高中数学 （主干知识+典例精析）8.5椭 圆课件 理 新人教B版.ppt

第五节椭圆 三年26考高考指数 1 掌握椭圆的定义 几何图形 标准方程及简单几何性质 2 了解椭圆的简单应用 3 理解数形结合的思想 1 椭圆的定义 标准方程 几何性质是高考的重点 而直线与椭圆的位置关系既是高考的重点也是高考的热点 2 椭圆的定义 标准方程 几何性质常常独立考查 直线与椭圆的位置关系 往往与向量 函数 不等式等知识交汇命题 3 选择题 填空题 解答题三种题型都有可能出现 选择 填空题经常考查椭圆的定义 标准方程 几何性质 解答题经常以两问的形式出现 第一问考查椭圆的定义 标准方程以及几何性质 第二问则考查直线与椭圆的位置关系及学生分析问题 解决问题的能力 1 椭圆的定义 1 满足条件 在平面内 与两个定点f1 f2的距离之等于常数 常数大于 2 焦点 两定点 3 焦距 两间的距离 和 f1f2 焦点 即时应用 判断下列点的轨迹是否为椭圆 请在括号内填 是 或 否 1 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之和等于2的点的轨迹 2 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之和等于4的点的轨迹 3 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之和等于6的点的轨迹 解析 由椭圆的定义可知 1 距离之和小于 ab 所以点的轨迹不存在 2 距离之和等于 ab 点的轨迹是以a b为端点的一条线段 3 符合椭圆定义 点的轨迹是以a b为焦点 长轴长为6的椭圆 答案 1 否 2 否 3 是 2 根据图形写出相对应的椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 对称轴 坐标轴对称中心 原点 长轴a1a2的长为2a短轴b1b2的长为2b 图形 性质 范围 对称性 顶点 轴 图形 性质 焦距 离心率 a b c的关系 即时应用 1 思考 椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系 提示 因为离心率所以 离心率越接近于1 b就越接近于0 即短轴的长接近于0 椭圆就越扁 离心率越接近于0 a b就越接近 即椭圆的长 短轴长越接近相等 椭圆就越接近于圆 但永远不会为圆 2 已知椭圆的焦点在y轴上 若椭圆的离心率为则m的值为 解析 的焦点在y轴上 所以a2 m b2 2 离心率为又离心率为所以解得答案 3 已知椭圆的短轴长为6 离心率为则椭圆的一个焦点到长轴端点的距离为 解析 因为椭圆的短轴长为6 所以b 3 又因为离心率为所以 又因为a2 b2 c2 解 组成的方程组得 a 5 c 4 所以 一个焦点到长轴端点的距离为 a c 9或a c 1 答案 9或1 椭圆的定义 标准方程 方法点睛 1 利用椭圆定义解题的注意问题 1 注意常数2a f1f2 这一条件 2 注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的 焦点三角形 中的数量关系 2 椭圆的标准方程 1 当已知椭圆的焦点在x轴上时 其标准方程为 a b 0 当已知椭圆的焦点在y轴上时 其标准方程为 a b 0 2 当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时 其标准方程可设为 m 0 n 0 m n 这样可避免讨论和复杂的计算 也可设为ax2 by2 1 a 0 b 0 a b 这种形式 在解题时更简便 例1 1 2012 济南模拟 已知f1 f2是椭圆c a b 0 的两个焦点 p为椭圆c上的一点 且若 pf1f2的面积为9 则b 2 已知点p在以坐标轴为对称轴的椭圆上 且p到两焦点的距离分别为5 3 过p且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点 求椭圆的方程 解题指南 1 pf1 pf2 由椭圆定义及 pf1f2为直角三角形建立 pf1 pf2 的方程求 pf1 pf2 2 可先设椭圆的方程为或 a b 0 再根据题设条件求出相应的系数值即可 规范解答 1 设 pf1 r1 pf2 r2 则 2r1r2 r1 r2 2 r12 r22 4a2 4c2 4b2 r1r2 b2 9 b 3 答案 3 2 设椭圆的方程为或 a b 0 因为p到两焦点的距离分别为5 3 所以2a 5 3 8 即a 4 又因为过p且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点 