数在处取得最小值，在处取得最大值，则目标函数的斜率满足，即，若，则目标函数斜率，要使目标函数在处取得最小值，在处取得最大值，则目标函数的斜率满足，即，综上，故选：【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定，是最优解是解决本题的关键注意要进行分类讨论10（5分）在中，、分别为角、所对应的三角形的边长，若，则ABCD【考点】：平面向量的基本定理；：余弦定理【专题】：平面向量及应用【分析】由已知及向量减法的平行四边形法则可得，即，根据向量的基本定理可得，之间的关系，然后利用余弦定理即可求【解答】解：，不共线即，则；故选：【点评】本题主要考查了向量减法的四边形法则，平面向量的基本定理及余弦定理的综合应用，解题的关键是把已知变形为11（5分）已知函数，若成立，则的最小值为ABCD【考点】：函数的值；：利用导数研究函数的极值【专题】35：转化思想；：构造法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用【分析】根据得到，的关系，利用消元法转化为关于的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论【解答】解：不妨设，故，令，易知在上是增函数，且，当时，当时，即当时，取得极小值同时也是最小值，此时，即的最小值为；故选：【点评】本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度12（5分）定义：如果函数在，上存在，满足，则称函数是，上的“双中值函数”，已知函数是，上“双中值函数”，则实数的取值范围是A，B，C，D，【考点】57：函数与方程的综合运用【专题】23：新定义；33：函数思想；：定义法；51：函数的性质及应用【分析】根据定义得出，相当于在，上有两个根，利用二次函数的性质解出的范围即可【解答】解：是，上的“双中值函数”，在，上有两个根，令，故选：【点评】考查了新定义类型题的解题方法，重点是对新定义性质的理解二.填空题13（5分）已知，则在上的投影是1【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】11：计算题；：平面向量及应用【分析】根据已知先求出，然后根据在上的投影是可求【解答】解：，则在上的投影是故答案为：1【点评】本题主要考查了向量数量积的坐标表示的简单应用，属于基础试题14（5分）已知角的终边过点，则【考点】：任意角的三角函数的定义【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；56：三角函数的求值【分析】利用角的终边过点，且在第四象限，即可得出结论【解答】解：角的终边过点，在第四象限，故答案为：【点评】本题重点考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，正确运用公式是解题的关键15（5分）已知，是的三个内角，且，则的最小值为25【考点】：基本不等式及其应用【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；：不等式【分析】由题意，利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出的最小值【解答】解：由题意，的最小值为25故答案为：25【点评】本题考查求的最小值，利用“1”的代换，结合基本不等式是关键16（5分）如图，已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为，点为是双曲线的右焦点，且满足，设，则该双曲线离心率的取值范围为，【考点】：双曲线的性质【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】如图所示，设双曲线的左焦点为，连接，则四边形为矩形因此而，可得，求出即可【解答】解：如图所示，设双曲线的左焦点为，连接，则四边形为矩形因此，故答案为：，【点评】本题考查了双曲线的定义及其性质、两角差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题三.解答题17（10分）已知函数，（1）求它的振幅、周期和初相（2）该函数的图象是由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？（3）用五点法作出它一个周期范围的简图【考点】：两角和与差的三角函数；：五点法作函数的图象；中参数的物理意义【专题】57：三角函数的图象与性质【分析】（1）函数，由此能求出它的振幅、周期和初相（2）的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到；的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到；设轴向左平移个单位，得到；沿轴向上平移1个单位，得到（3）选取五个点，由此能作出它一个周期范围的简图【解答】解：（1）函数，它的振幅为，周期，初相（2）的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到设轴向左平移个单位，得到沿轴向上平移1个单位，得到（3）选取，五个点，用“五点法”能作出它一个周期范围的简图【点评】本题考查三角函数的振幅、周期和初相的求法，考查三角函数的图象平移和伸缩变换，考查用五点法作出三角函数在一个周期范围的简图解题时要认真审题，是中档题18（12分）2015年春，某地干旱少雨，农作物受灾严重，为了使今后保证农田灌溉，当地政府决定建一横断面为等腰梯形的水渠（水渠的横断面如图所示），为减少水的流失量，必须减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面的面积设计为定值，渠深为，则水渠壁的倾斜角为多大时，水渠中水的流失量最小？【考点】：基本不等式及其应用【专题】33：函数思想；：数学模型法；51：函数的性质及应用【分析】作于，令，由已知可得，令，求出取最小值时的大小，可得结论【解答】解：作于，在中，又，故设，则，由于与是常量，欲使最小，只需取最小值，可看作与两点连线的斜率，由于，点在曲线上运动，当过的直线与曲线相切时，直线斜率最小，此时切点为，则有，且，那么，故当时，水渠中水的流失量最小【点评】本题考查的知识点是函数的最值，直线与圆的位置关系，其中求出水与渠壁的接触面的解析式，将实际问题转化为函数问题，是解答的关键19（12分）如图，正方形的边长为2，分别为，的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于点，（1）求证：；（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长【考点】：直线与平面所成的角【专题】11：计算题；14：证明题；：空间位置关系与距离；：空间角【分析】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；（2）由于底面，底面为正方形，建立如图的空间直角坐标系，分别求出，及向量的坐标，设平面的法向量为，求出一个值，设直线与平面所成的角为，运用，求出角；设，再设，用表示的坐标，再由，求出和的坐标，再运用空间两点的距离公式求出的长【解答】（1）证明：在正方形中，是的中点，又平面，平面，平面，且平面平面，；（2）解：底面，如图建立空间直角坐标系，则，0，0，1，0，2，1，设平面的法向量为，则即，令，则，设直线与平面所成的角为，则，直线与平面所成的角为，设，在棱上，可设，即，1，是平面的法向量，即，解得，【点评】本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，同时考查直线与平面所成的角的求法，考查运用空间直角坐标系求角和距离，是一道综合题20（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上（）求椭圆的标准方程；（）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点、时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由【考点】：椭圆的性质【专题】34：方程思想；48：分析法；：直线与圆；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）方法一、运用椭圆的定义，可得，由，的关系，可得，进而得到椭圆方程；方法二、运用在椭圆上，代入椭圆方程，结合，的关系，解方程可得，进而得到椭圆方程；（）设直线的方程为，设，的中点为，联立椭圆方程，运用判别式大于0及韦达定理和中点坐标公式，由向量相等可得四边形为平行四边形，为线段的中点，则为线段的中点，求得的范围，即可判断【解答】解：（）方法一：设椭圆的焦距为，则，因为在椭圆上，所以，因此，故椭圆的方程为；方法二：设椭圆的焦距为，则，因为在椭圆上，所以，解得，故椭圆的方程为；（）设直线的方程为，设，的中点为，由消去，得，所以，且故 且，由，知四边形为平行四边形，而为线段的中点，因此为线段的中点，所以，可得，又，可得，因此点不在椭圆上，故不存在满足题意的直线【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的定义和点满足椭圆方程，考查存在性问题的解法，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查向量共线的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题21（12分）已知函数（1）讨论的单调性与极值点；（2）若，证明：当时，的图象恒在的图象