有理数的整数次方根近似值的计算方法.doc

有理数的整数次方根近似值的计算方法在数学运算中经常会遇到实数的平方根、立方根或m次方根，如、或等，这些是无理数的几种常见的类型，有时需要用到它们的近似值，计算方法有很多种，下面介绍三种简单的算法，它们均以高等数学（微积分）中的微分法为理论基础。下面介绍的三种方法分别为简单迭代法、微分近似法和二项公式法，它们既可以单独使用，也可以结合起来使用，可以计算任意实数的m次方根，但是无理数为无限不循环小数，在实际计算中既不可能也无必要取无限多位小数，因而只能取其有限位小数的近似值（如 3.14159，e 2.71828等），即无理数的有理近似值，因此这里只考虑有理数的情形；此外，在实际计算中还有可能遇到形如（a 0，mN+，nN+）的无理数，不过 = ()n，因此只需计算（a 0，mN+）的近似值。综上所述，这里只考虑（a 0，aQ，mN+）的近似值的计算方法。【方法1】简单迭代法迭代法的一般原理是将方程f(x) = 0转化为x = g(x)的形式，函数g(x)称为“迭代函数”，使方程x = g(x)成立的x值称为g(x)的“不动点”，记为x*，即x* = g(x*)，根据不动点的性质，可以设计算法计算方程f(x) = 0的实数根，方法如下：取一个适当的初值a0，设计迭代公式 an = g(an 1)，n = 1，2，（nN+） （1.1）把初值a0代入上述迭代公式中，算出一次近似值a1，再把a1代入迭代公式中，算出二次近似值a2，然后把a2代入迭代公式中，算出三次近似值a3，按照这个步骤继续计算下去，直至算出的n次近似值an满足下述的终止迭代的判定条件 |an x*| 0（nN+） （1.2）这里0是任意小的正数，即计算所要求的精确度；但是x*的值一般是不知道的，上述判定条件应用起来不方便，因此代之以下述判定条件 |an an 1| 0，aQ，nN+） （1.6）一般地，容易证明，计算正有理数a的m次方根的迭代公式为 an = （a 0，aQ，mN+，nN+） （1.7）【例1.1】计算的近似值，精确到10 6。解：这里a = 2，0 = 10 6，根据迭代公式（1.6）可得an = (an 1 + )（nN+），因为1.96 = 1.42 2 1.52 = 2.25，可取初值a0 = 1.5，代入迭代公式，为精确到10 6，计算结果均保留至7位小数：a1 = (a0 + ) = (1.5 + ) 1.4166667，a2 = (a1 + ) = (1.4166667 + ) 1.4142157，a3 = (a2 + ) = (1.4142157 + ) 1.4142136，a4 = (a3 + ) = (1.4142136 + ) 1.4142136；可以看出，在10 6精确度下，a3与a4已经没有差异，满足终止迭代判定条件|a4 a3| 10 6，因此可取a3或a4为结果，保留至6位小数可得 1.414214，误差不超过10 6。【例1.2】计算的近似值，精确到10 6。解：这里a = 3，0 = 10 6，根据迭代公式（1.7）可得an = (2an 1 + )（nN+），因为4.913 = 1.73 5 1.83 = 5.832，取初值a0 = 1.7，代入迭代公式，为精确到10 6，计算结果均保留至7位小数：a1 = (2a0 + ) = (2 1.7 + ) 1.7100346，a2 = (2a1 + ) = (2 1.7100346 + ) 1.7099759，a3 = (2a2 + ) = (2 1.7099759 + ) 1.7099759，于是可知，在10 6精确度下，a2与a3已经没有差异，满足终止迭代判定条件|a3 a2| 10 6，因此可取a2或a3为结果，保留至6位小数可得 1.709976，误差不超过10 6。【方法2】微分近似法微分近似法是用函数的微分（或导数）计算函数值的近似值的方法。设函数y = f(x)在区间I内可微（于是也就可导），根据微分关系式 dy = f(x)dx （2.1）当函数的自变量x的增量x（x = dx）很小，即当x 0时，函数值的增量y与函数y的微分dy很接近，即y dy，根据（2.1）式可知 y dy = f(x)x（x 0） （2.2）如果函数y在点x0处的函数值f(x0)比较容易计算，设两个很接近的点x0与x均在可微区间I内，现在计算函数y在点x处的函数值f(x)。