所以 2c 2 52 32 16 所以c2 4 因此b2 a2 c2 12 所以椭圆方程为 互动探究 将本例 2 中条件 过p且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点 改为 点p和两焦点构成的三角形为直角三角形 结果如何 解析 当其中一个焦点为直角顶点时 与例题条件相同 所以 椭圆方程为或当直角顶点为点p时 则有 2c 2 52 32 34 所以c2 又因为a 4 所以b2 a2 c2 所以椭圆方程为 或综上可知 所求椭圆的方程为 或或或 反思 感悟 1 在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时 经常联想到椭圆的定义 即利用椭圆上的点到两焦点的距离之和等于2a求解 2 在求椭圆方程时 若已知椭圆上的点到两焦点的距离 可先求出椭圆长轴长 再想法求短轴长 从而得出方程 若已知点的坐标 可先设出椭圆的标准方程 再利用待定系数法求解 当椭圆的焦点不确定时 应考虑焦点在x轴 在y轴两种情形 无论哪种情形 始终有a b 0 变式备选 已知p为椭圆上一点 m n分别为圆 x 2 2 y2 1和 x 2 2 y2 1上的点 则 pm pn 的最大值为 解析 依题意 两圆圆心分别为椭圆的两焦点f1和f2 则 pm pf1 1 pn pf2 1 故 pm pn pf1 1 pf2 1 10 2 12 答案 12 椭圆的几何性质及应用 方法点睛 1 椭圆几何性质中的不等关系对于椭圆标准方程中x y的范围 离心率的范围等 在求与椭圆有关的一些量的范围 或者最大值 最小值时 经常用到这些不等关系 2 利用椭圆几何性质应注意的问题求解与椭圆几何性质有关的问题时 要结合图形进行分析 当涉及到顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时 要理清它们之间的内在联系 3 求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率时 一般是依据题设得出一个关于a b c的等式 或不等式 利用a2 b2 c2消去b 即可求得离心率或离心率的范围 提醒 求椭圆离心率时要注意其范围 0 e 1 求解时应注意取舍 例2 2011 天津高考 在平面直角坐标系xoy中 点p a b a b 0 为动点 f1 f2分别为椭圆的左 右焦点 已知 f1pf2为等腰三角形 1 求椭圆的离心率e 2 设直线pf2与椭圆相交于a b两点 m是直线pf2上的点 满足 2 求点m的轨迹方程 解题指南 1 可由 f1pf2为等腰三角形 得出a b c之间的关系式 消去b 即得离心率的值 2 可用直接法求出轨迹方程 规范解答 1 设f1 c 0 f2 c 0 c 0 由题意 可得 pf2 f1f2 即整理得得 1 舍 或所以e 2 由 1 知 a 2c b 可得椭圆方程为直线pf2方程为y x c a b两点的坐标满足方程组消去y并整理 得5x2 8cx 0 解得x1 0 x2 得方程组的解不妨设m x y 令a b 0 则 由y x c 得c x 于是由 2 即化简得18x2 15 0 将代入c x 得所以x 0 因此 点m的轨迹方程是18x2 15 0 x 0 反思 感悟 1 依据题设条件求椭圆的离心率 其关键是依据题设条件寻找关于a c的一个等式 解方程求出离心率的值 有些题目求离心率的范围 解题思路也是如此 2 求轨迹方程的方法是最基本的方法 应用已知条件中的等式求方程 但要注意同解变形 注意变量的取值 变式训练 定义 离心率的椭圆为 黄金椭圆 已知e a b 0 的一个焦点为f c 0 c 0 则e为 黄金椭圆 是 a b c成等比数列 的 a 既不充分也不必要条件 b 充分且必要条件 c 充分不必要条件 d 必要不充分条件 解析 选b 若e为黄金椭圆 则 b2 a2 c2 ac所以a b c成等比数列 若a b c成等比数列 则b2 ac a2 c2 ac e2 e 1 0 又0 e 1 所以故e为黄金椭圆 变式备选 如图 在平面直角坐标系xoy中 点a为椭圆e a b 0 的左顶点 b c在椭圆e上 若四边形oabc为平行四边形 且 oab 30 则椭圆e的离心率等于 解析 依题设知 点c的坐标为 又因为点c在椭圆e上 所以有解得a2 9b2 因此 a2 9 a2 c2 即所以椭圆e的离心率等于答案 直线与椭圆的位置关系 方法点睛 1 直线与椭圆位置关系判断的步骤 1 联立直线方程与椭圆方程 2 消元得出关于x 或y 的一元二次方程 3 得出结论 当 0时 直线与椭圆相交 当 0时 直线与椭圆相切 当 0时 直线与椭圆相离 2 