高中数学 5.2 复数的四则运算课件 北师大版选修22.ppt

路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 2 成才之路 数学 数系的扩充与复数的引入 第五章 2复数的四则运算 第五章 1 理解复数代数形式的四则运算法则 能进行复数代数形式的四则运算 2 掌握共轭复数的概念 本节重点 复数的加 减法运算 乘除运算及理解共轭复数的概念 本节难点 共轭复数的求解及特殊复数的灵活应用 1 复数的加法与减法设z1 a bi z2 c di是任意两个复数 定义复数的加法 减法为 a bi c di 即 容易验证 复数的加法满足交换律 结合律 即对任意z1 z2 z3 c 有z1 z2 z2 z1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 a c b d i 两个复数相加 减 就是把实部与实部 虚部与虚部分别 相加 减 2 复数的乘法设z1 a bi z2 c di是任意两个复数 定义复数的乘法为 a bi c di 两个复数的乘积仍然是一个确定的复数 两个复数相乘 类似于两个多项式相乘 只要在所得的结果中把i2换成 1 并且把实部和虚部分别合并即可 ac bd ad bc i 实部相等 虚部互为相反数时 a bi 本身 a2 b2 zm n zmn 1 学习复数的加 减 法 只需把握复数的实部与实部 虚部与虚部分别相加 减 即可 对于加 减 法的几何意义 应明确它们符合向量加 减 法的平行四边形法则 另外 还可以按三角形法则进行 这样类比记忆就把复杂问题简单化了 2 对于复数的代数形式乘除法法则 不必死记硬背 乘法可按多项式乘法类似的办法进行 除法只需记住两个复数相除 就是先把它们的商写成分数的形式 然后把分子 分母都乘以分母的共轭复数 再把结果化简即可 3 复数加法 减法的几个注意点 1 复数加法 减法类似于多项式的加法 减法的合并同类项 2 两复数的和 差 是一个确定的复数 3 实数的运算性质 在复数集中仍然成立 复数代数形式的加减运算 点评 复数的加 减法运算 就是把实部与实部 虚部与虚部分别相加减 实部与实部相加减作实部 虚部与虚部相加减作虚部 同时 还要弄清复数的有关概念 复数的乘法 除法运算 点评 本题主要考查复数的乘除法运算以及转化的思想方法 如本题第 2 问可以去掉分母 转化为乘法运算 也可将每个分母的复数转化为实数 再由复数相等的充要条件 转化为实数方程组 其中化虚为实是一种重要的方法 共轭复数 2 2014 山东理 1 已知a b r i是虚数单位 若a i与2 bi互为共轭复数 则 a bi 2 a 5 4ib 5 4ic 3 4id 3 4i 解析 a i与2 bi互为共轭复数 a 2 b 1 a bi 2 2 i 2 3 4i 答案 d i的周期性 有关复数方程的问题 2 由 1 知原方程为x2 2x 2 0 把1 i代入方程左边 得 1 i 2 2 1 i 2 0 右边 0 左边 右边 显然方程成立 因此1 i也是原方程的一个根 点评 因为已知方程x2 bx c 0的一根是复数根 故我们需将该已知根代入方程 根据复数相等的充要条件求解 有关复数的方程问题一般有两种情况 方程的根为复数 系数为实数 已知方程的一个复数根 求实系数 方程的根为实数 系数为复数 求实根 1 在解方程时 对未知量的系数必须准确判断 才能寻找出正确的解题思路 2 解决关于方程有实根的问题或实系数方程有复数根的问题 即上面提到的 一般都是指实根或复数根代入方程 用复数相等的充要条件求解 已知2i 3是关于x的方程2x2 px q 0的一个根 求实数p q的值 分析 2i 3是方程的根 代入方程成立 由复数相等的定义求得 综合应用 分析 依题设可知 条件与复数的概念有关系 不妨设z a bi a b r 且b 0 从而将问题转化为实数问题 点评 此例是复数代数形式的综合题 题中涉及到复数的基本概念 四则运算以及均值不等式等 只要概念清楚 运算熟练 按常规思路顺其自然 不难求解 但要注意做后面题时 要应用前面题中已证的结论 解析 b或 c d 正解 因为实数也是复数 而两实数是能比较大小的 故 错 在 中没有注意到z a bi中未对a b的取值加以限制 故 亦错 在 中将虚数的平方与实数的平方等同 如 令z1 z2 1 z2 z3 i 则有 z1 z2 2 z2 z3 2 0成立 而z1 z2 z3 故 错误 在 中若x y r 可推出x y 2 而此题未限制x y r 故 不正确 中忽视0 i 0 故 也是错误的 所以正确答案为a 点评 只有在实系数一元二次方程中才能利用判别式 讨论方程根的个数 本题正确的处理方法是首先设出方程根的形式 然后利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解 对于复系数一元二次方程ax2 bx c 0 a b c为复数 讨论其根的个数时 需先设x m ni m n r 将上述方程利用复数相等的充要条件转化为实系数方程后再处理 一 选择题1 2013 四川理 2 如图 在复平面内 点a表示复数z 则图中表示z的共轭复数的点是 a ab bc cd d 答案 b 二 填空题4 2014 江苏 2 已知复数z 5 2i 2 i为虚数单位 则z的实部为 答案 21 解析 由题意z 5 2i 2