函数y = f(x)的自变量在点x0与x之间的增量为x = x x0，因自变量x的变化而导致的函数y的增量为y = f(x) f(x0)，当点x0与x很接近时（即x x0），x很小（即x 0），可以用函数y在点x0处的微分dy = f(x0)x来近似代替函数y在点x0与x之间的增量y = f(x) f(x0)，根据（2.2）式可得f(x) f(x0) f(x0)x（x 0）因为x = x x0，当x 0时，x x0，于是可以得到 f(x) f(x0) + f(x0)(x x0)（x x0） （2.3）这就是计算函数y = f(x)在点x0附近的点x处的函数值的近似值的公式，这个结果实际上是一般的公式泰勒公式（或泰勒级数）的一级近似，这里不予讨论。公式（2.3）式还可以表示为其它形式，因为x = x x0，x = x0 + x，于是可得 f(x0 + x) f(x0) + f(x0)x（x 0） （2.4）这是（2.3）式的另一种常用的形式。根据导数的定义和性质也可以导出（2.3）和（2.4）式。设函数y = f(x)在区间I内可导，按照导数的定义，函数y = f(x)在点x0处的导数为 f(x0) = （2.5）当函数y的自变量x的增量x很小时，有 f(x0) （x 0） （2.6）于是 f(x0 + x) f(x0) f(x0)x（x 0） （2.7）即f(x0 + x) f(x0) + f(x0)x（x 0）这就是（2.4）式，据此（2.3）式也很容易导出。根据（2.3）式或（2.4）式可以计算初等函数在一些特殊点处的函数值的近似值，但是计算结果的精确度一般无法预先设定，这取决于函数y = f(x)的性质和点x0的位置与增量x的大小，一般地，x越小，结果越准确。根据（2.3）式或（2.4）式，可以推导出一些常见的初等函数在一些特殊点处的函数值的近似计算公式，例如在（2.3）式中取x0 = 0，则有 f(x) f(0) + f(0)x（x 0） （2.8）根据上式可得，当x很小时 1 + （x 0，nN+） （2.9）可以证明，（2.9）式中的根指数n可以推广至任意实数 (1 + x) 1 + x（|x| 0），则它的导数为f(x) = （x 0），根据（2.3）式，可得 + (a x0) = (a + x0)，即 ( + ) （2.11）上式可以反复使用，于是可以得到迭代格式 = ( + )（a 0，nN+） （2.12）为了书写方便，令an = ，则（2.12）可以简写为an = (an 1 + )（a 0，nN+），这就是（1.6）式，同理（1.7）式也可以用微分法导出。【例2.1】计算的近似值，精确到10 3。解：根据（2.9）式， 1 + （x 0），如果取x = 1，则有 = 1 + 1/2 = 1.5，这显然是不准确的，因为x取的过大，近似公式不再适用了。正确的做法是，可取x0 = 1.42 = 1.96，则x = 2 x0 = 0.04，可得 = = = 1.4 = 1.4 ；在这里可以认为 0），可得 + (x x0)；令x = 2，x0 = 1.42 = 1.96，则 = + (2 1.42) = 1.4 + = 1.4 + 1.4 + 0.0143 = 1.4143，于是可以得到 1.414，这个结果与前面相同。为了得到高精确度的近似值，可以取更精确的x0，例如x0 = 1.412，x0 = 1.4142，按照以上方法计算；当然，也可以把计算结果作为一次近似值，按照迭代法的原理，重复以上的计算过程，也可以得到精确度更高的结果，这样就把迭代法和微分近似法结合了起来。同理，、等无理数的近似值也可以这样计算。为了应用方便，有时也把（2.3）式或（2.4）式写成另一种简单形式，把x0简写为x，把自变量的增量记为x = h，于是上述公式可以简写为 f(x + h) f(x) + f(x) h（h 0） （2.13）公式（2.3）、（2.4）和（2.13）还可以用来计算一些常见的初等函数的近似值。【例2.2】计算sin3030的近似值，精确到0.0001。解：根据（2.4）式，设f(x) = sinx，则f(x) = cosx，可得sin(x0 + x) sinx0 + cosx0 x（x 0）；令x0 = 30 = ，x = 30 = ，取 3.14159，则sin3030 = sin( + ) sin + cos = + 0.5 + 0.5 1.7321 0.5 + 0.00756= 0.50756，这就是所求的结果，可取sin3030 0.5076，误差不超过0.0001。