2016年河南省高考数学理科冲刺试卷(四)含答案解析

第 1 页（共 24 页） 2016 年河南省高考数学冲刺试卷（理科）（四） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A= ， B= ，则集合 A（ 真子集的个数为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 2复数 z= +i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） A 1+2i B i 1 C 1 i D 1 2i 3 “a 0”是 “函数 f（ x） =|（ 1） x|在区间（ 0， +）内单调递增 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4已知定义在区间 a 1， 2a+4的偶函数 f（ x） = a b） x+1，则不等式 f（ x） f（ b）的解集为（ ） A 1， 2 B 2， 1 C（ 1， 2 D 2， 1） （ 1， 2 5已知圆 O： x2+ 上到直线 l： x+y=a 的距离等于 1 的点至少有 2 个，则 a 的取值范围为（ ） A（ 3 ， 3 ） B（ ， 3 ） （ 3 ， +） C（ 2 ， 2 ）D 3 ， 3 6一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（ ） A B C D 7执行如图所示的程序框图，若输出的 S=88，则判断框内应填入的条件是（ ） 第 2 页（共 24 页） A k 7 B k 6 C k 5 D k 4 8设 x， y 满足约束条件 ，若 z=x+3y 的最大值与最小值的差为 7，则实数 m=（ ） A B C D 9已知正项等比数列 足： a3=存在两项 得 ，则的最小值为（ ） A B C D不存在 10已知三棱锥 O A， B， C 三点均在球心为 O 的球表面上， C=1， 20，三棱锥 O 体积为 ，则球 O 的表面积是（ ） A 544 B 16 C D 64 11已知圆 O： x2+，圆 M：（ x 8） 2+（ y 6） 2=4，在圆 M 上任取一点 P，向圆 O 作切线 点为 A， B，则 的最大值为（ ） A B C D 12对于函数 f（ x），若 a， b， c R， f（ a）， f（ b）， f（ c）为某一三角形的三边长，则称f（ x）为 “可构造三角形函数 ”，已知函数 f（ x） = 是 “可构造三角形函数 ”，则实数 t 的取值范围是（ ） A 0， +） B 0， 1 C 1， 2 D 第 3 页（共 24 页） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分 ，将答案填在答题纸上） 13已知 a= 2 二项式（ ） 5 的展开式中 x 的系数为 14已知向量 =（ 1， ）， =（ 3， m）若向量 在 方向上的投影为 3，则实数m= 15现有 5 名教师要带 3 个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多 2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有 种（用数字作答） 16规定记号 “*”表示一种运算， a*b=a2+函数 f（ x） =x*2，且关于 x 的方程 f（ x） =ln|x+1|（ x 1）恰有 4 个互不相等的实数根 x1+x2+x3+ 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17如图所示，在四边形 ， D=2 B，且 ， ， B= （ 1）求 面积； （ 2）若 ，求 长 18如图，矩形 在的平面和正方形 在的平面互相垂直， ，点 E 在棱 移动 （ 1）当 E 为 中点时，求 点 E 到平面 距离； （ 2）当 于何值时，二面角 D 的大小为 ？ 19某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数，得到如下资料： 日 期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日 温差 x（ C） 10 11 13 12 8 发芽 数 y（颗） 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验 （ 1）求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率； （ 2）若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 ； 第 4 页（共 24 页） （ 3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（ 2）中所得的线 性回归方程是否可靠？ 