随机事件与概率

第四章随机事件与概率 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象 太阳从东边升起 1 确定性现象 同性电荷必然互斥 水从高处流向低处 实例 自然界所观察到的现象 确定性现象 随机现象 随机现象 在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象 实例1在相同条件下掷一枚均匀的硬币 观察正反两面出现的情况 2 随机现象 结果有可能出现正面也可能出现反面 确定性现象的特征 条件完全决定结果 结果有可能为 1 2 3 4 5或6 实例3抛掷一枚骰子 观察出现的点数 实例2用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发 观察弹落点的情况 结果 弹落点会各不相同 实例4从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品 其结果可能为 正品 次品 实例5过马路交叉口时 可能遇上各种颜色的交通指挥灯 实例6出生的婴儿可能是男 也可能是女 实例7明天的天气可能是晴 也可能是多云或雨 随机现象的特征 条件不能完全决定结果 2 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性 但在大量试验或观察中 这种结果的出现具有一定的统计规律性 概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科 随机现象是通过随机试验来研究的 问题什么是随机试验 如何来研究随机现象 说明 1 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 其数量关系无法用函数加以描述 一 随机事件的概念二 样本空间与事件三 事件间的关系和运算 4 1随机事件 a可以在相同的条件下重复地进行 重复性 b每次试验的可能结果不止一个 并且能事先明确试验的所有可能结果 确定性 c进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 随机性 在概率论中 把具有以下三个特征的试验称为随机试验 定义 随机试验 说明 1 随机试验简称为试验 是一个广泛的术语 它包括各种各样的科学实验 也包括对客观事物进行的 调查 观察 或 测量 等 实例 抛掷一枚硬币 观察正面 反面出现的情况 分析 2 随机试验通常用E来表示 a试验可以在相同的条件下重复地进行 1 抛掷一枚骰子 观察出现的点数 2 从一批产品中 依次任选三件 记录出现正品与次品的件数 同理可知下列试验都为随机试验 b试验的所有可能结果 正面 反面 c进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 故为随机试验 3 记录某公共汽车站某时刻的等车人数 4 考察某地区10月份的平均气温 一 随机事件的概念 试验的每一种可能的结果称为事件 在一次试验中可能出现也可能不出现的事件称为随机事件 简称为事件 用大写拉丁字母A B C等来表示 基本事件 一个试验中所有可能出现的基本结果 最简单的随机事件 必然事件 每次试验中一定出现的事件 用符号来表示 不可能事件 每次试验中一定不出现的事件 用符号来表示 例1设试验E为掷一颗骰子 观察其出现的点数 在这个试验中 记事件 n点 n 1 2 3 4 5 6 显然 都是基本事件 除此之外 记A 奇数点 B 被三整除的点 则A B也都是随机事件 1 事件A由这三个基本事件组成 事件B发生当且仅当事件这两个基本事件中有一个发生 2 试验E中 点数大于0 是必然事件 点数大于7 不可能事件 必然事件和不可能事件是每次试验之前都可以准确预言的 其结果不是随机事件 但为了讨论问题的方便 我们把它们看成是特殊的随机事件 作为随机事件的两个极端情况 事件是相对于一定的试验而言的 如果试验的条件变化了 事件的性质也将可能发生变化 二 样本空间与事件 样本点 样本空间 样本点的全体 事件 试验每一个基本事件 样本空间的子集 事件发生 该集合中某个样本点出现 试验全部基本事件 若记 取得i等品 取得不合格品 例2 样本空间 1 掷一颗骰子的试验 2 已知某批产品中有1 2 3等品及不合格品 从中任取一件观察其等级 样本空间 基本事件 含三个样本点的集合 3 观察某商场某日开门半小时后场内到达的顾客数 4 讨论某地区气温 5 一口袋中装有2只红球 3只白球 从中任取2球 不计顺序 观察其结果 若记红球为 白球为 则 在具体问题的研究中 描述随机现象的第一步就是建立样本空间 三事件之间的关系与计算 B发生 A发生 A与B等价 A B不能同时发生 事件之间的运算 A B同时发生 A B至少有一个发生 A发生 B不发生 附表1 事件间关系与集合关系比较 续附表1 注意 1 互斥事件与对立事件不同 完备事件组 事件运算法则 交换律结合律分配律DeMorgan定理 例3在例1的试验E中 已定义的事件A B不变 再令C 点数小于2 D 偶数点 F 点数不超过4 写出试验E的样本空间及几个事件间的关系 B与C D与C A与D都是互不相容事件 其中A与D为对立事件 解 例4在产品质量的抽样检验中 每次抽取一个产品 记事件 第n次取到正品 n 1 2 3 用事件运算的关系式表示下列事件 1 前两次都取到正品 第三次未取到正品 2 三次都未取到正品 3 三次中只有一次取到正品 4 三次中至多有一次取到正品 5 三次中至少有一次取到正品 例5 甲 乙