直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为a x1 y1 b x2 y2 则 ab k为直线斜率 3 直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的 不要忽略判别式 弦长 根与系数的关系 弦长公式 中点弦或弦的中点 点差法 例3 2011 北京高考 已知椭圆g a b 0 的离心率为右焦点为 0 斜率为1的直线l与椭圆g交于a b两点 以ab为底边作等腰 pab 顶点为p 3 2 1 求椭圆g的方程 2 求 pab的面积 解题指南 1 利用a b c的关系及离心率求出a b 代入标准方程 2 联立直线方程与椭圆方程 然后利用根与系数的关系 设而不求 整体代入 规范解答 1 由已知得解得a 又b2 a2 c2 4 所以椭圆g的方程为 2 设直线l的方程为y x m 由得 4x2 6mx 3m2 12 0 设a b的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 x1 x2 ab中点为e x0 y0 则 因为ab是等腰 pab的底边 所以pe ab 所以pe的斜率解得m 2 此时方程 为4x2 12x 0 解得x1 3 x2 0 所以y1 1 y2 2 所以 ab 此时 点p 3 2 到直线ab x y 2 0的距离所以 pab的面积 反思 感悟 1 求椭圆的标准方程 关键是根据题设条件 求a b的值 但一定要注意a b c三者之间的关系 2 本题的第二问求三角形的面积 其关键是确定三角形的底与高 解本题的另一关键点是如何利用等腰三角形这一条件确定直线方程 变式训练 若f1 f2分别是椭圆 a b 0 的左 右焦点 p是该椭圆上的一个动点 且 pf1 pf2 4 f1f2 1 求出这个椭圆的方程 2 是否存在过定点n 0 2 的直线l与椭圆交于不同的两点a b 使 其中o为坐标原点 若存在 求出直线l的斜率k 若不存在 说明理由 解析 1 依题意 得2a 4 2c 所以a 2 c 椭圆的方程为 2 显然当直线l的斜率不存在 即x 0时 不满足条件 设l的方程为y kx 2 由a b是直线l与椭圆的两个不同的交点 设a x1 y1 b x2 y2 由消去y并整理 得 1 4k2 x2 16kx 12 0 16k 2 4 1 4k2 12 0 得k2 x1 x2 x1x2 x1x2 y1y2 x1x2 kx1 2 kx2 2 1 k2 x1x2 2k x1 x2 4 1 k2 k2 4 由 可知k 2 所以 存在斜率k 2的直线l符合题意 满分指导 直线与椭圆综合问题的规范解答 典例 12分 2011 江苏高考 如图 在平面直角坐标系xoy中 m n分别是椭圆的顶点 过坐标原点的直线交椭圆于p a两点 其中p在第一象限 过p作x轴的垂线 垂足为c 连接ac 并延长交椭圆于点b 设直线pa的斜率为k 1 当直线pa平分线段mn时 求k的值 2 当k 2时 求点p到直线ab的距离d 3 对任意k 0 求证 pa pb 解题指南 1 利用mn的中点在pa上即可求解 2 先求点p的坐标 再求出ab的方程 就能求出距离d 3 证明斜率之积为 1即可 规范解答 1 由题意知 a 2 故m 2 0 n 0 所以线段mn的中点的坐标为 1 由于直线pa平分线段mn 故直线pa过线段mn的中点 又直线pa过坐标原点 所以 3分 2 直线pa的方程为y 2x 代入椭圆方程得解得因此于是c 0 直线ac的斜率为所以直线ab的方程为x y 0 5分因此 7分 3 方法一 将直线pa的方程y kx代入解得记 8分则p k a k 于是c 0 故直线ab的斜率为直线ab的方程为 x 代入椭圆方程得 2 k2 x2 2 k2x 2 3k2 2 0 解得或x 10分因此b 于是直线pb的斜率为因此k1k 1 所以pa pb 12分 方法二 设p x1 y1 b x2 y2 则x1 0 x2 0 x1 x2 a x1 y1 c x1 0 8分设直线pb ab的斜率分别为k1 k2 因为c在直线ab上 所以从而k1k 1 2k1k2 1 10分因此k1k 1 所以pa pb 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2011 新课标全国卷 椭圆的离心率为 a b c d 解析 选d 直接求故选d 2 2012 武汉模拟 若点f1 f2为椭圆的焦点 p为椭圆上的点 当 f1pf2的面积为1时 的值是 a 0 b 1 c 3 d 6 解析 选a f1pf2的面积为1 设p x1 y1 则有 2c y1 1 即 y1 1 代入椭圆方程得 不妨令点p为 又 f1 0 f2 0 3 20