20已知椭圆 C： 的离心率为 ，点 在椭圆 C 上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 O 为圆心的圆，满足此圆与 l 相交两点 点均不在坐标轴上），且使得直线 斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由 21已知函数 f（ x） = + 1， +）上为增函数，且 （ 0， ）， g（ x） = t R （ ）求 的值； （ ）当 t=0 时，求函数 g（ x）的单调区间和极大值； （ ）若在 1， e上至少存在一个 得 g（ f（ 立，求 t 的取值范围 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4何证明选讲 22如图，点 A 是以线段 直径的圆 O 上一点， 点 D，过点 B 作圆 O 的切线，与 延长线相交于点 E，点 G 是 中点，连接 延长与 交于点 F，延长 延长线相交于点 P （ 1）求证： F； （ 2）求证： 圆 O 的切线 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，圆 C 的参数方程 （ 为参数），以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （ 1）求圆 C 的极坐标方程； （ 2）直线 l 的极坐标方程 是 2+ ） =3 ，射线 = 与圆 C 的交点为 O、 P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 长 选修 4等式选讲 24选修 4 5：不等式选讲 第 5 页（共 24 页） 已知 f（ x） =|（ a R），不等式 f（ x） 3 的解集为 x| 2 x 1 （ ）求 a 的值； （ ）若 恒成立，求 k 的取值范围 第 6 页（共 24 页） 2016 年河南省高考数学冲刺试卷（理科）（四） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A= ， B= ，则集合 A（ 真子集的个数为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 根据函数的性质结合不等式的关系化简集合 A， B，然后确定 集合 A（ 元素个数即可 【解答】 解：当 x 16 时， 1 4， 则 A= =0， 1， 2， 3， 4， B= =x|x 2 或 x 1， 则 x| 1 x 2， 则 A（ =0， 1， 2， 即集合 A（ 真 子集的个数为 23 1=8 1=7， 故选： D 2复数 z= +i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） A 1+2i B i 1 C 1 i D 1 2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】 解： z= + i=（ i 1） i=1 2i， 其共轭复数为 1+2i， 故选： A 3 “a 0”是 “函数 f（ x） =|（ 1） x|在区间（ 0， +）内单调递增 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 对 a 分类讨论，利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出 【解答】 解：当 a=0 时， f（ x） =|x|，在区间（ 0， +）内单调递增 当 a 0 时， ， 结合二次函数图象可知函数 f（ x） =|（ 1） x|在区间（ 0， +）内单调递增 第 7 页（共 24 页） 若 a 0，则函数 f（ x） =|（ 1） x|，其图象如图 它在区间（ 0， +）内有增有减， 从而若函数 f（ x） =|（ 1） x|在区间（ 0， +）内单调递增则 a 0 a 0 是 ”函数 f（ x） =|（ 1） x|在区间（ 0， +）内单调递增 ”的充要条件 故选： C 4已知定义在区间 a 1， 2a+4的偶函数 f（ x） = a b） x+1，则不等式 f（ x） f（ b）的解集为（ ） A 1， 2 B 2， 1 C（ 1， 2 D 2， 1） （ 1， 2 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 由偶函数定义域关于原点对称可知 a 1+2a+4=0 可求 a，结合 f（ x） = a b）x+1 为偶函数可求 b，即可求解 【解答】 解：由偶函数定义域关于原点对称可知 a 1+2a+4=0 a= 1，函数的定义域为 2， 2， f（ x） = a b） x+1 为偶函数 f（ x） =f（ x）， a b） x+1= a b） x+1， a b=0， b= 1， f（ x） = f（ x） f（ b）， |x| 1， 函数的定义域为 2， 2， 不等式 f（ x） f（ b）的解集为 2， 1） （ 1， 2 故选： D 5已知圆 O： x2+ 上到直线 l： x+y=a 的距离等于 1 的点至少有 2 个，则 a 的取值范围为（ ） A（ 3 ， 3 ） B（ ， 3 ） （ 3 ， +） C（ 2 ， 2 ）D 3 ， 3 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 由题意可得圆心（ 0， 0）到直线 l： x+y=a 的距离 d 满足 d r+1，根据点到直线的距离公式求出 d，再解绝对值不等式求得实数 a 的取值范围 【解答】 解：由圆的方程可知圆心为（ 0， 0），半径为 2 第 8 页（共 24 页） 因为圆上的点到直线 l 的距离等于 1 的点至少有 2 个，所以圆心到直线 l 的距离 d r+1=3， 即 d= 3，解得 3 a 3 故选： A 6一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，结合柱体表面积公式，可得答案 【解答】 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱， 其底面面积为： （ 1+2） 2=3， 底面周长为： 2+2+1+ =5+ ， 高为： 2， 故四棱柱的表面积 S=2 3+（ 5+ ） 2= ， 故选： B 7执行如图所示的程序框图，若输出的 S=88，则判断框内应填入的条件是（ ） 第 9 页（共 24 页） A k 7 B k 6 C k 5 D k 4 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示 的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入 S 的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案 【解答】 解：程序在运行过程中各变量值变化如下表： K S 是否继续循环 循环前 1 0 第一圈 2 2 是 第二圈 3 7 是 第三圈 4 18 是 第四圈 5 41 是 第五圈 6 88 否 故退出循环的条件应为 k 5？ 