【例2.3】计算的近似值，精确到0.0001。解：按照（2.9）式，n = 3，可得 1 + （x 0）令x = 0.02，精确到0.0001，则有 = 1 + 0.02 1 + 0.0067 = 1.0067。【例2.4】计算e1.02的近似值，精确到0.001。解：根据（2.13）式，设f(x) = ex，则f(x) = ex，可得ex + h ex + ex h = ex (1 + h)（h 0）；令x = 1，h = 0.02，取e 2.7183，则有e1.02 = e1 + 0.02 e1 (1 + 0.02) = 1.02e 1.02 2.7183 2.7727 2.773。这个结果可以由前面导出的结论ex 1 + x（x 0）直接得出。【例2.5】计算ln1.02的近似值，精确到0.01。解：根据（2.13）式，设f(x) = lnx，则f(x) = ，可得ln(x + h) lnx + h = lnx + （h 0）；令x = 1，h = 0.02，则有ln1.02 = ln(1 + 0.02) ln1 + 0.02 = 0.02。这个结果可以由前面导出的结论ln(1 + x) x（x 0）直接得出。【方法3】二项公式法二项公式法是利用二项式定理进行近似计算的方法，二项式定理如下：【引理】二项式定理对于任意实数a和b与任意正整数n，成立下列等式(a + b)n = an + an 1b + + an mbm + + abn 1 + bn；其中（0 m n，m、nN+，规定 = 1）为组合数，计算公式为 = = ；式中n!（n 0，nN，规定0! = 1）为阶乘，定义为n! = n(n 1)(n 2)3 2 1；可以证明，组合数成立下列关系 = ， + = ；上述定理称为二项式定理，公式称为二项公式或二项展开式。利用求和符号，二项公式可以简写为(a + b)n = （a，bR，m，nN+）；如果令a = 1，b = x，则二项式定理展开为(1 + x)n = 1 + nx + x2 + x3 + + xm + + nxn 1 + xn（nN+） （3.1.a）上述展开式称为牛顿二项公式，这个公式在数学中有重要的应用。利用求和符号，牛顿二项公式（3.1.1）可以简写为 (1 + x)n = = （nN+）（3.1.b）可以证明，公式（3.1.a）和（3.1.b）中的正整数n可以推广为任意实数，即(1 + x) = 1 + x + x2 + x3 + + xm + （|x| 1，R，mN+）（3.2.a）公式（3.2.a）仍然称为牛顿二项公式，利用求和符号，公式（3.2.a）可以简写为 (1 + x) = （|x| 1，R，mN+）（3.2.b）需要特别注意，公式（3.1）和（3.2）虽然形式相似，但是也存在原则性不同，在公式（3.2）中一般含有无限多项，而且x的取值一般只能限制在|x| 1的范围内；当取正整数n时，展开式中将只含有限多项（n + 1项），x的取值范围可以扩大至整个实数域R，（3.2）式就还原为（3.1）式。公式（3.2）在实际应用中不可能取无限多项进行计算，因此需根据精确度要求，选取有限多l项，把公式近似展开成l次多项式，即(1 + x) = 1 + x + x2 + x3 + + xl （|x| 1，R，lN+）（3.3）在（3.3）式中取l = 1，可得 (1 + x) 1 + x（|x| 1，R） （3.4）这就是（2.10）式，可见这是牛顿二项公式（3.2）式的一级近似结果。例如，当 = 1/2时，公式（3.2）展开为(1 + x)1/2 = 1 + x + ( 1)x2 + ( 1) ( 2)x3 + = 1 + x x2 + x3 + （|x| 1） （3.5）对（3.5）式分别取一级（l = 1）和二级（l = 2）近似，可得 = (1 + x)1/2 1 + x（|x| 1）， = (1 + x)1/2 1 + x x2（|x| 1）；作为比较，用这两个近似公式分别计算的近似值，精确到10 6，结果分别为 = 1 + 0.02 = 1.010000， = 1 + 0.02 0.022 = 1.009950；实际上，的精确到10 6的近似值确为1.009950，可见二级近似公式已经达到了很高的精确度。容易计算，1.012 =