高中数学 第2章2.2.2反证法课件 新人教选修1

2 2 2反证法 学习目标1 了解反证法是间接证明的一种基本方法 2 理解反证法的思考过程 会用反证法证明数学问题 知能优化训练 课前自主学案 2 2 2反证法 课堂互动讲练 课前自主学案 综合法是 而分析法则是 它们是截然相反的两种证明方法 分析法便于我们去寻找思路 而综合法便于过程的叙述 两种方法各有所长 在解决具体的问题时 综合运用效果会更好 由因导果 执果索因 1 反证法假设原命题 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明 从而证明了 这种证明方法叫做反证法 2 反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与 等矛盾 不成立 假设错误 原命题成立 已知条件 公理 定义 定理 用反证法证明命题 若p 则q 时 为什么q假q就真 提示 在证明数学命题时 要证明的结论要么正确 要么错误 二者必居其一 所以命题结论q的反面q错误时 q就一定正确 课堂互动讲练 结论中含有 不 不是 不可能 不存在 等词语的命题 此类命题的反面比较具体 适于应用反证法 思路点拨 直接说明 不易入手 故应用反证法 思维总结 本题涉及方程的根 所以应从根的范围上或者从值域的表达式上寻找矛盾 变式训练1已知a b c 0 求证 ab bc ca不大于零 证明 假设ab bc ca 0 因为a2 b2 c2 0 则 a2 b2 c2 2 ab bc ca 0 所以 a b c 2 0 即a b c 0 这与a b c 0矛盾 所以假设不成立 故ab bc ca 0 当命题中出现 至少 至多 不都 都不 没有 唯一 等指示性词语时 宜用反证法 注意 至少有一个 至多有一个 都是 的否定形式分别为 一个也没有 至少有两个 不都是 已知a 1 求证三个方程 x2 4ax 4a 3 0 x2 a 1 x a2 0 x2 2ax 2a 0中至少有一个方程有实数解 思维总结 反证法的主要依据是逻辑中的排中律 排中律的一般表现形式是 或者是A 或者非A 即在同一讨论过程中 A和非A有一个且仅有一个是对的 不能有第三种情形出现 结论以 有且只有一个 只有一个 唯一存在 等形式出现的命题 由于反设结论易于导出矛盾 所以用反证法证其唯一性简单明了 已知 一点A和平面 求证 经过点A只能有一条直线和平面 垂直 思路点拨 证明 根据点A和平面 的位置关系 分两种情况证明 图1 1 如图1 点A在平面 内 假设经过点A至少有平面 的两条垂线AB AC 那么AB AC是两条相交直线 它们确定一个平面 平面 和平面 相交于经过点A的一条直线a 因为AB 平面 AC 平面 a 所以AB a AC a 在平面 内经过点A有两条直线都和直线a垂直 这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾 2 如图2 点A在平面 外 假设经过点A至少有平面 的两条垂线AB和AC B C为垂足 那么AB AC是两条相交直线 它们确定一个平面 平面 和平面 相交于直线BC 因为AB 平面 AC 平面 BC 所以AB BC AC BC 图2 在平面 内经过点A有两条直线都和BC垂直 这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾 综上 经过一点A只能有平面 的一条垂线 思维总结 证明 有且只有一个 的问题 需要证明两个命题 即存在性和唯一性 变式训练3求证方程2x 3有且仅有一个实根 证明 2x 3 x log23 这说明方程有一个根 下面用反证法证明根的唯一性 假设方程2x 3有两个根b1 b2 b1 b2 则2b1 3 2b2 3 两式相除得2b1 b2 1 如果b1 b2 0 则2b1 b2 1 这与2b1 b2 1相矛盾 如果b1 b2 0 则2b1 b2 1 这与2b1 b2 1相矛盾 因此b1 b2 0 则b1 b2 这与b1 b2相矛盾 如果方程的根多于两个 同样可推出矛盾 故方程2x 3有且只有一个根 方法技巧1 反证法不是直接去证明结论 而是先否定结论 在否定结论的基础上 运用演绎推理 导出矛盾 从而肯定结论的真实性 2 结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明常用反证法 通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题 然后用转化后的命题作为条件进行推理 很容易推出矛盾 从而