故答案选 C 8设 x， y 满足约束条件 ，若 z=x+3y 的最大值与最小值的差为 7，则实数 m=（ ） A B C D 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最 小值的差为 7 求得实数 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 第 10 页（共 24 页） 联立 ，解得 A（ 1， 2）， 联立 ，解得 B（ m 1， m）， 化 z=x+3y，得 由图可知，当直线 过 A 时， z 有最大值为 7， 当直线 过 B 时， z 有最大值为 4m 1， 由题意， 7（ 4m 1） =7，解得： m= 故选： C 9已知正项等比数列 足： a3=存在两项 得 ，则的最小值为（ ） A B C D不存在 【考点】 等比数列的通项公式；基本不等式 【分析】 由正项等比数列 足： a3= q=2，由存在两项 得 ，知 m+n=6，由此能求出 的最小值 【解答】 解： 正项等比数列 足： a3= ， 即： q2=q+2，解得 q= 1（舍），或 q=2， 存在两项 得 ， ， ， 第 11 页（共 24 页） ， 所以， m+n=6， =（ ） （ m+n） = （ 5+ + ） （ 5+2 ） = ， 所以， 的最小值是 10已知三棱锥 O A， B， C 三点均在球心为 O 的球表面上， C=1， 20，三棱锥 O 体积为 ，则球 O 的表面积是（ ） A 544 B 16 C D 64 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出 O 到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的 体积 【解答】 解：三棱锥 O A、 B、 C 三点均在球心 O 的表面上，且 C=1， 20， ， S 1 1 ， 三棱锥 O 体积为 ， 外接圆的圆心为 G， G， 外接圆的半径为： =1， S G= ，即 ， ， 球的半径为： =4 球的表面积： 442=64 故选： D 11已知圆 O： x2+，圆 M：（ x 8） 2+（ y 6） 2=4，在圆 M 上任取一点 P，向圆 O 作切线 点为 A， B，则 的最大值为（ ） 第 12 页（共 24 页） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系 【分析】 设 ，则可求 1，利用 =| | | 4，结合 |OP|0 2=8，即可计算得解 的最大值 【解答】 解：设 ， 则 ， 1= 1， =| | | 4， |OP|0 2=8， （ ） 故选： D 12对于函数 f（ x），若 a， b， c R， f（ a）， f（ b）， f（ c）为某一三角形的三边长，则称f（ x）为 “可构造三角形函数 ”，已知函数 f（ x） = 是 “可构造三角形函数 ”，则实数 t 的取值范围是（ ） A 0， +） B 0， 1 C 1， 2 D 【考点】 指数函数的图象与性质 【分析】 因对任意实数 a、 b、 c，都存在以 f（ a）、 f（ b）、 f（ c）为三边长的三角形，则 f（ a） +f（ b） f（ c）恒成立，将 f（ x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由 t 1 的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论 k 转化为 f（ a） +f（ b）的最小值与 f（ c）的最大值的不等式，进而求出实数 t 的取值范围 【解答】 解：由题意可得 f（ a） +f（ b） f（ c）对于 a， b， c R 都恒成立， 第 13 页（共 24 页） 由于 f（ x） = =1+ ， 当 t 1=0， f（ x） =1，此时， f（ a）， f（ b）， f（ c）都为 1，构成一个等边三角形的三边长， 满足条件 当 t 1 0， f（ x）在 R 上是减函数， 1 f（ a） 1+t 1=t， 同理 1 f（ b） t， 1 f（ c） t， 由 f（ a） +f（ b） f（ c），可得 2 t，解得 1 t 2 当 t 1 0， f（ x）在 R 上是增函 数， t f（ a） 1， 同理 t f（ b） 1， t f（ c） 1， 由 f（ a） +f（ b） f（ c），可得 2t 1，解得 1 t 综上可得， t 2， 故实数 t 的取值范围是 ， 2， 故选 D 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知 a= 2 二项式（ ） 5 的展开式中 x 的系数为 640 【考点】 二项式系数的性质；定积分 【分析】 先求出 a 的值，再利用二项式的展开式通项公式求出 x 的系数 【解答】 解： a= 2 =2（ = 4， 二项式（ ） 5 的展开式中通项公式为 = 5 r） =（ 4） r 3r， 令 