等差数列详细教案(两个小时的教学).doc

课 题等差数列学习内容与过程引入 1某树农决定种树，第一天种了5棵，他决定从今天起每天种10棵树，那么从今天开始，地里的树逐日增加，依次为：5，15，25，35，（问：多少天后地里的树达到3000？） 2小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达3000她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，（问：多少天后她那3000个单词全部忘光？）从上面两例中，我们分别得到两个数列 5，15，25，35， 和 3000，2995，2990，2980，仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数，即等差数列知识点 1等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示） （1）（2）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； （3）对于数列,若=d (常数，n2，nN），或者=d (常数，n1，nN）则此数列是等差数列，d 为公差此方法可以求d或者证明该数列是等差数列。 （4）若d=0，数列为常数数列；时，数列为递增数列；时，数列为递减数列； 例1 判断下列数列是否是等差数列： （1）2,4,6,8，.，2（n-1）,2n； (2)1,1,2,3，.，n2等差数列的通项公式：【或】 （1）等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：即：即：即：由此归纳等差数列的通项公式可得： （2）等差数列的通项公式是关于三个基本量，d和n的表达式，所以由首项和公差d便可求出数列中的任意一项 如数列1，2，3，4，5，6； （1n6） 数列10，8，6，4，2，； （n1） 数列 （n1） 由上述关系还可得： 即： 则：= 即第二通项公式 d= 如： （3）（先举例说明）等差数列的通项公式可以推广为,由此可知等差数列中的任意两项，就可以求出其他的任意一项 （4）有几种方法可以计算公差d： d= d= d= 例2 求等差数列8，5，2的第20项； -401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？解：由，n=20，得由，得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项 变式1：已知等差数列：3,7,11,15，.，求：（1）135,4m+19（）是中的项吗？并说明理由；（2）若，（）是数列中的项，则2+3是数列中的项吗？为什么 变式2：在等差数列中，已知，求,解法一：，则 解法二： 小结：第二通项公式 3等差数列的性质 （1）时，数列为递增数列；时，数列为递减数列；若d=0，数列为常数数列； （2）如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？由定义得A-=-A，即：；反之，若，则A-=-A。由此可得：A成等差数列 定义：若，A，成等差数列，那么A叫做与的等差中项不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列：1，3，5，7，9，11，13中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项；9是7和11的等差中项，5和13的等差中项看来， 性质：在等差数列中，若m+n=p+q，则 即 m+n=p+q (m, n, p, q N ) 但通常 由 推不出m+n=p+q ， 推广1：若数列为等差数列，则有 推广2：若数列为等差数列，=k，则有 （3）若数列为等差数列，则数列（其中为常数）也为等差数列，其公差是d 若数列为等差数列，则数列（其中b为常数）也为等差数列，其公差是d 若数列为等差数列，则数列（其中、b为常数）也为等差数列，其公差是d （4）若数列为等差数列，则下标成等差数列且公差为m的项组成了公差为md的等差数列 （5）若数列为等差数列，为公差是t的等差数列，则和(k为常数)也是等差数列，其公差分别为dt，kd+t （6）项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列。例如：，.构成等差数列；再如：，.也构成了等差数列例3 在等差数列中，若=450,求变式1 在等差数列中，=1，则的值为 变式2 已知为等差数列，求的值4. 判断一个数列为等差数列的方法 （1）定义法：=d (常数，n2，nN）为等差数列 （2）等差中项法，也称递推法：（n2，nN）为等差数列 （3）通项法：为n的一次函数为等差数列 注意：证明一个数列为等差数列只能通过定义法与等差中项法 例4 已知数列的通项公式为=，问：（1）当p和q满足什么条件时，数列是等差数列？（2）求证：对任意实数p和q，数列是等差数列 变式：已知数列满足;（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式5. 等差数列的设项方法 （1）通项法：设数列的通项公式，即设=) 例5 等差数列的公差d0，试比较与的大小关系 （2）对称设：若所给等差数列为2n项，则可设为：，.，.，此数列的公差为2d； 若所给等差数列为2n+1项，则可设为：，.，.，此数列的公差为d；例6 已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数变式：成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数解：设四个数为 则： 由： 代入得： ， 四个数为2,5,8,11或11,8,5,26. 等差数列与一次函数的联系等差数列一次函数解析式不同点定义域为，图像是一系列孤立的点（都在同一条直线上）定义域为R，图像是一条直线相同点其通项公式与函数解析式都是关于自变量的一次式，都是最简单的，也是最基本的（数列和函数） （1）把等差数列的通项公式=化为=，并与对照，知等差数列是特殊的一次函数，特殊在定义域为正整数集的子集，其图像是直线上的一些孤立的点，由斜率公式，不难联想到d=，由此也可得到 （2）等差数列是关于n的一次函数（d=0时为常数数列），有关单调性、取值范围的问题，可结合已知条件利用通项公式，得到一个以和d为未知数的方程或不等式，利用函数、不等式的有关方法解决。例7 在等差数列中，已知=10，求公差d的取值范围 变式：在正整数上定义一个函数，已知，当x为奇数时，当x为偶数时；（1）求证，.，成等差数列；（2）求的函数表达式课堂检测1. 2006是等差数列4,6,8，.的（ ） A.第1002项 B.第1001 项 C.第1003项 D.第1006项2.在等差数列中，,则为（ ）A.m-n B.0 C. D.3.等差数列的首项为70，公差为-9，则这个数列中绝对值最小的一项为（ ） A. B. C. D.4.在等差数列中，则等于（ ） A.-9 B.-8 C.-7 D.-45. 等差数列的首项为，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是（ ） A. B. C. D.6. 在等差数列中,已知=，那么等于（ ） A.4 B.5 C6 D.77.设为公差是-2的等差数列，如果，那么 A.-182 B.-78 C.-148 D.-828.已知等差数列满足，则有（ ） A. B. C. D.9.已知等差数列中,，则通项公式= 10. 在等差数列中，若+=9, =7, 求 , .解： an 是等差数列， +=+ =9=9=97=2， d=72=5 =+(94)d=7+5*5=32， =2, =3211. 等差数列中，+=12, 且 =80. 求通项 解：+=2 ， =10, =2 或 =2, =10 d=， d=3或3， =10+3 (n1) = 3n 13 或 =2 3 (n1) = 3n+512. 在等差数列中, 已知450, 求由等差中项公式：2， 2由条件450, 得5450, 90, 2180.13.已知a、b、c的倒数成等差数列，求证：， 的倒数也成等差数列分析：给定的是三个数的倒数成等差数列故应充分利用三个数x、y、z成等差数列的充要条件：x+y=2z 证明：因为a、b、c的倒数成等差数列，即2ac=b(a+c) 又+=-