10 3r=1， 解得 r=3， 展开式中 x 的系数为（ 4） 3 = 640 故答案为： 640 14已知向量 =（ 1， ）， =（ 3， m）若向量 在 方向上的投影为 3，则实数 m= 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由投影的定义即得 ，所以得到 ，解出 m 即可 【解答】 解：根据投影的概念： 第 14 页（共 24 页） ； 故答案为： 15现有 5 名教师要带 3 个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多 2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有 54 种（用数字作答） 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 第一类，把甲乙看做一个复合元素，和另外的 3 人分配到 3 个小组中，第二类，先把另外的 3 人分配到 3 个小组，再把甲乙分配到其 中 2 个小组，根据分类计数原理可得 【解答】 解：第一类，把甲乙看做一个复合元素，和另外的 3 人分配到 3 个小组中（ 2， 1，1）， 6 种， 第二类，先把另外的 3 人分配到 3 个小组，再把甲乙分配到其中 2 个小组， 8 种， 根据分类计数原理可得，共有 36+18=54 种， 故答案为： 54 16规定记号 “*”表示一种运算， a*b=a2+函数 f（ x） =x*2，且关于 x 的方程 f（ x） =ln|x+1|（ x 1）恰有 4 个互不相等的实数根 x1+x2+x3+ 4 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 由题意可得 f（ x） =x，可得图象关于 x= 1 对称，由函数图象的变换可得函数 y=ln|x+1|（ x 1）的图象关于直线 x= 1 对称，进而可得四个根关于直线 x= 1 对称，由此可得其和 【解答】 解：由题意可得 f（ x） =x*2=x， 其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 x= 1， 函数 y=ln|x+1|可由 y=ln|x|向左平移 1 个单位得到， 而函数函数 y=ln|x|为偶函数，图象关于 y 轴对称， 故函数 y=ln|x+1|的图象关于直线 x= 1 对称 ， 故方程为 f（ x） =ln|x+1|（ x 1）四个互不相等的实数根 也关于直线 x= 1 对称，不妨设 称， 称， 必有 x1+ 2， x3+ 2， 故 x1+x2+x3+ 4， 故答案为： 4 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 第 15 页（共 24 页） 17如图所示，在四边形 ， D=2 B，且 ， ， B= （ 1）求 面积； （ 2）若 ，求 长 【考点】 解三角形 【分析】 （ 1）利用已知条件求出 D 角的正弦函数值，然后求 面积； （ 2）利用余弦定理求出 过 ，利用正弦定理求解 长 【解答】 解：（ 1）因为 D=2 B， B= ， 所以 1= 因为 D （ 0， ）， 所以 因为 ， ， 所以 面积 S= = = （ 2）在 ， 2C2 所以 因为 ， ， 所以 = 所以 18如图，矩形 在的平面和正方形 在的平面互相垂直， ，点 E 在棱 移动 （ 1）当 E 为 中点时 ，求点 E 到平面 距离； （ 2）当 于何值时，二面角 D 的大小为 ？ 【考点】 二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算 第 16 页（共 24 页） 【分析】 （ 1）分别以 x 轴， y 轴， z 轴建立空间坐标系，利用向量法能求出点 E 到平面 距离 （ 2）求出平面 法向量和平面 一个法向量，利用向量法能求出当 时，二面角 D 的大小为 【解答】 解：（ 1）分别以 x 轴， y 轴， z 轴建立空间坐标系， 则 E（ 1， 1， 0）， A（ 1， 0， 0）， C（ 0， 2， 0）， 0， 0， 1） ， ， 设点 E 到平面 距离为 d， 是平面 法向量， 由 ，得 ，取 而 ， 所以 （ 2）设 AE=l（ 0 l 2），由（ 1）知 E（ 1， l， 0）， 设 是平面 法向量 ， 由 ，得 ，取 ， 又平面 一个法向量为 由 ，即 ， 解得 ，即 第 17 页（共 24 页） 19某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数，得到如下资料： 日 期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日 温差 x（ C） 10 11 13 12 8 发芽数 y（颗） 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验 （ 1）求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率； （ 2）若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 ； （ 3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（ 2）中所得的线性回归方程是否可靠？ 【考点】 回归分析的初步应用；等可能事件的概率 【分析】 （ 1）根据题意列举出从 5 组 数据中选取 2 组数据共有 10 种情况，每种情况都是可能出现的，满足条件的事件包括的基本事件有 6 种根据等可能事件的概率做出结果 （ 2）根据所给的数据，先做出 x， y 的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程 （ 3）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的 【解答】 解：（ 1）设抽到不相邻的两组数据为事件 A， 从 5 组数据中选取 2 组数 据共有 10 种情况：（ 1， 2） （ 1， 3）（ 1， 4）（ 1， 5）（ 2， 3）（ 2， 4）（ 2， 5） （ 3， 4）（ 3， 5）（ 4， 5）， 其中数据为 12 月份的日期数 每种情况都是可能出现的，事件 A 包括的基本事件有 6 种 P（ A） = 选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率是 （ 2）由数据，求得 由公式，求得 b= y 关于 x 的线性回归方程为 x 3 （ 3）当 x=10 时， 10 3=22， |22 23| 2； 同样当 x=8 时， 8 3=17， |17 16| 2； 该研究所得到的回归方程是可靠的 第 18 页（共 24 页） 20已知椭圆 C： 的离心率为 ，点 在椭圆 C 上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 O 为圆心的圆，满足此圆与 l 相交两点 点均不在坐标轴上），且使得直线 斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由 【考点】 圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程 【分析】 （ ）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出 a， b 然后求出椭圆的方程 （ ）当直线 l 的斜率不存 在时，验证直线 斜率之积 当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y=kx+m 与椭圆联立，利用直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，推出 ，通过直线与圆的方程的方程组，设 结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出 k1定值即可 【解答】 （本小题满分 14 分） （ ）解：由题意，得 ， a2=b2+ 又因为点 在椭圆 C 上， 所以 ， 解得 a=2， b=1， ， 所以椭圆 C 的方程为 （ ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为 x2+ 证明如下： 假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为 x2+y2=r 0） 当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y=kx+m 由方程组 得（ 4） 4=0， 因为直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点， 所以 ，即 由方程组 得（ ） ， 则 设 则 ， ， 设直线 斜率分别为 第 19 页（共 24 页） 所以 = ， 将 代入上式，得 要使得 定值，则 ，即 ，验证符合题意 所以当圆的方程为 x2+ 时，圆与 l 的交点 足 定值 当直线 l 的斜率不存在时，由题意知 l 的 方程为 x= 2， 此时，圆 x2+ 与 l 的交点 满足 综上，当圆的方程为 x2+ 时，圆与 l 的交点 足斜率之积 定值 21已知函数 f（ x） = + 1， +）上为增函数，且 （ 0， ）， g（ x） = t R （ ）求 的 值； （ ）当 t=0 时，求函数 g（ x）的单调区间和极大值； （ ）若在 1， e上至少存在一个 得 g（ f（ 立，求 t 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）由 f（ x）在 1， +）上是增函数，则其导函数在 1， +）上是恒大于等于 0的，由此得出 a 的范围 （ 2）当 t=0 时，对 g（ x）求导，由导函数的正负可以得到原函数的单调区间，以及极值 （ 3）由不等式恒成立问题，转化为求最值问题只需最大值大于 0 即可 【解 答】 解：（ 1） 函数 f（ x） = + 1， +）上为增函数， f（ x） = + = 0 在 1， +）上恒成立 即 x 0 在 1， +）上恒成立， 在 1， +）上恒成立， 第 20 页（共 24 页） y= 在 1， +）上的最大值为 1， 1， （ 0， ）， = （ 2） g（ x） = t R，定义域为（ 0， +）， 当 t=0 时， g（ x） = g（ x） = ， 令 g（ x） =0，得 x=2e 1， x （ 0， 2e 1）时， g（ x）单调递增， x （ 2e 1， +）时， g（ x）单调递减 g（ x）的极大值为 g（ 2e 1） = 1 2e 1）， g（ x）的递增区间是（ 0， 2e 1），递减区间是（ 2e 1， +）， （ 3）若在 1， e上至少存在一个 得 g（ f（ 立， 令 F（ x） =g（ x） f（ x） =） = 2当 t 0 时，由 x 1， e有 0，且 2 0， 此时不存在 x 1， e使得 g（ f（ 立 当 t 0 时， F（ x） =t+ = 又 x 1， e 2e 2x 0，又 t 0 F（ x）在 1， e上恒成立， 故 F（ x）在 1， e上单调递增 F（ x） （ e） = 4 令 4 0 则 t 故所求 t 的取值范围为（ ，